一类食饵具有避难所的Leslie-Gower模型的稳定性及最优税收 Stability and Optimal Tax for a Kind of Leslie-Gower Model with Prey Refuge

doi:10.12677/AAM.2013.21002

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 10-14

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.21002 Published Online February 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

Stability and Optimal Tax for a Kind of Leslie-Gower

Model with Prey Refuge*

Fengy ing Wei, Yuting Guo

College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou

Email: weifengying@fzu.edu.cn, guoyutingstil l@163.com

Received: Nov. 24th, 2012; revised: Nov. 30th, 2012; accepted: Dec. 19th, 2012

Abstract: Stability and the optimal tax of Leslie-Gower model with prey refuge is considered in this paper.

By constructing Lyapunov functio n, sufficient conditions of the globally asymptotical stab ility of the positive

equilibrium point for the model are obtained. Moreover, the optimal taxation policy of the model is derived b y

means of Pontryagin maximum principle.

Keywords: Leslie-Gower Model; Equilibrium Point; Globally Asymptotic Stability; Optimal Tax a tion

一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型的

稳定性及最优税收*

魏凤英，郭瑜婷

福州大学数学与计算机科学学院，福州

Email: weifengying@fzu.edu.cn, guoyutingstil l@163.com

收稿日期：2012 年11 月24 日；修回日期：2012 年11 月30 日；录用日期：2012 年12 月19 日

摘要：研究了一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型。通过构造合适的 Lyapunov 函数，得到了正

平衡点全局渐近稳定的充分性条件；根据 Pontryagin最大值原理，得到了模型的最优税收策略。

关键词：Leslie-Gower 模型；平衡点；全局渐近稳定；最优税收

1. 引言

Leslie-Gower 捕食者–食饵模型是数学生态模型研究中一类重要的模型[1-9]。众所周知，生物资源并非取之

不尽的，因此，对其进行最优收获策略方面的研究也就十分必要。目前，通过控制 Leslie-Gower 模型的税收，

进而控制其收获的模型还不多。最近，在陈凤德[1]的工作基础上，李有文[2]考虑了一类具有食饵避难的

Leslie-Gower 最优税收模型：



a mxy 

xrbxx

t ，



yryEqy











，



qyc



EEp









ht Eqy



， (1)

并得到了系统(1)的正平衡点的全局渐近稳定的充分条件和其最优税收策略。由于文[2]的收获方式是

线性的，对于实际的生态系统而言，非线性收获方式更贴近现实，故本文借鉴文[3]的收获函数 Eqy

ht aE by





，

建立如下模型：

*资助信息：国家自然科学基金(No：11201075)和福建省自然科学基金(No：2010J01005)共同资助。

魏凤英，郭瑜婷  一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型的稳定性及最优税收



a mxy 

xrbxx

t ，









yEqy

xaEby













，d

pqy

EEc

taEby

















00 0

， (2)

初值条件：

 

0,0



xyyE E，









tyt12

,rr



111 2

,, ,aa q

为食饵种群和捕食者种群的密度，分别为食饵种群和

捕食者种群的内禀增长率，为食饵的避难率， ab 为正常数，表示捕食者种群收获系数，



0mm ,b



表示总投入的刚性伸缩参数，表示对的收获努力量，为单位资源的价格，E ypy



表示单位资源的 y

c税收，为收获单位资源的成本，则





pqy

aE by















为收获者的纯经济收入(见[4])。

2. 平衡点的分析

系统(2)有三个平衡点，分别是1



,0,0Pb





，





211

,,0Pxy，





3,,

xyE







。

1) 满足：



,,0y



, 0

11 1 2

10rbxamy r



 

，解得：









122 112

ar mabar m



 1

2 1









3,,

。

xyE

 

满足： 2)

 





11 12

10, 0,

ay Eq

rbxamy rm xaEbyaE



  

 0





， (3)

解得：







1 11

a m











121

bab D



 ，







yab

2

Da m





，11

21 11

pqbcrDm

EacabD am



 



。











(H1)：，

20qar

bc bc

qar





q

；(H2)：20qar



，bc



。











3,,PxyE当条件(H1)或者(H2)成立时，有，，则0,x



 0E







是系统(2)的唯一正平衡点，其中

Dr

pqbc





。

3. 稳定性分析

系统(2)的Jacobi矩阵为：

 



111 1

21 1

()

rbxamya mx

ayay aqE

mx aE byaE

bq p

aq pE

aE byaE





 





bqy











































。

1) 平衡点 1

,0,0







的特征方程为：

















，于是 1

,0,0







是鞍点。

魏凤英，郭瑜婷  一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型的稳定性及最优税收

2) 平衡点点的特征方程为：



211

,,0Pxy12







，其中



12 1

aa yK

12 1

111 2211211 23112

aa y

bx rKbxrbx rKbxrK

 

















，

其中 pq











 123

0, 0

b，当时，有0K0,





 0K，由 Routh-Hurwitz判别法[6]知：当



时，



,,0Pxy



3,,PxyE

 12







是局部渐近稳定的。

211

3) 平衡点点的特征方程为：，其中







yBC







11 21 1

,aa

bx ADAbxbx ADx



  

，



31 1

bxBC

 





aa y

bx ADD





 



 ，



Amx



 

2

bqy E

aE by





，



bq yaq pE

aE byaE by







 

2









 

















0A123

0, 0

，

当，(H1)或者(H2)成立时，有0,









3,,yE

 



3,,Pxy

，由 Routh-Hurwitz 判别法[6]知，Px 是局部渐

近稳定的。

定理 1 若正平衡点











存在，则 3,,PxyE





在第一象限

yxP







的上半平面内是全局渐近稳

定的，其中

PaaEby





1bqE。

证明：取正定函数



 

, ,lnln2

xy E

xyEdy yydEEEVxy E

 

 







 











 ，,d为

d任意正常

数，由(3)式得到





1a my



，



r







pqy



aE by





aE by



 

，







，

于是，





 





d1 ddd

11 1

ddd d

VxxyyEE

txxtytE t

bxxdbqyyEy

xx yy

xx aE byaE

dayyE yEy

yydp aqEE

xaE byaE

bxxd bqEy

xx yy



 







 

 

 

 





 













 













 



 











aE byaE by

yy EEday

dbqyx xyy

mxx

aEbyaE by

dpaqyEEyy EE

d paqE

aE byaEbyaE byaE







 







 



 













 



 

dayy









魏凤英，郭瑜婷  一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型的稳定性及最优税收

选取正数



amx





1

bd y

a pE









，则

 



222

11 122

d(1

bxxdbqEyydayydp

tx mx

aE byaEbyaE by



 

 



 





)

aqyEE

aE by







，

当



1E m

aE byaaE



 

bq x



时，则有 d0

t





3,,PxyE





在第一象限

yxP 的上半平。因此，正平衡点

面内是全局渐近稳定的。证毕。

4. 最优税收政策

本节的目的是通过控制税收使得系统的社会总收入最大，社会收入的贴现值为：

tpq

cEt















，





为贴现因子，我们的目的是利用 Pontrjagin 最大值原理找到最优税收政策



为资本贴现率，其中





，

使得

同时满足系统(2)和控制约束条件min max





时的值最大。该控制问题的 Hamilton 函数是：





   

111 1

22 3

tpqy

HcEtrbxxa

aE by

ay Eqy

tr ytE

m xaEby





















mxy

pqy

aE by

















 





















 

123

,,ttt



min





，

其中是伴随变量[9]。假设Hamilton 函数的最优解不发生在







和max



时，我们有





y

aE b











30t





，从而。构造辅助方程：

  



tmx



















111

d21

tHtr bxamy





  



， (4)



 



112 2

tay

HapqE tamxt r

ty m

aE by





2

aqE

aE by











 























， (5)



 



bqy

aE by

tHbpqy ct

tE aE by

















 

















30t







， (6)

由及(6)得到：



caEby

2et

















 















3,,PxyE

 

， (7)

为了得到最优解，在正平衡点处整理方程(4)得到





Pt P

111









 



，

其中，

Pbx







aE by













abpq yc

Pbq m





，解得 2









。



魏凤英，郭瑜婷  一类食饵具有避难所的 Leslie-Gower 模型的稳定性及最优税收

同理得到：





Qt Q

212







，

其中



Qr mx



 





aqE

aE by















，





221

1Pamx

apqE

aE by















，解得













， (8)

将(7)代入(8 )得到：



2etca

bq y





























Px ,,

 ， (9)

将的值



,,yE

 

3yE

 

代入(9)得到关于



的方程，令





为(9)的解。再将







代入 ,,yE

 

则得到最优

平衡解

xyyEE







 。

5. 结论

通过对一类具有避难所的Leslie-Gower 模型的最优税收研究，本文得到了该系统的平衡点及其局部渐近稳

定的充分性条件。利用构造合适的 Lyapunov 函数，进一步得到正平衡点的全局渐近稳定的充分条件。进而由

Pontryagin 最大值原理得到最优平衡解

xyyEE





 。我们的研究结果说明：通过控制税收来控制收获能

达到可持续发展和经济效益最大化的双赢结果，有利于资源的合理开发。

参考文献 (References)

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