International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2013, 2, 20-26 http://dx.doi.org/10.12677/ijm.2013.21004 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/ijm.html) Characterization of Low-Gravity Liquid Sloshing with Small Amplitude in a Cylindrical Cavity Basing on Bessel Expansion Method* Xiaoqiang Shi, Baozeng Yue, Qunfeng Xu Department of Mechanics, School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing Email: sxy103@163.com Received: Nov. 27th, 2012; revised: Dec. 10th, 2012; accepted: Dec. 26th, 2012 Abstract: The present study is based on the problem of liquid sloshing with small amplitude in a partial filling cylin- drical cavity under harmonic excitation and low-gravity environment. Liquid sloshing velocity potential and wave height function, which are the problems belong to Laplace equation and boundary conditions, were formulated using Bessel expansion method in this paper. Since the phenomenon “crescent” of free surface due to low-gravity, the solving process of velocity potential and wave height become more difficult. And the study of characters of liquid sloshing with small amplitude in a cylindrical cavity in low-gravity condition was presented. Based on the consideration of surface tension and the foundation of the predecessor studies, the analytical solution of Laplace equation was calculated after the liquid velocity potential and wave height function were formulated firstly. Then the liquid sloshing force and slosh- ing moment were given, and frequency of liquid free sloshing and velocity potential were computed. The equivalent mechanical model of mass-spring was established by mechanical equivalent principle. The present method was certified by comparison between numerical solution and analytical solution. The relationship between parameters of the equiva- lent mechanical models and Bond number were revealed. Keywords: Bessel Function; Low-Gravity; Liquid Sloshing; Equivalent Mechanical Models 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内 液体小幅晃动特性研究* 史晓强,岳宝增,徐群峰 北京理工大学宇航学院力学系,北京 Email: sxy103@163.com 收稿日期:2012 年11月27 日;修回日期:2012 年12月10日;录用日期:2012 年12 月26日 摘 要:以微重环境下部分充液圆柱贮箱受横向简谐激励作用时液面小幅晃问题为研究背景,利用一阶 Bessel 函数构造了满足该问题中存在的Laplace 方程和边界条件的速度势和波高函数。由于微重下的自由静液面呈复杂 的“弯月形”,这使得要求速度势和波高函数精确满足自由液面处的边界条件存在一定的困难。在前人研究的基 础上,运用第二类边界条件下的 Bessel函数展开法,对微重下的自由液面条件进行精确处理,得到晃动速度势 和波高函数的一种半解析法。进一步推导了晃动力和晃动力矩的求解式,并基于等效准则建立了液体自由晃动 的弹簧–振子等效力学模型。通过数值计算和对比,验证了文中方法的准确性,并研究了等效力学模型中的参 数与 Bond 数之间的变化规律。 关键词:Bessel 函数;微重力;液体晃动;等效力学模型 *基金项目:国家自然科学基金(11072030)资助项目。 Copyright © 2013 Hanspub 20 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 Copyright © 2013 Hanspub 21 1. 引言 液体晃动问题在上世纪 60 年代初开始,逐渐得 到了航空航天工程师的广泛关注,其研究在航空航天 和核工业领域得到了发展和应用。为了引入晃动对系 统动力学与控制的影响,在工程上通常采用等效力学 模型,即将液体的某阶的晃动等效为一个单摆或者弹 簧振子(对于小幅晃动),使等效系统与相应阶的晃动 具有相同的动力学特性。晃动频率和阻尼是工程上最 为关心的两个参数。以充液卫星姿态控制为例,计算 晃动频率是为了在设计中设法避免液体晃动、姿态运 动和弹性附件振动的共振。对于携带液体燃料的卫 星,由于贮箱液体燃料的晃动可能导致卫星姿态的失 稳,控制系统设计时必须考虑到液体晃动的影响。此 外,从科学研究角度看,晃动作为一种复杂的流体现 象,自由表面时时刻刻在变化着,而且很多时候还与 限制其运动范围的固体壁面具有较强的耦合作用,给 问题的求解带来了很大的困难,具有相当的挑战性。 因此,研究晃动这样一个复杂的数理问题,不仅有显 而易见的工程实际意义,也有非常重要的科学研究价 值。 多年来,国内外学者对储腔内液体晃动做了大量 的研究。对于理想液体的小幅晃动问题,Peterson , Crawley 等人采用一个简单的弹簧振子来代表航天器 的线性弹性振动,在质量块上固定一充液圆柱贮箱, 通过独到的实验及部分理论分析考察了该液体–航 天器非线性耦合系统的动力学行为[1,2];Berry 和Tegart[3] 提出了一种求解低重工况下液体大幅晃动作用力的 工程近似算法,即质心面等效力学模型;文献[4,5]研 究了平放式贮箱的三轴定向充液卫星的液体晃动及 其姿态动力学问题,建立了充液系统的等效力学模 型;文献[6]用网格法研究了球形储腔内液体的晃动特 性;文献[7]用特征函数展开法研究了带有隔板的球形 储腔内的液体晃动特性;文献[8]研究了失重时方形容 器内液体自由晃动的频率特性;文献[9]通过建立等效 力学模型设计了充液航天器防晃系统;文献[10,11]采 用有限元数值求解任意刚性容器内液体三维晃动的 固有频率和模态。 本文基于一阶 Bessel 函数构造了满足该问题中存 在的 Laplace 方程和部边界条件的速度势和波高函数。 微重环境下的液体晃动问题的难点是对自由液面的 处理,由于微重下的自由静液面由于毛细力的作用, 使得自由静液面呈复杂的“弯月形”,这使得要求速 度势和波高函数精确满足自由液面处的边界条件存 在一定的困难。本文在前人研究的基础上,考虑了表 面张力作用,更符合真实的微重力环境,值得一提的 是本文修正了 F.T.DODGE 在推导展开系数 , 的表达式的错误之处[12],并且运用第二类边界条 件下的 Bessel函数展开法,对微重下的自由液面条件 进行精确处理,得到晃动速度势和波高函数的一种半 解析法。进一步推导了晃动力和晃动力矩的求解式, 并基于等效准则建立了液体自由晃动的弹簧–振子 等效力学模型。最后通过数值计算和对比,验证了方 法的准确性 ,并探究等效力学模型中的一阶晃动质量, 弹簧刚度,质心高度等参数与Bond 数之间的变化规 律。 2nm C 3nm C 2. 基本方程 假设液体为理想不可压缩无旋流体,故忽略液体 粘性的影响,柱坐标系与腔体固联,原点置于未受扰 自由液面最低点,如图1所示。储腔内液体小幅晃动 时,由于液体的运动只发生在自由液面处,可建立液 体运动的势函数。 液体位于在轴负半轴,如果充液比是 21hR, 这极大地简化了代数运算。液面静止高度为 f r,波 高函数为 ,zt,,r 速度势函数是。定义 ,,,rzt , 储液罐的速度 v,速度势函数满足拉普拉 斯方程: 液体相对于 20 (1) Equilibrium Interface r ()fr (, ,) rt h z (, ,)rt R sin x t Figure 1. Cylindrical cavity model 图1. 圆柱形储腔模型 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 边界条件: 0, 1R R (2) 0, Z Z (3) 对运动方程的首次积分,给出了速度势与波高的 关系。再由伯努利方程知流线上任意两点的压力势 能、动能与位势能之和保持不变,得到另一边界条件, 推导出其关系表达式为: 32 2 2 2 2 0 11 d 1d 1 d 1d cossin BO RR NRRF R RF R Xr ZF 1 2 (4) 自由液面的速度与流体的速度必定是相等,根据 这个条件,速度势函数与波高函数有下边的关系,将 该条件线性化: d0, d F Z F ZRR (5) 假设液体在未扰动的时刻接触角是零。然而液体 在晃动的过程中这个接触角与静态接触角是不相同 的,这个现象叫接触角迟滞现象。本文采用文献[9] 的假设: 0, 1, 1RRZF (6) 因此,接触角被定义为: 12 2 1 0 cot1 crR rr 根据式(6)知道,在线性化假设中这个接触角是零。 显然,在分析液体晃动之前,首先要求解平衡自 由液面函数 F R。要精确计算 F R是非常复杂的, 因此通过近似的表达式可以得到。当邦德数 时,静液面形状近似为球形,即为: 1 BO N 12 2 11FR R,随着 B O N的增加,静液面变的 越来越水平。在Satterlee 和Chin[9]对球形静液面修改 为 12 2 11RF R ,这是一种近似解决的方 法,其中 是 B O N的函数,当时,与实验结 果完全吻合[9],对于邦德数10 的情况,根 据文献[5]: 10 BO 10 BO N N 0 32 3 11FR R (7) 这个静液面的曲率是小于球形曲率,式(7)是满足 边界条件: 00ddR0FF 和 dcotd1 c FR ;代入式(4)也满足。是无量纲 波高,利用式(7)在1R 满足 ,这样的函数为: 32 23 0 BO N (8) 当10 BO N 时,根据文献[6]知,(7)式和(8)式是 完全吻合,根据以上分析知道,没有函数或者是一组 函数能够精确的满足方程(1)~(6)。然而有多种近似的 方法,在常重情况下,一般选择已知一组函数模拟液 体晃动,本文也采用该方法,因为当 时,体 力仍然是其主导作用。因此,假设速度势为: 10 BO N 1 ,, ,cose n 1 Z nn n RZ aR J (9) 波形函数为: 11 1 ,, cos n n RbJR (10) Bessel 函数 10 n J 根为 n ,式(9)(10)级数展 开是满足方程(1)(2)(3)和(6)。在 ,每个贝塞 尔函数是正交的。 0R1 为了得到 和,将式(9)(10)代入边界条件中 (4)(5)中,将两式化解为 Bessel-Fourier 函数的级数形 式 n an b 1cos m JR ,由式(5)得到: 11 co nn n nm bC JR 1 1 mm a s0 (11) 由式(4)得到: 11 1 23 m C 2 0 1 2 1 2sin cos 0 1 nnmmnmm nm n nn bCa b XJR J (12) Copyright © 2013 Hanspub 22 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 其中: 12 3 2 2 2 1 1 0 2 1 12 3 11 1 3 21 e 2 1 d 1 n n nm mm R n n n R 1m J RJ R JR R CJ R 12 3 2 2 2 1 111 11 0ed 2 2 1 m n nm nn mn R CJ RJR JRR 21 23 0 2324 1 32 12 3222 3 11 12 233 3 11 12 24 3 2 3 9 114 9 11 4 91 0.251 9 14 d n mn nm BO nn n nm R CJNR R RJR RRJR RRR JRJR R R R 2 由于一阶 Bessel 函数是具有正交性,因此,结合 式(11)(12)消去 n b ,得到关于 n a 的方程表达式 为: 1111 3 2 2cos 3, mm sm Xn 1 21 31 1, 2, 1 nm mnm mnssm m nn CaCaC Ca J 由上式分析可知,依据其它的量可以得到 。令 ,通过截取前几阶模态,然后求解方程组。 n a nmM 令cos nn aA ,代入式(13) ,令 算nmM,计 得到 n A : 222 2 12 0 222 2 11 1,2,3,, nn nn M Mn nnn MM KK K AX KKK n 其中, ij K 和i K 2 12 0 22 2222 12 1,2,3,, nn Mn n M PP P AX nM 其中, 2 i 是晃动模型的 i阶固有频率的平方。根据物 理现象知道 20 i ,在实际中规定: 22 12 2 M 到速度势 为: 。根 以上分析,代入式(9)计算得据 1 1 em n MZ nm m PJ R 2 22 1 1 cos cos M n m X (13) 同理,令 bBsin nn ,计算得到波高函数为: 2 022 1 1 1 1 cos sin M nn M nm m m X QJ R 其中, (11)得到,是 因此,根据以上分析得到了速度势 和波形函数 (14) nm Q根据式 nm P关系式。 ,任何特定的晃动都可以通过式(14)适当的表 示。显然,通过数值积分计算得到 3)(1 1, nm 2 nm nm CC,3C。 当 M 取一定值时,其余各个数 所示, 常 值都可以计算得到。 3. 等效力学模型 微重条件下的等效力学模型如图2类似于 重下的等效力学模型,针对每一阶晃动模态,构建 与之对应的弹簧–振子模型: j hh处设置质量为 j m 的质点,通过 2根刚度为 2 j k的线弹簧分别固联于贮 箱侧壁,振子被限制只能做 动,固定于作横向运0 hh 处的质点 对应于附着在储腔,也 与晃 0 动的液体,储腔内液体晃动,它的固有频率液体 晃动的作用力与力矩是非常重要的参数,通过运用等 效力学模型分析液体晃动是现在非常重要的一种方法。 m上的液体 就没有参 0 h 1 h M h m M m 1 k2 MM K2 1 k2 1 k2 0 m cm h Figure 2. Equivalent mechanical model 图2. 等效力学模型 是上式式系数,利用待定系数法将上 式进一步化解为: Copyright © 2013 Hanspub 23 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 如图 3所示,在储液箱壁上,表面张力是沿着接 触线微元 d s ,这个力产生的效果类似拉伸膜,当接触 角为零时 面上力为:,壁0d T FTR ,在 方向上的 分力为: TT FF ,因此,表面张力引起的 作用于壁面的力为: 2π0 10sind 32 0 0 22 1 0 1πsin n M n BO n HR Rx t rR FT g g NR m (15) 其中 1m H 1 M nnm QJ 在壁面处的 n阶无量纲的 波高。 是 另一部分力是由于液体的运动,液体运动引起的 作用力,通过速度势 可以计算得到。针对惯性系, 令 oscos c X RT ,因此,液体运动 作用力: 引起的 0 0 2π 3 20 0 2 0 1 cos sin cosd d hR R FgR X Z (16) Z 其中, 01, ,R 对于上式的最后一部分积分, 忽略 二阶微分小量,得到: 0 0 2π 0 2π2 022 01 cosd d cos dπsin hR Mn mn ZZ H X 类似的,由于 和 是小量,第一部分积分可以 化解为: 0 0 2π 0cosd dπ M hR ZX 4 022 1 sin n nn I ds ,, f rrt Liquid Contact Line T F TZ F T F Figure 3. Force diagram of an infinitesimal element 图3. 微元受力示意图 其中, 1 1 em Mnm nm mm P IJ 是小量, 0 hR,由于 是 无穷大量,所以有 0 e0 mhR , 。 由以上分析知 e0 m 2 F : 3 200 2 0 2222 11 0nn Nn 00 πsin n MM n FRx t g HRI h g g R RR 此,作用于壁面上的因合力为12 F F: 22 0 0 πsinR xR 2 1 2 2 22 1 1 1 n Ln BO n n n MBO n nn H h Ft N H IN g R 0 M (17) 由弹簧–振子系统构成的等效力学模型对液体 晃动的表征作用体现在振子对贮箱的力和力矩等效 于晃动产生的作用于贮箱的合力和合力矩,现在,计 算弹簧–振子等效力学模型横向力为: 22 mod 00 2 11 sin MM n nn nn n m Fxtmmk m (18) 由弹簧–振子系统构成的等效力学模型对 晃动的表征作用体现在振子对贮箱的力和力矩等效 液体 于晃动产生的作用于贮箱的合力和合力矩,结合方程 (17)和(18): 2 1n nn BO n H mI N (19) 2 0 nn n km gR (20) 3 00 2 11 0 πn n nn BO n 1 MM H h mm R RN (21) 数值计算表明 31 π Mn 02 1 0n BO n H h R RN 结果近似等于液体总质量, 3 0 0 π Th mR R0.264 。 Copyright © 2013 Hanspub 24 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 随着 M 的趋于无穷大,结果越来越 根据以上分析,可知等效力学模型参数和 是能 所示,一阶晃动质量 随邦德数的变化。在任何情况下,发生晃 中,在 时,发生晃动的液体质量不足 非常小,因此一般情况只考虑一阶模态。 类似,对比液体晃动的力矩和等效力学模型晃动 的力 精确,因此,假设: 0 1 M nT n mmm n m 和弹簧刚 动的液体 超重 n k 度 与 或 够计算。如图4 总体质量的百分比小于邦德数无穷大的情况。实际 10 BO N 常重情况下的10%。参与二阶和高阶模态晃动的质量 矩,可以得到: 3 0 00 2 1 0 1 2 π 11 em M m nm n nm mm mBO m R h hR Rm pJ H N 1 0 1 0 Tc m nn n m 其中质心高度: 1M hmhmh (22) 20 0 0 0 0.528 0.128 2 10.264 cm R h Rh hR R h 4. 结果与分析 综上所述,我们得出 各种参数在不同 图4~ 5所示, 111 ,,,mkh 8所示。如图Bond 数下的值,如 2 随 着Bond 数的增大而减小,Bond 数达到一定数值,频 率基本上趋于定值,这与实际实验相符[12],一阶晃动 质量随着Bond 数的增大而增大,图 4~8 给出各种参 数随 Bond 数的变化趋势。 液比情况下,微重下发生 于常重情况下发生晃动的液体质 量(如 相同的腔 液 效力学模型,给出了弹簧–振子一阶参数,并且推导了 分析表明,在相同的充 晃动的液体质量低 图6所示)。因为对于 体尺寸和相同的 充液比,更多的液体附着在壁面上,这样更多的 体 是随着储腔运动,换言之,由于表面附着力的作用导 致更多的液体附着在腔体上成为等效刚体。 本文计算得到液体晃动基频,建立液体晃动的等 020 4060 80 100 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 Bond数,Nbo k 1 /gR 2 0 仿真 本文 Figure 4. Fundamental spring constant 图4. 等效弹簧刚度随 Bond的变化曲线 0 2.15 20 406080 100 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2 1=2 1R0/g 仿真 本文 Bond数,Nbo Figure 5. Natural frequency of fundamental mode 图5. 液体晃动基频 随Bond的变化 2 020 40 60 80 100 0.405 0.445 0.41 0.415 0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 Bo ,Nbond数 m1/R3 0 仿真 本文 Figure 6. Fundamntal slosh mass 图6. 无量纲一阶等效质量随 Bond 的变化 e 020406080 100 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Bond数,Nbo (h av -h 1 )/R 0 仿真 本文 Figure 7. Hm of tank 图7. 无量纲一阶等效质量的高度曲线 eight of fundamental slosh mass above botto Copyright © 2013 Hanspub 25 基于 Bessel 展开法的微重下圆柱贮箱内液体小幅晃动特性研究 Copyright © 2013 Hanspub 26 020 40 6080100 2 3 4 5 6 7 8x 1 0 -3 [2] M. C. Van Schoor, E. F. Crawley. Nonlinear forced-response characteristics of contained fluids in microgravity. Journal of Spacecraft and Rockets, 1995, 32(3): 521-532. Bond数,Nbo mT/R 4 0(hc.m-1/2hav) 仿真 [3] R. L. Berry, J. R. Tegart. Experimental study of transient liquid motion in orbiting spacecraft. 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