Pure Mathematics
Vol.05 No.05(2015), Article ID:15972,4 pages
10.12677/PM.2015.55025

On Abelian Hall p-Subgroups

Tao Xu

Department of Science, Hebei University of Engineering , Handan Hebei

Email: gtxutao@163.com

Received: Aug. 10th, 2015; accepted: Aug. 28th, 2015; published: Sep. 1st, 2015

Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

Let G be a finite group and H an abelian Hall p-subgroup of G. Then, there exists such that. It generalizes Brodkey’s result. In addition, the properties of p-separable groups with Abelian Hall p-subgroup are discussed.

Keywords:Sylow p-Subgroup, Hall p-Subgroup, p- Separable Group

关于阿贝尔Hall p-子群

徐涛

河北工程大学理学院,河北 邯郸

Email: gtxutao@163.com

收稿日期:2015年8月10日;录用日期:2015年8月28日;发布日期:2015年9月1日

摘 要

设G是一个有限群,H是G的一个阿贝尔Hall p-子群,则存在,使得。本文推广了Brodkey的结果。另外讨论了具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群的性质。

关键词 :Sylow p-子群,Hall p-子群,p-可分群

1. 具有阿贝尔Hall p-子群的有限群

本文采用的符号和术语都是标准的,按照文[1] 。文中所涉及的群都是有限群。

Brodkey在文[2] 中证明了下面的命题。

命题1:设是一个有限群,有一个阿贝尔Sylow p-子群,则存在,使得

是有限多个素数的集合,我们把上述结果推广到有限群的Hall p-子群,得到下面的定理。

定理1:设是一个有限群,的一个阿贝尔Hall p-子群,则存在,使得

为了完成定理1的证明,我们需要下面的引理。

引理1:设有限群包含一个幂零Hall p-子群,如果的所有Hall p-子群中两两相交最小的,记,其中的Hall p-子群,则中正规于且正规于的所有子群中最大的。

证明:任取。只需证即可。即证对于的任意Hall p-子群,都有。考虑的正规化子。明显地,。因此的幂零Hall p-子群。而的一个p-子群。由文[1] 的定理9.1.10知道存在某个,使得。注意到,于是任取,有。从而,因此。所以

进而

根据文[1] 的定理9.1.10得到的Hall p-子群。故由的极小性知。因此。从而。注意到,于是。证毕。

定理1的证明:因为的Hall p-子群是阿贝尔群,所以根据文[1] 的定理9.1.10得到的Hall p-子群都共轭于。于是存在某个,使得的所有Hall p-子群中两两相交最小的。注意到都是阿贝尔群,因此由引理1得到。又,故存在某个,使得

推论1:设有限群包含一个幂零Hall p-子群,则存在的Hall p-子群,使得

证明:设的任意两个Hall p-子群之交中最小的。记,其中的Hall p-子群。显然。由引理1知

由推论1可以自然地得到下面的推论2。

推论2:设有限群包含一个幂零Hall p-子群且,则存在的Hall p-子群,使得

注意到,应用推论2直接得到推论3。

推论3:设有限群包含一个幂零Hall p-子群,则存在的Hall p-子群,使得

推论4:设是一个有限群,的一个阿贝尔Hall p-子群,则

证明:设的一个Hall p-子群,由文[1] 的定理9.1.10知是共轭的,故是阿贝尔群。由定理1可得存在某个,使得。由文[3] 的定理1.18知:

因此

从而

进而

推论5:设是一个有限群,的一个阿贝尔Hall p-子群且,则

证明:由推论4知。因为,所以,因此

推论6:设是一个有限群,的一个阿贝尔Hall p-子群,如果,那么。特别地,若,则

证明:由定理1知存在某个,使得(如果,则,这就矛盾于。考虑中的右陪集。

,其中

因此的不同的共轭类。又,因此中的共轭类至少有个。故

注记:在推论6的条件下,根据推论4我们可以得到。但是不难发现这一结果不如推论6得到的结果好。

2. 具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群

下面是具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群的两个定理。首先给出定理中涉及到的符号和需要的引理。

对任意的有限群,我们用表示中的原像。类似地,表示中的原像。

引理2 [4] :设是一个p-可分群,,则

定理2:设是一个p-可分群,的一个阿贝尔Hall p-子群,如果,则的极大正规p-子群,整除

证明:由定义知道。这表明是p-群,因此

从而的极大正规p-子群。由引理2知。又是阿贝尔群,故。因此。进一步,。所以整除。证毕。

定理3:设是一个p-可分群,的一个Hall p-子群,如果有阿贝尔Hall p-子群,那么

证明:断言。如果,则有的定义知道

再由引理2知可得。如果,对进行归纳。记。由归纳假设知。注意到,因此

。所以。故。断言成立。

的包含的阿贝尔Hall p-子群。明显地,。由上述断言知。又的Hall p-子群,故。即包含的Hall p-子群。因此-群。进而

所以。证毕。

注意到有限可解群是p-可分群,下面的推论是显然的。

推论7:设是一个有限可解群,对任意素数集合的一个Hall p-子群,如果有阿贝尔Hall p-子群,则

基金项目

国家自然科学基金(11371124),河北省自然科学基金(F2015402033)和河北工程大学博士基金资助项目。

文章引用

徐 涛. 关于阿贝尔Hall π-子群
On Abelian Hall π-Subgroups[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 167-170. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55025

参考文献 (References)

  1. 1. Robinson, D.J.S. (1996) A course in the theory of groups. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-8594-1

  2. 2. Brodkey, J.S. (1963) A note on finite groups with an Abelian Sylow groups. Proceedings of the American Mathematical Society, 14, 132-133. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1963-0142631-X

  3. 3. 徐明曜(1999) 有限群导引. 科学出版社, 北京.

  4. 4. Isaacs, M.I. (2008) Finite group theory. American Mathematical Society, Providence. http://dx.doi.org/10.1090/gsm/092

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