ABSTRACT

The maximality of three types of subgroups containing root subgroups in linear groups is verified in this paper. And the possible types of maximal subgroups containing root subgroups in linear groups over commutative ring are discussed.

Keywords:Maximal Subgroups, Root Subgroups, Linear Groups, Commutative Ring

交换环上线性群中含根子群的极大子群

侯欣^*，李尚志

北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京

收稿日期：2017年8月3日；录用日期：2017年8月17日；发布日期：2017年8月21日

摘 要

本文验证了交换环上线性群中三种含根子群的子群的极大性，并讨论了交换环上线性群中含根子群的极大子群的可能类型。

关键词 :极大子群，根子群，线性群，交换环

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1. 引言

典型群的极大子群是群论研究的一个重要课题。作为一类特殊的极大子群，含根子群的极大子群也得到了广泛的研究。文献 [1] 中作者给出了域上线性群中含根子群的几类子群的极大性证明，并证明了域上线性群中含根子群的极大子群必属于这几类极大子群之一。辛群中含根子群的极大子群的研究可参见 [2] [3] [4] 。酉群中含根子群的极大子群的研究可参见 [5] [6] 。正交群中含根子群的极大子群的研究可参见 [7] 。本文主要研究交换环上线性群中含根子群的极大子群。

设是含幺交换环，，分别是上的一般线性群和特殊线性群。设是单位阵，表示第位置为1，其余位置为0的阶方阵，一般线性群中的所有初等平延

生成一个子群，它是的一个子群。事实上，域上有。容易验证

也是的一个子群，我们把这样的子群以及它们在中的共轭子群称为根子群。

设是的极大理想，则是域。对每个，定义

为所在的模的同余类，则

是环同态。设，对每个定义

. (*)

则

是群同态。对任意正整数，，记

.

则同态核

本文的主要结论如下：

定理1.1设是含幺交换环，，如果以下子群与生成，则及其在中的共轭都是的含根子群的极大子群。特别地，及其共轭是的含根子群的极大子群。

1)，

,

2)，，

,

3)，

，.

定理1.2设是含幺交换环，是的子群，是中含根子群的极大子群，则是以下两种类型之一：

1) 存在的某个极大理想，使是域上线性群的极大子群。当时，一定是定理1的3类子群之一。

2) 对的每个极大理想都有

,

且是的极大子群。

2. 定理的证明

在定理1.1的证明中，我们要先用群同态来映到域上处理。所以我们先介绍域上的相关结论。从 [1] 定理1以及 [8] 定理3.6.1、3.7.2a容易得出以下引理。

引理2.1设，如果以下子群与生成，则及其在中的共轭都是的含根子群的极大子群。特别的，及其共轭是的含根子群的极大子群。

1)，

,

2)，，

,

3)，

,.

反过来，时，中不包含的任一含根子群的极大子群必为上面所列子群之一。

注记文献 [1] 定理1以及 [8] 定理3.7.2a中第2类极大子群中有两个例外情形，很显然两个例外情形不满足“与生成”这一假设，不在我们讨论之列。

下面，我们依次来给出本文两个定理的证明。

定理1.1的证明设是的极大理想，定义如(*)式，它的同态核，设的子群真包含，则真包含，由引理2.1知，是的极大子群，因此有

.

对每个，有

,

因而存在使得

.

这时有

,

.

包含及，从而包含它们的乘积，这说明了中所有的。从而。这证明了是的极大子群。

证毕。

定理1.2的证明设是的极大理想，定义如(*)式，首先，考虑到的每个根子群

在群同态下的象为

,

它是的根子群。因此是的含根子群的子群。如果存在的真子群真包含，则

是的真子群且真包含，与的极大性矛盾。

因此只有两种可能的情形：情形1.是的极大子群；情形2.。

情形1. 如果不包含，此时与生成，则

是的真子群且包含，与的极大性矛盾。因此，此时。当时，由引理2.1知是的3类极大子群之一，于是是定理1.1所说的3类子群之一。

情形2.。

对每个，存在使得

,

从而

,.

如果，则由包含及可知包含它们的乘积。这导致，与是的极大子群矛盾。因此不能包含，是的真子群。如果存在的真子群真包含，则是的真子群且真包含，与的极大性矛盾。这迫使是的极大子群。

证毕。

注记我们猜想情形2中的极大子群具有以下形式：

,

其中，是中真包含于的某个极大理想。此结论有待探究。

文章引用

侯 欣,李尚志. 交换环上线性群中含根子群的极大子群
Maximal Subgroups Containing Root Subgroups in Linear Groups over Commutative Ring[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 363-367. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75046

参考文献 (References)