活动标架下的双曲抛物面 The Hyperbolic Paraboloid under the Moving Frame

doi:10.12677/PM.2020.1010107

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 10 ( 2020 ), Article ID: 38023 , 7 pages
10.12677/PM.2020.1010107

活动标架下的双曲抛物面

刘晓周，包图雅

●How to Cite this Article

内蒙古民族大学数理学院，内蒙古通辽

收稿日期：2020年9月21日；录用日期：2020年10月6日；发布日期：2020年10月13日

摘要

双曲抛物面是微分几何中一常见研究对象，本文用活动标架理论得到一些双曲抛物面的活动标架基本量，进而去研究双曲抛物面。

关键词

双曲抛物面，活动标架法，施密特正交化法，不可展曲面

The Hyperbolic Paraboloid under the Moving Frame

Xiaozhou Liu, Tuya Bao

College of Mathematics and Physics, Inner Mongolia University for the Nationalities, Tongliao Inner Mongolia

Received: Sep. 21^st, 2020; accepted: Oct. 6^th, 2020; published: Oct. 13^th, 2020

ABSTRACT

Hyperbolic paraboloid is a common object in differential geometry. In this paper, we use the theory of moving frame to get some basic quantities of Hyperbolic paraboloid, and then study Hyperbolic paraboloid.

Keywords:Hyperbolic Paraboloid, Moving Frame Method, Schmidt Orthogonalization Method, Undevelopable Surface

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

活动标架法是微分几何中研究曲面的一个重要方法，能够很好地分析曲面的性质 [1]。双曲抛物面是微分几何的一个重要研究对象，在生活中有着广泛应用。参考文献 [2]，利用参数变换给双曲抛物面构造曲率线网参数表示；参考文献 [3] 分析通过双曲抛物面一条直母线的平面与其他直母线的位置关系，研究了双曲抛物面的直母线在特殊平面上的射影；参考文献 [4] 对双曲抛物面的直纹性进行探究，总结了双曲抛物面在建筑、电力工程、日常生活、宇宙学中的应用。下面根据活动标架理论，得到活动标架下双曲抛物面的一些基本量 [5]，以便进一步去分析双曲抛物面。

活动标架法首先要寻找一个活动标架，使得活动标架与双曲抛物面上的点一一对应起来。我们在曲面上选取正交坐标网，我们取双曲抛物面上的曲率线网 [2]。但是在计算中我们发现，利用双曲抛物面上的曲率线网计算过程很复杂。因此我们使用双曲抛物面上的常用参数 $r (u, v) = (u + v, u - v, - 4 u v)$ ，通过计算得到 $r_{u} = (1, 1, - 4 v)$ ， $r_{v} = (1, - 1, - 4 u)$ ，但是 $F = r_{u} \cdot r_{v} = (1, 1, - 4 v) \cdot (1, - 1, - 4 u) = 16 u v \neq 0$ ，不是我们想要的正交坐标网。为此在这里我们对 $r_{u}$ 和 $r_{v}$ 施行施密特正交化法，使其成为正交的单位向量 [6]。具体做法如下：

正交化： ${r^{'}}_{u} = r_{u} = (1, 1, - 4 v)$ ，

${r^{'}}_{v} = r_{v} - \frac{(r_{v}, {r^{'}}_{u})}{({r^{'}}_{u}, {r^{'}}_{u})} {r^{'}}_{u} = (1 - \frac{16 u v}{2 + 16 v^{2}}, - 1 - \frac{16 u v}{2 + 16 v^{2}}, - 4 u + \frac{64 u v^{2}}{2 + 16 v^{2}})$ 。

单位化： ${r^{″}}_{u} = \frac{{r^{'}}_{u}}{| {r^{'}}_{u} |} = \frac{1}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} (1, 1, - 4 v)$ ，

${r^{″}}_{v} = \frac{{r^{'}}_{v}}{| {r^{'}}_{v} |} = \frac{2 + 16 v^{2}}{\sqrt{8 (1 + 8 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} (1, - 1, - 4 u) + \frac{- 16 u v}{\sqrt{8 (1 + 8 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} (1, 1, - 4 v)$ 。

这样我们得到了一组正交的单位向量组，我们令：

$e_{1} = {r^{″}}_{u} = \frac{1}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} (1, 1, - 4 v)$ ，

$e_{2} = {r^{″}}_{v} = \frac{\sqrt{2 + 16 v^{2}}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} (1, - 1, - 4 u) + \frac{- 8 u v}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} (1, 1, - 4 v)$ ，

$e_{3} = e_{1} \times e_{2} = \frac{1}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} (- 2 u - 2 v, 2 u - 2 v, - 1)$ ，

这样我们就完成了活动标架法的第一步，即找到了一个双参数的活动标架。

定理1：双曲抛物面 $r (u, v) = (u + v, u - v, - 4 u v)$ 的相对分量为：

$ω_{1}^{2} = \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v, ω_{1}^{3} = \frac{4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v$ ，

$ω_{2}^{1} = \frac{- 8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v, ω_{2}^{3} = \frac{2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{- 32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v$ ，

$ω_{3}^{1} = \frac{- 4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v, ω_{3}^{2} = \frac{- 2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v$ 。

证明：对双参数的活动标架进行微分：

$d r = {1, 1, - 4 v} d u + {1, - 1, - 4 u} d v = ω^{1} e_{1} + ω^{2} e_{2}$ ，

把 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 代入，得到：

$\begin{array}{l} \frac{ω^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} (1, 1, - 4 v) + \frac{\sqrt{2 + 16 v^{2}} ω^{2}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} (1, - 1, - 4 u) + \frac{- 8 u v ω^{2}}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} (1, 1, - 4 v) \\ = {1, 1, - 4 v} d u + {1, - 1, - 4 u} d v \end{array}$ ，

即 ${\begin{cases} \frac{ω^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{\sqrt{2 + 16 v^{2}} ω^{2}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} + \frac{- 8 u v ω^{2}}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} = d u + d v \\ \frac{ω^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} - \frac{\sqrt{2 + 16 v^{2}} ω^{2}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} + \frac{- 8 u v ω^{2}}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} = d u - d v \\ \frac{- 4 v ω^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{- 4 u \sqrt{2 + 16 v^{2}} ω^{2}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} + \frac{32 u v^{2} ω^{2}}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} = - 4 v d u - 4 u d v \end{cases}$ ，

解得 ${\begin{cases} ω^{1} = \sqrt{2 + 16 v^{2}} d u + \frac{16 u v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \\ ω^{2} = \frac{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \end{cases}$ 。

$d e_{1} = (\frac{- 16 v d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}, \frac{- 16 v d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}, \frac{- 4 d v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{64 v^{2} d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}) = ω_{1}^{2} e_{2} + ω_{1}^{3} e_{3}$ ，

把 $e_{2}$ 和 $e_{3}$ 代入，得到：

$\begin{array}{l} ω_{1}^{2} \frac{\sqrt{2 + 16 v^{2}}}{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} (1, - 1, - 4 u) + ω_{1}^{2} \frac{- 8 u v}{\sqrt{(2 + 16 v^{2}) (8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}} (1, 1, - 4 v) \\ + ω_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} (- 2 u - 2 v, 2 u - 2 v, - 1) \\ = (\frac{- 16 v d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}, \frac{- 16 v d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}, \frac{- 4 d v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{64 v^{2} d v}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}}}) \end{array}$ ，

解得： ${\begin{cases} ω_{1}^{2} = \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v \\ ω_{1}^{3} = \frac{4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \end{cases}$ 。

$\begin{matrix} d e_{2}^{T} = (\frac{- 8 u - 8 v - 64 u v^{2} - 64 v^{3}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u [8 u^{2} - 8 u v - 64 v^{4} - 64 u v^{3} + 1]}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v, \\ \frac{8 u - 8 v + 64 u v^{2} - 64 v^{3}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u [8 u^{2} + 8 u v - 64 v^{4} + 64 u v^{3} + 1]}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d v, \\ \frac{- 2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{128 u v (4 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v) \\ = ω_{2}^{1} e_{1} + ω_{2}^{3} e_{3} \end{matrix}$ ，

把 $e_{1}$ 和 $e_{3}$ 代入，得到：

${\begin{cases} \frac{ω_{2}^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{(- 2 u - 2 v) ω_{2}^{3}}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} = \frac{- 8 u - 8 v - 64 u v^{2} - 64 v^{3}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u [(1 + 8 v^{2}) (1 - 8 v^{2}) + 8 u^{2}]}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v \\ \frac{ω_{2}^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{(2 u - 2 v) ω_{2}^{3}}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} = \frac{8 u - 8 v + 64 u^{2} v - 64 v^{3}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u (8 u v + 8 v^{2} + 1)}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d v \\ \frac{- 4 v ω_{2}^{1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} + \frac{- ω_{2}^{3}}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} = \frac{- 2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{128 u v (4 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}{{(2 + 16 v^{2})}^{\frac{3}{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v \end{cases}$ ，

解得 ${\begin{cases} ω_{2}^{1} = \frac{- 8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v \\ ω_{2}^{3} = \frac{2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{- 32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \end{cases}$ 。

$\begin{matrix} d e_{3} = (\frac{- 16 v^{2} + 16 u v - 2}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u^{2} + 16 u v - 2}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v, \\ \frac{16 v^{2} + 16 u v + 2}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{- 16 u^{2} - 16 u v - 2}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v, \\ \frac{8 u}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u + \frac{8 v}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d v) \\ = ω_{3}^{1} e_{1} + ω_{3}^{2} e_{2} \end{matrix}$

把 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 代入，解得 ${\begin{cases} ω_{3}^{1} = \frac{- 4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \\ ω_{3}^{2} = \frac{- 2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \end{cases}$ 。

通过上述计算，我们得到了相对分量，显然有 $ω_{1}^{2} = - ω_{2}^{1}, ω_{2}^{3} = - ω_{3}^{2}, ω_{1}^{3} = - ω_{3}^{1}$ 成立。

定理2：双曲抛物面的结构方程：

$d ω^{1} = ω^{2} \land ω_{2}^{1} = 0$ ，

$d ω^{2} = ω^{1} \land ω_{1}^{2} = \frac{16 u}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d u \land d v$ ，

$d ω^{3} = ω^{1} \land ω_{1}^{3} + ω^{2} \land ω_{2}^{3} = 0$ ，

$d ω_{1}^{2} = ω_{1}^{3} \land ω_{3}^{2} = \frac{8}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v$ ，

$d ω_{2}^{3} = ω_{2}^{1} \land ω_{1}^{3} = 0$ ，

$d ω_{3}^{1} = ω_{3}^{2} \land ω_{2}^{1} = \frac{32 u}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v$ 。

证明：

$d ω^{1} = d (\sqrt{2 + 16 v^{2}} d u + \frac{16 u v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) = \frac{- 16 v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d u \land d v + \frac{16 v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d u \land d v = 0$ ，

$ω^{2} \land ω_{2}^{1} = \frac{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v \land d v = 0$ ，

故有 $d ω^{1} = ω^{2} \land ω_{2}^{1}$ 成立。

$d ω^{2} = d (\frac{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) = \frac{2 \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d u \land d v = \frac{16 u}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d u \land d v$ ，

$\begin{matrix} ω^{1} \land ω_{1}^{2} = (\sqrt{2 + 16 v^{2}} d u + \frac{16 u v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) \land \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v \\ = \frac{16 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d u \land d v \end{matrix}$ ，

故有 $d ω^{2} = ω^{1} \land ω_{1}^{2}$ 成立。

而 $d ω^{3} = 0$ ，

$ω^{1} \land ω_{1}^{3} + ω^{2} \land ω_{2}^{3} = \frac{4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d u \land d v + \frac{- 4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}} d u \land d v = 0$ ，

故有 $d ω^{3} = ω^{1} \land ω_{1}^{3} + ω^{2} \land ω_{2}^{3}$ 成立。

$d ω_{1}^{2} = d (\frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v) = \frac{8 (1 + 8 v^{2})}{(1 + 8 v^{2}) {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v = \frac{8}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v$ ，

$ω_{1}^{3} \land ω_{3}^{2} = \frac{8}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v$ ，

故有 $d ω_{1}^{2} = ω_{1}^{3} \land ω_{3}^{2}$ 成立。

$\begin{matrix} d ω_{2}^{3} = d (\frac{2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{- 32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) \\ = \frac{- 512 u^{2} v - 512 v^{3} - 64 v + 64 v + 512 v^{3} + 512 u^{2} v}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{2} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d u \land d v = 0 \end{matrix}$ ，

$ω_{2}^{1} \land ω_{1}^{3} = \frac{8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} \frac{4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v \land d v = 0$ ，

故有 $d ω_{2}^{3} = ω_{2}^{1} \land ω_{1}^{3}$ 成立。

$d ω_{3}^{1} = d (\frac{- 4}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) = \frac{32 u}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v$ ，

$\begin{matrix} ω_{3}^{2} \land ω_{2}^{1} = (\frac{- 2 \sqrt{2 + 16 v^{2}}}{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} d u + \frac{32 u v}{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1) \sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) \land \frac{- 8 u}{\sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1} (1 + 8 v^{2})} d v \\ = \frac{32 u}{\sqrt{2 + 16 v^{2}} {(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v \end{matrix}$ ，

故有 $d ω_{3}^{1} = ω_{3}^{2} \land ω_{2}^{1}$ 成立。

这样，我们得到了双曲抛物面结构方程。

应用：双曲抛物面是不可展曲面。

根据活动标架理论，高斯曲率 $K = \frac{- d ω_{1}^{2}}{ω^{1} \land ω^{2}}$ 。

把双曲抛物面的活动标架基本量带入，得到双曲抛物面的高斯曲率：

$\begin{matrix} K = \frac{- d ω_{1}^{2}}{ω^{1} \land ω^{2}} = \frac{- \frac{8}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u \land d v}{(\sqrt{2 + 16 v^{2}} d u + \frac{16 u v}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v) \land \frac{2 \sqrt{8 u^{2} + 8 v^{2} + 1}}{\sqrt{2 + 16 v^{2}}} d v} \\ = \frac{- 4}{{(8 u^{2} + 8 v^{2} + 1)}^{2}} \neq 0 \end{matrix}$

因此得到双曲抛物面不可展。

本文得到了双曲抛物面的活动标架基本量，为今后利用活动标架法研究双曲抛物面奠定了基础。又利用双曲抛物面的活动标架基本量，验证了双曲抛物面是不可展曲面这一性质。

基金项目

内蒙古自治区青年科技英才支持计划(NJYT-19-A09)；内蒙古自然科学基金(2018MS01011)；国家自然科学基金(11661062)。

文章引用

刘晓周,包图雅. 活动标架下的双曲抛物面
The Hyperbolic Paraboloid under the Moving Frame[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 921-927. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010107

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