Modern Physics
Vol.4 No.06(2014), Article ID:14314,12 pages
DOI:10.12677/MP.2014.46016

Chaos Structured by Mixing of Multi-Excited Source

Binghua Huang*, Yongqing Liang, Zhonghai Wei

Electrical Engineering School of Guangxi University, Nanning

Email: *gxuhbh@163.com

Received: Oct. 6th, 2014; revised: Oct. 28th, 2014; accepted: Nov. 4th, 2014

ABSTRACT

The solutions of dynamical system expressed with nonlinear differential equation usually is shown by using time function. But this is not unique mode, when particularly cannot be solved. In the modern theory of circuit and system, we can select three dynamical variables in the nonlinear system to constitute 3-dimension phase space. The mutual nonlinear relation among three dynamical variables can be described by a bounded space curve. This is 3-dimension phase portrait. The nonlinear dynamical systems of regarding variation may constitute -dimension Euclidean space. The bounded space curve cannot be represented by concretely explicit parametric form in math. It cannot be solved analytically by human. However, the graphic solution can be plotted by numerical simulation. If the bounded space curve is non-periodic in simulation interval, this is orbital chaos of continuous time system. This paper researches the produce and property of chaos by means of the analysis method of frequency domain and theorem of power balance. We prove that the second order differential circuit which is constituted by mixing of multi-excited source with different frequency also can produce chaos.

Keywords:Mixing, Chaos, Phase Portrait, Space Curve, Nonlinear Coupling, Frequency Domain

Email: *gxuhbh@163.com

1. 引言

(1)

(2)

2. 含多谐波激励源的电路网络诞生混沌

(3)

(4)

(5a)

(5b)

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

1) 令，求无激励在一定起始条件下，式(5)的自由分量，是一条趋于零的渐近曲线，其中两个投影平面相图如图2。自由分量最终要衰减为零，故有时又称暂态响应，受迫解有时又称稳态响应

2) 令，取最后的2%相点作为进入稳态的相图，显然到最后阶段自由分量或称暂态响应已完全消失，剩下的必然是稳态响应。在单谐波源驱动下，受迫解是一个非正弦的周期轨如图3

3) 令在双谐波源的驱动下，受迫解的相图已出现混沌的性状，但相图还不是十分复杂，轨线并没有充满显示范围如图4

4) 令在三谐波源的驱动下，画出的相图，其轨线的充满性和遍历性，已完全具备混沌的性状。其两个投影平面相图如图5，直观而言已很明显是一个混沌函数了，由此说明多谐波在非线性电路的混频会产生混沌。本文图题的符号采用

Figure 1. Example 1 circuit

(a)(b)

Figure 2. Set (a); (b)

(a)(b)

Figure 3. Set (a); (b)

(a)(b)

Figure 4. Set (a); (b)

(a)(b)

Figure 5. Set (a); (b)

3. 用仿真相图求证受迫振荡的混沌态

4. 主谐波解的混沌态与周期态

4.1. 主谐波解是一个周期函数

Mathematica用两个程序求出例1的主谐波解如式(7)，这是一个包含三个谐波的周期函数。三个激励频率如式(6d)。第一个程序Main harA.nb采用谐波平衡原理求解，程序运算中忽略非主谐波的影响。第二个程序Power balance.nb采用功率平衡原理求解，此程序用相量法列出三个主谐波成份的KCL与KVL，不是各自求出三个主谐波而后迭加，三个成份是非线性耦合相互关联的，因而三个复数方程要联合求解。两个程序求解结果是一致的如式(7)。两种方法相互印证求解结果的正确性。

(7)

(a)(b)

Figure 6. (a); (b)

(a)(b)

Figure 7. (a); (b)

(a)(b)

Figure 8. (a); (b)

(8)

(9)

Figure 9. Phase portrait of the T/5000

Figure 10. Phase portrait of the T/100,000

Figure 11.

Figure 12.

4.2. 取公共基频弧/秒求主谐波解的周期态

(10a)

(10b)

4.3. 取公共基频弧/秒求主谐波解的周期态

(11a)

(11b)

5. 公共基频取弧/秒，求仿真解的周期态

6. 多谐波混频诞生混沌的普遍性

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

(a)(b)

Figure 13. (a); (b)

Figure 14. Example 2 circuit

6.1. 谐波成份增多相图性状的演变类似于例1

1) 当，在一定起始条件下，式(13)的自由分量，是一条趋于零的渐近曲线，如相图15

2) 当，取最后的1%相点做为进入稳态的相图，到最后阶段自由分量已完全消失，剩下的稳态响应。在单谐波源驱动下，受迫解是一个非正弦的周期轨如相图16

3) 当在双谐波源的驱动下，受迫解的相图已出现混沌的性状，如相图17

4) 当在三谐波源的驱动下，画出的相图，其轨线的充满性和遍历性，已完全具备混沌的性状如图18，直观而言已很明显是一个混沌函数了，由此说明多谐波在非线性电路的混频会产生混沌。图中符号

Figure 15. e1 = e2 = e3 = 0 plot (u, u1)

Figure 16. E1m = 30, e2 = e3 = 0 plot (u, u1)

Figure 17. E1m = 30, E2m = 25, e3 = 0 plot (u, u1)

Figure 18. E1m = 30, E2m = 25, E3m = 22, plot (u, u1)

(15a)

(15b)

(15c)

6.2. 用仿真相图求证受迫振荡的混沌态

6.3. 公共基频取弧/秒，求仿真解的周期态

(a)(b)

Figure 19. (a); (b)

(a)(b)

Figure 20. (a); (b)

7. 结论

1) 混沌是非线性微分方程的图形解，它的一切属性取决于微分方程本身的属性(例如微分方程是确定性的，则混沌相图也是唯一确定的)。任何超越或违背微分方程基本理论的任何解释都是错误的，如果这其间出现矛盾，问题一定是出在数值仿真的算法，特别是算法的精度。混沌的解析表达式在任何数学手册里找不到，根本写不出来。如果写得出其表达式，用代入原方程，它必须满足方程的平衡。因而对混沌图形(相图)的定性分析，要紧紧依靠它和微分方程的相关性。例如著名的Lorenz方程，其偶次方的非线性项，和双翅膀蝴蝶型的相图相联系；典型的蔡氏电路，其奇次方的非线性项和双涡卷型的相图相联系。多翅膀和多涡卷的相图，不管多到什么复杂程度，它也是一条庞大的空间曲线，如果能写出它的参数式，代入原方程也必须满足方程的平衡(否则它就不是方程的解) [13] [14] 。研究混沌相图的性状，一定和只能从画出相图的微分方程着手，这其中最困难的是，相图的性状不但与方程的表达式有关，且与式中的常数密切相关，其中的相关规律无法解析的分析出来。

2) 本文用频域的分析方法得出有价值的重要结论。我们比较两种情况，第一种，如果三个激励频率取式(6d)，则式(5)的的基频是3弧/秒，周期秒。如果考虑，求含有非主谐波的仿真解就可得出解的混沌态如例1的图6图8，例2的图19

3) 本文提出的两个例证说明，频率不同的多个激励源的混频会诞生混沌，电路图结构与电路元件参数多种多样的变化，可以构造出多种多样的混沌方程。此类电路的特点是有一个非线性正性电阻，没有自激振荡。网络中包含有适当的储能元件，由此组成的二阶动态电路网络，普遍能诞生混沌。这类电路有广泛的实用价值。

1. [1]   Huang, B.H., Wei, Y.F. and Huang, Y. (2014) Describing chaos of continuous time system using bounded space curve. Journal of Modern Physics, 5, 1489-1501.

2. [2]   黄炳华, 刘慧杰, 梁永清 (2014) 一阶微分电路构成的混沌. 现代物理, 4, 86-99.

3. [3]   Huang, B.H., Li, G.M. and Liu, H.J. (2014) Power balance theorem of frequency domain and its application. Journal of Modern Physics, 5, 1097-1108.

4. [4]   Huang, B.H. and He, X.Y. (2014) Power balance of multi-harmonic components in nonlinear network. Journal of Modern Physics, 5, 1321-1331.

5. [5]   黄炳华, 李广明, 卫雅芬 (2012) 用虚功平衡原理求解无损耗系统的主谐波. 现代物理, 2, 60-69.

6. [6]   黄炳华, 李广明, 刘慧杰 (2013) 由无损耗电路构成的非周期振荡. 现代物理, 1, 1-8.

7. [7]   冯久超, 李广明 (2012) 功率平衡理论在研究非线性电路与混沌中的进展. 华南理工大学学报, 11, 13-18.

8. [8]   梁永清, 黄炳华 (2014) 非线性电路频域的功率平衡. 太原理工大学学报, 3, 328-333.

9. [9]   Huang, B.H., Huang, X.M. and Li, H. (2011) Main components of harmonic solutions of nonlinear oscillations. Procedia Engineering, 16, 325-332.

10. [10]   Huang, B.-H., Yang, G.S., Wei, Y.F. and Huang, Y. (2013) Harmonic analysis method based on power balance. Applied Mechanics and Materials, 325-326; Manufacturing Engineering and Process II, 1508-1514

11. [11]   黄炳华, 钮利荣, 蔺兰峰, 孙春妹 (2007) 功率平衡基础上的基波分析法. 电子学报, 10, 1994-1998.

12. [12]   黄炳华, 黄新民, 韦善革 (2008) 用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌. 通信学报, 1, 65-70

13. [13]   Yu, S.M., Qiu, S.-S. and Lin, Q.H. (2003) New results of study on generating multiple-scroll chaotic attractors. Science in China (Series F), 46, 104-115.

14. [14]   王兴元, 王明军 (2007) 超混沌Lorenz系统. 物理学报, 9, 5136-5141.

Mathematica程序(按文中出现的先后排序) MainharA.nb; Powerbalance.nb; Long-cycle.nb; MainharB.nb; Short-cycle.nb; MainharC.nb; Very-long-cycle.nb; Example-21. nb; Example-22. nb; Example-23. nb.

NOTES

*通讯作者。