竞争风险下Fine-Gray模型与Cox模型的比较与评价 Comparison and Evaluation of Fine-Gray and Cox Models under Competitive Risks

doi:10.12677/AAM.2024.132047

Advances in Applied Mathematics
Vol. 13 No. 02 ( 2024 ), Article ID: 80594 , 9 pages
10.12677/AAM.2024.132047

竞争风险下Fine-Gray模型与Cox模型的比较与评价

都业成，侯文^*

●How to Cite this Article

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

收稿日期：2024年1月5日；录用日期：2024年1月31日；发布日期：2024年2月7日

摘要

在生存分析中经常会遇到存在竞争风险的情形，在存在竞争风险情形下，比较Cox模型与Fine-Gray模型估计的分析效果。本文介绍了在存在竞争风险情形下的Fine-Gray模型，举例说明了Fine-Gray模型风险集的定义以及权重计算方法，并利用Cox模型与Fine-Gray模型对实际存在竞争风险的数据集进行了实例分析，结果表明，Fine-Gray模型与Cox模型分析结果不同，尤其是Cox模型会高估事件的累计发生率。因此，在生存分析中存在竞争风险时，选择Fine-Gray模型进行建模是更适合的。

关键词

Fine-Gray模型，Cox模型，竞争风险

Comparison and Evaluation of Fine-Gray and Cox Models under Competitive Risks

Yecheng Du, Wen Hou^*

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Jan. 5^th, 2024; accepted: Jan. 31^st, 2024; published: Feb. 7^th, 2024

ABSTRACT

In survival analysis, scenarios with competing risks are frequently encountered. In the presence of competing risks, the analysis performance of the Cox model and the Fine-Gray model is compared. This paper introduces the Fine-Gray model in the context of competing risks, providing a detailed explanation of the definition of the Fine-Gray model’s risk set and the calculation method for weights. Through example analysis using actual data with competing risks, the paper demonstrates that the results of the Fine-Gray model and the Cox model differ, especially with the Cox model overestimating the cumulative incidence of events. Therefore, in survival analysis, when facing competing risks, choosing the Fine-Gray model for modeling is more suitable.

Keywords:Fine-Gray Model, Cox Model, Competing Risks

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1. 引言

在许多学科领域，如医学、生物学、保险精算学、经济学以及人口统计学等多个领域都需要研究生存分析问题，当所研究的问题只存在单一结局时，Kaplan和Meier提出的K-M方法 [1] 和Cox提出的Cox模型 [2] 是最为常用的方法，Cox模型是一种常用的生存分析模型，用于探讨与生存时间相关的因素。它假设风险比在时间的推移过程中是恒定的，不随时间变化。在被给出的协变量集合 $x_{1 i}, x_{2 i}, \dots, x_{m i}$ 下，个体i的风险可以分解成两个部分，一部分是包括协变量不包括时间，一部分包括时间不包括协变量。Cox模型基本形式如下：

$h_{i} (t) = h_{0} (t) \exp {β_{1} x_{1 j} + \dots + β_{m} x_{m j}}$

其中 $h_{0} (t)$ 是基线危险函数， $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 是需要估计的参数或系数。 $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{r}$ 是惟一的有序感兴趣时间点，回归系数 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 由偏似然方程的最大值决定。累积危险函数为 $H (t) = \int_{0}^{t} h (u) d u$ ，累积分布函数 $F (t)$ 可由 $H (t)$ 导出， $F (t) = 1 - \exp (- H (t))$ 。

然而，所研究的问题并不总是单一结局的，因此在某些情况下，上述方法可能并不适用，其中一种情况就是存在竞争风险，Gelman [3] 和Gooley [4] 对竞争风险理论进行了描述，Kalbfleisch和Prentice [5] 提出了一种考虑竞争风险的方法，在存在竞争风险条件下，事件i发生在时间t之前的概率分布叫做子分布，类型i事件的累计发生率函数被定义为 $F_{i} (t) = P (T \leq t, C = i)$ ，记为CIF，Fine和Gray [6] 于1999年提出了Fine-Gray模型，这是一种基于CIF建模的一种竞争风险模型，然而，所研究的问题并不总是单一结局的，因此在某些情况下，上述方法可能并不适用，其中一种情况就是存在竞争风险，Gelman [3] 和Gooley [4] 对竞争风险理论进行了描述，Kalbfleisch和Prentice [5] 提出了一种考虑竞争风险的方法，在存在竞争风险条件下，事件i发生在时间t之前的概率分布叫做子分布，类型i事件的累计发生率函数被定义为 $F_{i} (t) = P (T \leq t, C = i)$ ，记为CIF，Fine和Gray [6] 于1999年提出了Fine-Gray模型，这是一种基于CIF建模的竞争风险模型，Fine-Gray模型在存在竞争风险的生存分析实际问题中有着广泛应用，朱旭 [7] 和钱迪 [8] 等分别以胃癌和肝癌患者为样本构建Fine-Gray模型研究生存分析问题。

2. Fine-Gray模型介绍

该模型基于

$γ (t, x) = γ_{0} (t) e^{β x}$

这里的 $γ$ 是子分布危险函数， $γ_{0}$ 是子分布的基线危险函数，x是协变量向量， $β$ 是回归系数。其中子分布危险函数为

$γ_{i} (t) = \lim_{δ t \to 0} {\frac{P (t < T < t + δ t, C = i | T > t 或 T \leq t 且 C \neq i)}{δ t}}$

偏似然方程为

$L (β) = \prod_{j = 1}^{r} \frac{\exp (β x_{j})}{\sum_{i \in R_{j}} w_{j i} \exp (β x_{i})}$

在所有的感兴趣的事件被观察到的时间点取乘积，其中 $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{r}$ 。Fine-Gray模型的偏似然形式和Cox比例风险模型相似，与Cox比例风险模型相比，Fine-Gray模型主要有两个差异，风险集合 $R_{j}$ 定义方式不同以及引入了删失生存权重 $w_{j i}$ 。风险集合 $R_{j}$ 由在时间t之前未经历事件的个体和在时间t之前经历了一个竞争风险事件的个体组成。

$R_{j} (t) = {i : T_{i} \geq t 或 T_{i} \leq t 并且经历过一个竞争风险事件的个体}$

因此，那些经历过竞争风险事件的个体一直处于风险集中。在存在竞争风险的前提下，一种类型i事件在时间t之前不发生的概率称为子生存函数，定义为 $S_{i} (t) = P (T > t, C = i)$ 。

删失生存概率权重 $w_{j i}$ 定义为

$w_{j i} = \frac{\hat{S} (t_{j})}{\hat{S} (\min (t_{j}, t_{i}))}$

这里的 $\hat{S}$ 是删失生存分布函数的一个K-M估计，需要解释一下，删失生存分布定义为 $(T_{i}, C_{i})$ ，这里的 $T_{i}$ 定义为观察到第一个事件的时间，如果未观察到事件则 $C_{i} = 1$ ，而观察到事件时 $C_{i} = 0$ 。在每个观测到感兴趣事件发生的时间点(下标为j)，风险集合由在时间t之前未经历事件的个体和在时间t之前经历了一个竞争风险事件的个体组成。对给出的部分似然的对数进行求导，得到得分统计量：

$U (β) = \sum_{j = 1}^{r} {x_{j} - \frac{\sum_{i \in R_{j}} w_{j i} x_{i} \exp (x_{i} β)}{\sum_{i \in R_{j}} w_{j i} \exp (x_{i} β)}}$

$\hat{β}$ 表示回归系数 $β$ 的估计，是函数 $U (β) = 0$ 时 $β$ 的取值。

为说明Fine-Gray模型的计算过程，给出示例数据集见表1。表1中包括10个观测个体，其观测到的时间点，事件类型，每个个体协变量为分别在表1的第1~4列。

Table 1. Example dataset

表1. 示例数据集

备注：事件类型I：感兴趣事件；事件类型II：竞争风险事件；事件类型III：删失。

表1第5列给出了删失分布生存函数估计值 $\hat{S}$ ，这里的 $\hat{S}$ 由K-M估计计算可得，K-M方法的过程如下：假定 $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{r}$ 是唯一的删失时间点，设 $d_{j}$ 为在 $t_{j}$ 时间发生删失的个体数量， $n_{j}$ 为在 $t_{j}$ 之前有经历该事件风险的个体数量。则

$\hat{S} (t) = \prod_{t_{j} \leq t} \frac{n_{j} - d_{j}}{n_{j}}$

在10个观测个体中，有4个个体发生删失。删失时间点分别在 $t = t_{1}, t_{2}, t_{6}, t_{9}$ ，这4个删失时间点的生存分布 $\hat{S}$ 值，计算如下；

$\begin{array}{l} \hat{S} (t_{1}) = \frac{10 - 1}{10} = 0.90 \\ \hat{S} (t_{2}) = \hat{S} (t_{1}) \times \frac{8}{9} = 0.80 \\ \hat{S} (t_{6}) = \hat{S} (t_{2}) \times \frac{4}{5} = 0.64 \\ \hat{S} (t_{9}) = \hat{S} (t_{6}) \times \frac{1}{2} = 0.32 \end{array}$

在其他未发生删失6个时间点，每个时间点的生存函数估计值 $\hat{S}$ 与小于该时间点的前一个删失时间点的生存估计值相同。

在得到各个时间点的生存函数估计值后，可以计算删失生存概率权重 $w_{j i}$ ，计算过程见表2。观测个体单元在第1行，感兴趣(类型I)事件发生的时间点在第1列，表中数据为类型I事件在各阶段所在风险集中取得的权重 $w_{j i}$ 。

Table 2. Calculation process of weights w j i for deleted survival probabilities

表2. 删失生存概率权重 $w_{j i}$ 的计算过程

备注：表中“−”表示该单元对应时间点 $t_{i}$ 不在讨论的风险集 $R_{j}$ 中。

对于感兴趣事件(类型I)，竞争风险事件(类型II)，删失(类型III) 3种不同类型事件，10个观测个体他们在不同时刻的权重也不相同。

注意，在风险集 $R_{j}$ 中，对于时间点 $t_{j}$ ，当 $t_{j} \leq t_{i}$ 时，由 $\min (t_{j}, t_{i}) = t_{j}$ ，此时

$w_{j i} = \frac{\hat{S} (t_{j})}{\hat{S} (\min (t_{j}, t_{i}))} = 1$

当 $t_{j} > t_{i}$ 时，权重小于1。

以个体4为例，其对应的删失生存概率权重 $w_{j i}$ 为

$w_{4 i} = \frac{\hat{S} (t_{4})}{\hat{S} (\min (t_{4}, t_{i}))}$

个体1和个体2在 $t = t_{1}$ 和 $t = t_{2}$ 时发生删失，在此之前没有观测到感兴趣事件，因此不在风险集中，个体3在 $t = t_{3}$ 时观测到感兴趣事件，它只参与了第一项的部分似然，权重为1，个体4在 $t = t_{4}$ 时观测到竞争风险事件，在 $t_{4}$ 之前，权重为1，随着时间推移，权重逐渐降低。个体5在 $t = t_{5}$ 时观测到感兴趣事件，参与了前两项的部分似然，权重为1。

对于本例，需要求解的得分统计量为：

$\begin{matrix} U (β) = x_{3} - \frac{w_{33} x_{3} e^{x_{3} β} + w_{34} x_{4} e^{x_{4} β} + \dots + w_{3, 10} x_{10} e^{x_{10} β}}{w_{33} e^{x_{2} β} + w_{34} e^{x_{4} β} + \dots + w_{3, 10} e^{x_{10} β}} \\ + x_{5} - \frac{w_{54} x_{4} e^{x_{4} β} + w_{55} x_{5} e^{x_{5} β} + \dots + w_{5, 10} x_{10} e^{x_{10} β}}{w_{54} e^{x_{4} β} + w_{55} e^{x_{5} β} + \dots + w_{5, 10} e^{x_{10} β}} \\ + x_{7} - \frac{w_{74} x_{4} e^{x_{4} β} + w_{77} x_{7} e^{x_{7} β} + \dots + w_{7, 10} x_{10} e^{x_{10} β}}{w_{74} e^{x_{4} β} + w_{77} e^{x_{7} β} + \dots + w_{7, 10} e^{x_{10} β}} \\ + x_{10} - \frac{w_{10, 4} x_{4} e^{x_{4} β} + w_{10, 8} x_{8} e^{x_{8} β} + w_{10, 10} x_{10} e^{x_{10} β}}{w_{10, 4} e^{x_{4} β} + w_{10, 8} e^{x_{8} β} + w_{10, 10} e^{x_{10} β}} \\ = 0 \end{matrix}$

将表2中的权重值和表1中的x代入可得

$\begin{matrix} U (β) = 8 - \frac{8 e^{8 β} + 9 e^{9 β} + 7 e^{7 β} + 10 e^{10 β} + 11 e^{11 β} + 13 e^{13 β} + 8 e^{8 β} + 9 e^{9 β}}{e^{8 β} + e^{9 β} + e^{7 β} + e^{10 β} + e^{11 β} + e^{13 β} + e^{8 β} + e^{9 β}} \\ + 7 - \frac{9 e^{9 β} + 7 e^{7 β} + 10 e^{10 β} + 11 e^{11 β} + 13 e^{13 β} + 8 e^{8 β} + 9 e^{9 β}}{e^{9 β} + e^{7 β} + e^{10 β} + e^{11 β} + e^{13 β} + e^{8 β} + e^{9 β}} \\ + 11 - \frac{0.8 \times 9 e^{9 β} + 11 e^{11 β} + 13 e^{13 β} + 8 e^{8 β} + 9 e^{9 β}}{0.8 e^{9 β} + e^{11 β} + e^{13 β} + e^{8 β} + e^{9 β}} \\ + 9 - \frac{0.4 \times 9 e^{9 β} + 0.5 \times 13 e^{13 β} + 9 e^{9 β}}{0.4 \times e^{9 β} + 0.5 \times e^{13 β} + e^{9 β}} \\ = 0 \end{matrix}$

可以算出函数的解 $\hat{β} = - 0. 4363$ 。

3. 基于Fine-Gray模型的CIF估计

定义 $H (t)$ 为子分布的累计危险函数，它的估计计算方法如下

$\hat{H} (t; x_{0}, \hat{β}) = \sum_{t_{j} \leq t} {\frac{\exp (x_{0} \hat{β})}{\sum_{i \in R_{j}} w_{j i} \exp (x_{i} \hat{β})}}$

其中t表示感兴趣的时间点， $x_{0}$ 为代入的协变量， $\hat{β}$ 为回归系数的估计值。

通过累积危险函数 $H (t)$ 可计算CIF的估计值，计算公式如下：

$F (t) = 1 - \exp (- H ( t ))$

利用表1中的示例数据集，代入4个感兴趣时间点及对应协变量，计算累计危险函数以及CIF的估计值。

$\begin{matrix} \hat{H} (t = t_{3}; x_{0} = 8, \hat{β} = - 0. 4363) = \frac{e^{8 \hat{β}}}{e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ = 0 .1773 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \hat{H} (t = t_{5}; x_{0} = 7, \hat{β} = - 0.4363) = \frac{e^{7 \hat{β}}}{e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{7 \hat{β}}}{e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ = 0.2743 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \hat{H} (t = t_{7}; x_{0} = 11, \hat{β} = - 0.4363) = \frac{e^{11 \hat{β}}}{e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{11 \hat{β}}}{e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{11 \hat{β}}}{0.8 e^{9 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ = 0.0479 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \hat{H} (t = t_{10}; x_{0} = 9, \hat{β} = - 0.4363) = \frac{e^{9 \hat{β}}}{e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{9 \hat{β}}}{e^{9 \hat{β}} + e^{7 \hat{β}} + e^{10 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{9 \hat{β}}}{0.8 e^{9 \hat{β}} + e^{11 \hat{β}} + e^{13 \hat{β}} + e^{8 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ + \frac{e^{9 \hat{β}}}{0.4 e^{9 \hat{β}} + 0.5 e^{13 \hat{β}} + e^{9 \hat{β}}} \\ = 0.6724 \end{matrix}$

CIF的估计值为

$\begin{array}{l} \hat{F} (t = t_{3}; x_{0} = 8, \hat{β} = - 0.4363) = 1 - e^{- \hat{H} (t = t_{3}; x_{0} = 8, \hat{β} = - 0.4363)} = 0.1625 \\ \hat{F} (t = t_{5}; x_{0} = 7, \hat{β} = - 0.4363) = 1 - e^{- \hat{H} (t = t_{5}; x_{0} = 7, \hat{β} = - 0.4363)} = 0.2399 \\ \hat{F} (t = t_{7}; x_{0} = 11, \hat{β} = - 0.4363) = 1 - e^{- \hat{H} (t = t_{7}; x_{0} = 11, \hat{β} = - 0.4363)} = 0.0468 \\ \hat{F} (t = t_{10}; x_{0} = 9, \hat{β} = - 0.4363) = 1 - e^{- \hat{H} (t = t_{10}; x_{0} = 11, \hat{β} = - 0.4363)} = 0.4895 \end{array}$

4. 实例分析

数据来自R中的数据集(survival包中的mgus2)，共计1371例单克隆丙种球蛋白病患者，其中结局事件定义为“发生浆细胞恶性肿瘤”有114例，而结局事件是在“发生浆细胞恶性肿瘤”之前因其他原因死亡患者有855例，这些发生“其他死亡”的患者因无法观察到“发生浆细胞恶性肿瘤”的终点，就被称为与“发生浆细胞恶性肿瘤”存在竞争风险的事件，其他402例患者是在观测期间上述结局事件没有发生。研究指标变量定义与赋值见表3。

Table 3. Definitions and assignments of variables

表3. 各变量的定义与赋值

协变量x有两个，分别为血红蛋白水平和年龄，记为x₁，x₂，创立协变量矩阵。生存时间t对类型I事件表示直至发展为浆细胞恶性肿瘤或最后一次访视时间，对类型II事件表示直到死亡或最后一次接触的时间，对类型III事件表示最后一次接触时间。

数据集mgus2中的各个变量的统计描述见表4。

Table 4. Statistical description of variables

表4. 变量的统计性描述

利用Fine-Gray模型分析建模，这里的协变量为x₁，x₂，自变量为生存时间t，响应变量为回归系数 $\hat{β}$ 。

如果用Cox模型进行回归分析，由于不考虑竞争风险，因此在考虑类型I事件时，将类型I事件为感兴趣事件，类型II和类型III事件改为删失事件，在考虑类型II事件时，则将类型II事件作为感兴趣事件，类型I和类型III事件改为删失事件。

利用Fine-Gray模型和Cox模型建模所得结果见表5。

Table 5. Comparison between Fine-Gray model and Cox model

表5. Fine-Gray模型与Cox模型对比

根据表5，可得出以下结果：

在对类型I事件建模中，Fine-Gray模型与Cox模型估计结果差异很大。Fine-Gray模型协变量x₁的回归系数不显著，x₂的回归系数显著。Cox模型估计结果则与之相反。而在对于类型II事件建模中，Fine-Gray模型与Cox模型估计结果非常接近。协变量x₁和x₂对应的回归系数都非常显著。说明利用Fine-Gray模型与Cox模型的建模区别主要体现在对类型I事件的估计结果上。主要由于Cox模型只针对样本中发生类型I事件114例的个体建模，而Fine-Gray模型在考虑了发生类型I事件的114例个体基础上，还考虑发生类型II (竞争风险)事件的855例个体，在建模过程中，通过表2中的权重计算方法，算出竞争风险事件个体的权重，并且随着时间推移，竞争风险事件个体在风险集中的权重逐渐降低。

为了更直观的说明Fine-Gray模型与Cox模型的区别，分别绘制类型I事件的累计发生率的曲线图。以mgus2数据集协变量的中位数 $x_{1} = 13.5$ ， $x_{2} = 72$ ，编号为135的患者为例，分别用Fine-Gray模型和Cox模型对发生浆细胞恶性肿瘤这一感兴趣事件的累计发生率进行预测，结果见图1。

Figure 1. Predictive comparison between Fine-Gray model and Cox model

图1. Cox模型与Fine-Gray模型对比预测图

5. 结语

由第3部分实证对比分析可以看出，Fine-Gray模型适用于具有多个终点的生存数据，在存在竞争风险的情况下，得到的结果更符合实际，具有更好的拟合性。如临床上常见术后死亡患者无法获取关心终点，故术后死亡与关心终点存在竞争风险。相比之下，使用传统Cox模型会忽略竞争风险，可能高估所研究事件的累计发生率。

基金项目

本研究由2022年度辽宁省研究生教育教学改革研究项目(2022-180-39510165)资助。

文章引用

都业成,侯文. 竞争风险下Fine-Gray模型与Cox模型的比较与评价
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NOTES

^*通讯作者。

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