Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17541,8
pages
10.12677/PM.2016.63028
Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra
Jinsen Zhou1, Guangzhe Fan2
1School of Information Engineering, Longyan University, Longyan Fujian
2Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai
Received: Apr. 29th, 2016; accepted: May 10th, 2016; published: May 13th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Firstly, we recall some concepts associated with a Hom-Lie color algebra. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasi-derivations, center derivations, centroids and quasi-centroids. Furthermore, we investigate some properties and connections between these derivations. Finally, we obtain that the generalized derivations are equal to the sum of quasi-deriva- tions and quasi-centroids.
Keywords:Hom-Lie Color Algebras, Derivations, Generalized Derivations, Quasi-Derivations, Centroids, Quasi-Centroids
Hom-李Color代数的广义导子
周金森1,范广哲2
1龙岩学院信息工程学院,福建 龙岩
2同济大学数学系,上海
收稿日期:2016年4月29日;录用日期:2016年5月10日;发布日期:2016年5月13日
摘 要
首先回忆与Hom-李color代数相关的概念,并且给出它的广义导子、拟导子、中心导子、型心和拟型心的定义。进一步地,研究这些导子之间的性质和联系。最后得到广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。
关键词 :Hom-李Color代数,导子,广义导子,拟导子,型心,拟型心
1. 引言
众所周知,Hom-李代数和李color代数都是李代数的重要推广。和这两类代数相关的结构理论和表示理论已被广泛研究。Hom-李color代数是Hom-李代数及李color代数的进一步推广。然而到目前为止,对于Hom-李color代数的研究还是非常少。文献 [1] 介绍了Hom-李color代数的概念,并且构造了几类新的Hom-李color代数。
导子和广义导子在李理论的发展过程中起着非常重要的作用,文献 [2] - [7] 研究了李代数,李超代数,Hom-李代数,李color代数等各类代数的广义导子。文献 [8] 研究了Hom-李color代数的表示理论并且给出了广义导子的定义,但没有考虑广义导子的性质。本文主要研究了Hom-李color代数的广义导子,拟导子,中心导子,型心和拟型心的性质,并且研究了它们之间的联系。
本文的主要结论归结为引理3.1,3.2和定理3.4,3.5,3.7。
本文总假定F是特征为0的代数闭域,,
是Abelian群,文中出现的
均属于
。
2. 预备知识
首先来回忆一些与Hom-李代数,李color代数以及Hom-李color代数相关的概念和定义。详见文献 [1] [8] [9] 。
定义2.1 Hom-李代数是一个三元组,其中L为数域F上的线性空间,二元运算
满足双线性性,
是线性映射,且满足
1),
2)。
对于任意。
线性空间V称为-阶化的,如果存在V的一簇子空间
,满足
。V中的一个元素
称为次齐次元,如果
。在这种情况下,
称为a的color。通常用
表示a的color,这样V中的每个齐次元素a都有唯一的群
中的元素
与之对应。为了方便,常省掉“-”。在本文中,用hg(V)表示V中所有齐次元素。
若,
是两个
-阶化线性空间,线性映射
称为
次,如果
。进一步,f是0次,即
,则称f是偶的。
代数A称为-阶化的,若A是
-阶化线性空间,即
且
。
若A,B都是-阶化代数,称同态
是偶的,如果
。
定义2.2 称为
上的双特征映射,
,若满足
1),
2),
3),
对于任意。
定义2.3 李color代数是一个三元组,其中L为
-阶化代数,即
,二元运算
满足双线性性,
为
上的双特征映射,且满足
1),
2),
对于任意。
定义2.4 Hom-李color代数是一个四元组,其中L是
-阶化代数,
为
上的双特征映射,偶的双线性映射
,偶的同态
,且满足
1),
2),
对于任意。
注记2.5 如果是一个Hom-李color代数,当取
时,此时
变成了一个李color代数。若对于任意
,都有
,则
是一个Hom-李代数。因此,可以看出Hom-李color代数是Hom-李代数和李color代数的进一步推广。
是一个Hom-李color代数,若对任意
,都有
,则称L为保积的Hom-李color代数。
下面给出Hom-李color代数的各类导子和型心的概念。
命题2.6,
,则
是一个Hom-李color代数,其中李color括积为
。
对于任意,且同态
是偶的,满足
,对于任意
。
证明直接计算易知。
定义2.7 设L为保积的Hom-李color代数,称为L的
次
-导子,如果
,
,
对于任意。
我们把L的次
-导子的全体记为
,则
,其中
是
-阶化的,即
。
定义2.8称为L的
次
-广义导子,如果存在
使得
,
,
对于任意。
我们把L的次
-广义导子的全体记为
,则
,其中
。
定义2.9称为L的
次
-拟导子,如果存在
使得
,
,
对于任意。
我们把L的次
-拟导子的全体记作
,则
,其中
。
定义2.10 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
,
对于任意,则称D为L的
次
-型心。
代表L的所有
次
-型心,则
,其中
。
定义2.11 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
,
对于任意,则称D为L的
次
-拟型心。
代表L的所有
次
-型心,则
,其中
。
定义2.12 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
对于任意,则称D为L的
次
-中心导子。
代表L的所有
次
-型心,则
,其中
。
根据以上定义,我们可得如下结论:
。
定义2.13 若,则
称为L的中心。
3. 各类导子和型心的性质
引理3.1是一个保积的Hom-李color代数,则
1),
和
是
的子代数;
2)是
的理想。
证明 1) 设,
,则
,
,可得
类似地,可得
因而
即
又因为,
,可得
,即证
是
的子代数。
同理,是
的子代数。
设,
,则
,
,可得
同理可证。
可得,从而
是
的子代数。
2) 设,
,则
,
,可得
因此,从而
是
的理想。
引理3.2是一个保积的Hom-李color代数,则有如下两个结论:
1);
2);
证明 1) 设,
,则
,
一方面,可得
因而。
另一方面,可得
由于,可得
因而
从而,因此
。
2) 同1)的证明。
根据文献 [8] 中的命题5.2和5.3,可得如下引理:
引理3.3是一个保积的Hom-李color代数,则
1);
2)。
定理3.4 设是一个保积的Hom-李color代数,则
,即任一广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。
证明:设,
,则存在
,使得
由于,
由的性质,得
,
类似可得,
即,可得
,且
,有
,
,
从而有,
,因此
,即
。
故。
定理3.5设是一个保积的Hom-李color代数,其中
是满射,
是L的中心,则
。特别地,若
,则
。
证明:设,
,
。因为
是满射,所以
,
,使得
,则
从而,即
,
故。
特别地,若,易知
。
注3.6 由文献 [2] 的定理2.6可得,设是Hom-李color代数,
是L的中心。若
,则
。
定理3.7 设是保积的Hom-李color代数,
是满射。若
,则
是Hom-李color代数当且仅当
。
证明:充分性显然成立,下证必要性。
设,
,
。因为
是满射,所以
,
,使得
,因为
是Hom-李color代数,则
,即
由引理3.3 (1)的证明易知
从而,
即,故
。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11431010)。
文章引用
周金森,范广哲. Hom-李Color代数的广义导子
Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 182-189. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63028
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