ABSTRACT

Firstly, we explore the properties of point set on L-semi-topology space, discuss the properties of L-semi-topology subspace, and then get some results in the L-semi-topology space. On this basis, we discuss the comparison of L-semi-topology and L-semi-topology; thus, L-semi-topology theory is further enriched.

Keywords:L-Semi-Topology, L-Semi-Topology Subspace, L-Semi Topological Basis, L-Semi Topology Comparison

关于L-半拓扑空间上的一些探究

李飞，朱培勇

电子科技大学数学科学学院，四川 成都

收稿日期：2020年3月22日；录用日期：2020年4月9日；发布日期：2020年4月17日

摘 要

本文首先对L-半拓扑空间中的点集性质进行了研究，然后对L-半拓扑子空间的性质进行了研究，得到了L-半拓扑空间中的一些结果，在此基础上对L-半拓扑的比较、L-半拓扑基进行了讨论，从而进一步地丰富了L-半拓扑空间理论。

关键词 :L-半拓扑，L-半拓扑子空间，L-半拓扑基，L-半拓扑的比较

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1. 引言与预备知识

匈牙利数学家A. Csaszar 2002年在文献 [1] 中提出广义拓扑空间的概念，并且对广义拓扑空间的性质进行研究，此后不少学者也积极投入，例如文献 [2] - [9]，在广义拓扑空间的点集性质、映射性质以及收敛性质等方面取得了一系列的研究成果。由于广义拓扑实际上是一类半拓扑，2015年文献 [10] 把广义拓扑重新命名为上半拓扑，进而引入了下半拓扑的概念，并且获得了关于下半拓扑中的一些很有意义的结果，在此，一个问题自然地被提出：

问题 能否类比文献 [10]，将拓扑定义中(O1)、(O2)、(O3)三个条件(参见文献 [11])重新组合，将其重新分成两个半拓扑(左半拓扑和右半拓扑)，进而得到一些比拓扑空间理论更弱的一些数学结果？

关于这个问题，文献 [12] [13] [14] [15] 做了一些工作。本文将在文献 [15] 的基础上对L-半拓扑进行更进一步研究。主要讨论了L-半拓扑空间中的点集性质、L-半拓扑的比较、L-半拓扑基。

下面是文献 [15] 引入关于L-半拓扑空间的一些基本概念。

1) 设X是任一非空集合， $\delta$ 是X的一些子集构成的集族，如果下列条件被满足：

(O1) $X\in \delta$ ；(O2) 若 $G_{\lambda }\in \delta \left(\lambda \in \Lambda \right)$，则 ${\displaystyle {\cup }_{\lambda \in \Lambda }{G}_{\lambda }}\in \delta$ (其中 $\text{Λ}$ 为任意指标集)。则称 $\delta$ 为集合X的L-半拓扑，并且称有序偶 $\left(X,\delta \right)$ 为一个L-半拓扑空间，集族 $\delta$ 中的每一个集合都称为L-半拓扑空间 $\left(X,\delta \right)$

的L-开集。

2) 设 $\left(X,\delta \right)$ 为L-半拓扑空间， $x\in X,U\subset X$，如果 $\exists G\in \delta$，使得 $x\in G\subset U$，则称U为点x的一个L-邻域，x点邻域的全体称为点x的L-邻域系，记作 $\mathcal{U}\left(x\right)$，并称 $\mathcal{U}=\left\{\mathcal{U}\left(x\right)|x\in X\right\}$ 为由L-半拓扑 $\delta$ 导出

的X的L-邻域系。

3) 设 $\left(X,\delta \right)$ 为L-半拓扑空间， $A\subset X$，若 $x\in A\in \mathcal{U}\left(x\right)$ (即 $\exists G\in \delta$，使得 $x\in G\subset A$ )，则称点x为点集A的L-内点。点集A的内点的全体称为A的内部，记为 $A_l^0$ 或 $\mathrm{int}A$。

4) 设 $\left(X,\delta \right)$ 为L-半拓扑空间， $A\subset X,x\in X$，如果 $\forall U\in \mathcal{U}\left(x\right)$，有 $U\cap \left(A\backslash \left\{x\right\}\right)\ne \varnothing$，则称x为点集A的L-聚点，点集A的聚点的全体称为A的L-导集，记为 ${A^{\prime }}_l$。

5) 设 $\left(X,\delta \right)$ 为L-半拓扑空间， $A\subset X$，记 ${\bar{A}}_L=A\cup A^{\prime }$，则称 ${\bar{A}}_L$ 为A的L-闭包。

6) 设 $\left(X,\delta \right)$ 为L-半拓扑空间， $F\subset X$。若 $F^c=X-F\in \delta$，则称F为X的L-闭集。

7) 设A为X中任意非空子集，并记 ${\delta |}_A=\left\{G\cap A|G\in \delta \right\}$，则 ${\delta |}_A$ 为A上的一个L-半拓扑，为此，称 ${\delta |}_A=\left\{G\cap A|G\in \delta \right\}$ 为X上L-半拓扑 $\delta$ 的一个子拓扑。其中 $\left(A,{\delta |}_A\right)$ 称为是 $\left(X,\delta \right)$ 的L-半拓扑子空间，

为了方便，常常简称A为X的L-子空间。

如果没有特别声明，本文所涉及的一切概念、记号等都取自于文献 [15] 或者文献 [11]。

2. 关于L-半拓扑空间中的基本点集

首先，在文献 [15] 的基础上，我们有如下进一步的结果：

定理2.1 集合Χ上的任意两个L-半拓扑的交也是Χ上的一个L-半拓扑；集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。

证明：因为 $X\in {\delta }_1$ 且，则；，有且，则且，故。因此两个L-半拓扑的交仍是Χ上的一个L-半拓扑。

下面用反例说明：集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。

事实上，可取，，，则。显然，，故不是一个L-半拓扑。

定理2.2 设为L-半拓扑空间，，则(1)当且仅当；(2)必为闭集；(3)等于包含A的一切L-闭集的交。

证明：1) (必要性) 因为，则对，，使得，故x是A的L-内点，所以，。又因，故有；(充分性)，即x是A的L-内点，故，使得。因此，。又因，故。

2) 反证：若不是闭集，则由文献 [15] 定理2.5，有；但又由文献 [15] 定理2.4的(LC3)，有，这就产生矛盾。所以，必为闭集。

3) 因为是L-闭集并且，则；反过来，还需证明：，即需证：任何包含A的L-闭集F，必有。事实上，如果存在L-闭集，但，则。取，因为，所以，故。这与矛盾。即，从而。

下面是关于子空间的一个结果：

定理2.3 设A为X的L-子空间，B为A的L-子空间，则B为X的L-子空间。

证明：设为X上的一个L-半拓扑并且，我们只需证明。事实上，，使得。又对于，，使得。从而。所以。

反过来，，，使得，即使得，即。从而。因此是的L-子空间。

作为这一节最后，我们用下面例子说明：点x的L-邻域，未必一定是包含x的L-开集：

例2.4 设，容易验证：是X上一个L-半拓扑，且为点 的一个邻域，但U不是L-半拓扑空间中的L-开集。

3. L-半拓扑的比较

定义3.1 设是Χ上的两个L-半拓扑，如果，则称是比更粗的L-半拓扑，或称是比更细的L-半拓扑。

定理3.1 设是Χ上的两个L-半拓扑，与分别为 关于与的邻域系，则是比更粗的拓扑当且仅当，，使得。

证明：(必要性) 设，，，，使，因为，故，有。

(充分性)若，则有。由已知，，有。因此，使得，所以，从而。

推论3.2 设是Χ上的两个L-半拓扑，若，和分别是关于和的全体闭集构成的集族，则是比更粗的L-半拓扑当且仅当。

证明：(必要性)，有，因，则，故，从而。

(充分性) 对于，有，因，则，故，因此，故是比更粗的L-半拓扑。

定理3.3 设是Χ上的两个L-半拓扑，若，则，有。反之，结论不成立。

证明：1) 设，对于，，，使得。因为，则并且，故，所以。

2) 反之，可取，，，则是Χ上的两个L-半拓扑，由L-半拓扑空间中邻域的定义有，，故又，，故，因此，但是。

推论3.4 设是Χ上的两个L-半拓扑，若，则，有。反之，结论不成立。

证明：1)，，使得，又，因此，使得，则。

2) 反之可取，，，，则，，有，但，故反之结论不成立。

推论3.5 设是Χ上的两个L-半拓扑，若，则，有。反之，结论不成立。

证明：1)，对于，有，又，故，有，则，因此。

2) 反之可取，，，，则，显然有，但，故反之结论不成立。

推论3.6 设是Χ上的两个L-半拓扑，若，则，有。反之，结论不成立。

证明：由推论3.5可知若，则有，又，，由此可得。

反之可取，，，，则，显然有，但，故反之结论不成立。

4. 关于L-半拓扑基以及L-半拓扑基的一些性质

定义4.1 设是L-半拓扑空间，，如果，存在，使得，则称 为L-半拓扑的一个基，为Χ的一个L-拓扑基。

定理4.1 设是一个L-半拓扑空间，为L-半拓扑的一个基当且仅当，，，使得。

证明 (必要性) 设为的一个基，即，，，使得，故，，使得。

(充分性)，因为，，使得，故，由定义可知为的一个基。

在一般拓扑空间中有：

定理4.2 [11] 设是一个拓扑空间，为的一个基，则满足下面两个条件：(B₁)；(B₂)，，必，使得。

这两条性质在一般拓扑空间中成立，但在L-半拓扑空间中(B₁)成立，(B₂)不成立。

在L-半拓扑空间中，(B₁)成立是不言而喻的。但是，(B₂)是不成立的，下面举例子说明这个问题：

取，，则，存在，，，即不存在，使得，故(B₂)不成立。

5. 小结

本文首先引入L-半拓扑的概念，然后讨论了L-半拓扑空间的中点集理论、L-半拓扑子空间的性质、L-半拓扑基的性质以及L-半拓扑的比较，并且获得了一些相应的成果，从而，使L-半拓扑的基本性质得到推广。同时，也通过反例举出了在拓扑空间上成立而在L-半拓扑空间中不成立的一些结果。

文章引用

李 飞,朱培勇. 关于L-半拓扑空间上的一些探究
Some Research on L-Semi-Topology Space[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 325-329. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104041

参考文献