华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2020年8月29日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日

摘要

量子MDS码的构造如今变得越来越重要。本文我们对 $q^2-1$ 作素数分解并讨论了q的奇偶性，在有限域 $F_{q^2}$ 上构造了4类新的量子MDS码。这些量子MDS码参数更灵活，最小距离大。此外，我们通过L₁-forms和L₂-forms可以找到那些极小距离大于 $\frac{q}{2}+1$ 的那些量子MDS码。

关键词

量子码，厄米特自正交，GRS码

New Quantum MDS Codes from GRS Codes

Shuo Chen, Xilin Tang

School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Aug. 29^th, 2020; accepted: Sep. 18^th, 2020; published: Sep. 25^th, 2020

ABSTRACT

It becomes more important to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes by means of the self-dual Generalized Reed-Solomon (GRS) codes. In this paper, we construct four classes of quantum MDS codes over a finite field $F_{q^2}$ through the prime decomposition of $q^2-1$ and the discussion of the parity of q. These quantum MDS codes have more flexible parameters with large minimum distance. Further, those quantum codes of the minimum distances larger than $\frac{q}{2}+1$ can be found by L₁-forms and L₂-forms.

Keywords:Quantum MDS Code, Hermitian Self-Orthogonal, GRS Codes

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

近年来，量子纠错码的研究进展迅速。量子误差校正是实现量子计算和量子通信的重要保证。设q为一个素数的m次幂， $F_q$ 为含有q个元素的有限域。一个长度为n，维数为K的量子码是 $q^n$ 维希尔伯特空间的一个K维子空间。同时我们把一个长度为n，维数为K，极小距离为d的q元量子码记为 $q-\left(\left(n,K,d\right)\right)$。一个长度为n，维数为 $q^k$，极小距离为d的量子码的q元量子码则记为 ${〚n,k,d〛}_q$。

近年来，针对量子MDS码的构造进行了大量的研究工作，并构建了很多类新的量子MDS码(参考 [1] - [7] )。在本文中，假设 $q^2-1=2^{t_0}{p}_1^{t_1}\cdots p_s^{t_s}$ 是对 $q^2-1$ 的一个素数分解，我们通过GRS码构造了4类新的量子MDS码。与 [7] [8] 相比，上述量子MDS编码的长度更灵活，同时通过L₁-forms和L₂-forms我们也可以找到一个较大的极小距离。

在第二节中，我们简要回顾了厄米特自正交性和GRS码的定义及基本结论。在第三节中，我们从GRS码出发，利用有限域等工具，构造了一些新的量子MDS码。在最后一部分，我们对本文的结论进行了总结。

2. 预备知识

在本节中，我们将介绍一些关于线性码和GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。

2.1. 基本符号

假设 $q=p^m$，其中p是一个素数，m是一个正整数，F_q为含有q个元素的有限域， $F_q^{*}=F_q\backslash \left\{0\right\}$。

对于任意两个向量 $u=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)$，$v=\left(v_1,v_2,\cdots ,v_n\right)\in F_q^n$，它们的欧几里得内积和厄米特内积被分别定义为：

${\langle u,v\rangle }_E={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{u}_i{v}_i}$，${\langle u,v\rangle }_H={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{u}_i{v}_i^q}$

假设C是 $F_q^n$ 中一个长度为n的线性码，则C的厄米特对偶码定义为：

$C^{\perp H}=\left\{u\in F_q^n:{\langle u,v\rangle }_H=0对任意的v\in C\right\}$

如果C满足 $C\subseteq C^{\perp H}$，则C被称为厄米特自正交码。若C的参数为 $\left[n,k,d\right]$，则当 $d=n-k+1$ 时，我们称C为MDS码(maximum distance separable code)。

假设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 $F_q$ 中n个不同的元素， $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 是 $F_q$ 中n个非零元素，则关于向量

$a=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 和 $v=\left(v_1,v_2,\cdots ,v_n\right)$ 的GRS码定义为

$GR{S}_k\left(a,v\right)=\left\{\left(v_{1}f\left(a_1\right),v_{2}f\left(a_2\right),\cdots ,v_{n}f\left(a_n\right)\right):f\left(x\right)\in F_q\left[x\right],\mathrm{deg}\left(f\left(x\right)\right)\le k-1\right\}$。

我们知道 $GR{S}_k\left(a,v\right)$ 是一个参数为 $\left[n,k,n-k+1\right]$ 的MDS码。

2.2. 基本引理和推论

引理2.2.1 [9]. 假设 $a=\left(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\right)\in F_{q^2}^n$，$v=\left(v_0,v_1,\cdots ,v_{n-1}\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^n$，这里 $a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 是 $F_q$ 中n个不同的元素，则 $GR{S}_k\left(a,v\right)\subseteq GR{S}_k{\left(a,v\right)}^{\perp H}$ 当且仅当 $\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle =0$ 对于任意的 $0\le j,l\le k-1$。

我们定义 $0$ 为元素全为0的一维行向量，对于元素在 $F_{q^2}$ 中的矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$，定义 $A^{\left(q\right)}$ 为矩阵 $\left(a_{ij}^q\right)$，$0^0$ 我们记为1。

引理2.2.2 [3] [10].假设 $r>0$，A为元素在 $F_{q^2}$ 中的 $r\times \left(r+1\right)$ 阶矩阵并且满足以下两个条件：

(1) A的任意r列线性无关。

(2) $A^{\left(q\right)}$ 与A行等价。

则方程组 $A{u}^{\text{T}}=0^{\text{T}}$ 存在一个解 $u=\left(u_0,u_1,\cdots ,u_r\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r+1}$。

推论2.2.3. 假设 $r>0$，$1\le a\in {\mathbb{Z}}^{*}$ 和 $r+a<q+1$。A为元素在 $F_{q^2}$ 中的 $r\times \left(r+1\right)$ 阶矩阵并且满足以下两个条件：

(1) A的任意r列线性无关。

(2) $A^{\left(q\right)}$ 与A行等价。

则方程组 $A{u}^{\text{T}}=0^{\text{T}}$ 存在一个解 $u=\left(u_0,u_1,\cdots ,u_{r+a-1}\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r+a}$

证明：我们对a应用数学归纳法。

(1) 当 $a=1$ 时，由引理2.2.2，结论成立。

(2) 假设结论在 $a\le x-1$ 时成立，其中 $x\ge 2$ 是一个正整数。

(3) 当 $a=x$ 时，假设 $A_1$ ( $A_{r+x}$ )为由矩阵A删除第一列(最后一列)获得的 $r\times \left(r+x-1\right)$ 阶矩阵。根据(2)的假设， $A_1$ 和 $A_{r+x}$ 对于结论成立，因此方程组

$A_1{u}^{\text{T}}=0^{\text{T}}$，$A_{r+x-1}{v}^{\text{T}}=0^{\text{T}}$

分别存在一个非零解 $u=\left(u_2,u_3,\cdots ,u_{r\text{+}x}\right)$ 和 $v=\left(v_1,v_2,\cdots ,v_{r\text{+}x-1}\right)$。由于 $r+x<q+1$，我们可以选出一个元素

$\theta \in F_q^{*}\backslash \left\{\frac{u_2}{v_2},\frac{u_3}{v_3},\cdots ,\frac{u_{r+x-1}}{v_{r+x-1}}\right\}$

取 $x=\left(0,u\right)-\theta \left(v,0\right)$，则 $x\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r+x}$，我们有

$Ax=\left(\begin{array}{c}0\\ A_1{u}^{\text{T}}\end{array}\right)+\theta \left(\begin{array}{c}{A}_{r+x-1}{v}^{\text{T}}\\ 0\end{array}\right)=0$

故结论成立。

引理2.2.4 [1]. 如果存在一个元素在 $F_{q^2}$ 上的 $\left[n,k,d\right]$ 线性码C且 $C^{\perp H}\subseteq C$，则存在一个参数为 ${〚n,k,\ge d〛}_q$ 的量子码。

引理2.2.5 [8]. 如果存在一个厄米特自正交的 ${\left[n,k,n-k+1\right]}_{q^2}$ MDS码，则存在一个参数为 ${〚n,n-2k,k+1〛}_q$ 的量子码。

假设 $\alpha =\left(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\right)\in F_{q^2}^n$，$\beta =\left(b_0,b_1,\cdots ,b_{m-1}\right)\in F_{q^2}^m$，定义他们的张量积：

$\alpha \otimes \beta =\left(a_0\beta ,a_1\beta ,\cdots ,a_{n-1}\beta \right)\in F_{q^2}^{mn}$。

可以看出

$\langle \alpha \otimes \beta ,{\alpha }_1\otimes {\beta }_1\rangle =\langle \alpha ,{\alpha }_1\rangle \langle \beta ,{\beta }_1\rangle$。

假设 $F_{q^2}^{*}=\langle \omega \rangle$，其中 $\omega$ 为 $F_{q^2}$ 的一个本原元。设 $q^2-1=2^{t_0}{p}_1^{t_1}\cdots p_s^{t_s}$ 是对 $q^2-1$ 的一个素数分解，再者，我们可以假设 $q-1=2^{{t^{\prime }}_0}{p}_1^{t_1}\cdots p_w^{t_w}$，$q+1=2^{{t^{″}}_0}{p}_{w+1}^{t_{w+1}}\cdots p_s^{t_s}$，$M_1=\frac{q-1}{2^{{k^{\prime }}_0}{p}_1^{k_1}\cdots p_w^{k_w}}$，$M_2=\frac{q+1}{2^{{k^{″}}_0}{p}_{w+1}^{k_{w+1}}\cdots p_s^{k_s}}$ 和

$p_0=2$，$t_0={t^{\prime }}_0+{t^{″}}_0$，$k_0={k^{\prime }}_0+{k^{″}}_0$，$M=M_1{M}_2$，$0\le k_i\le t_i$ 对于 $0\le i\le s$。很容易可以看出

$q\left(\mathrm{mod}{p}_i\right)=\{\begin{array}{l}1;1\le i\le w\\ -1;w+1\le i\le s\end{array}$，$q\left(\mathrm{mod}4\right)=\{\begin{array}{l}1;1={t^{″}}_0<{t^{\prime }}_0\\ -1;1={t^{\prime }}_0<{t^{″}}_0\end{array}$

假设 ${\alpha }_i={\omega }^{\frac{q^2-1}{p_i^{t_i}}}$ 对于 $i=0,1,\cdots ,s$，则 $ord\left({\alpha }_i\right)=p_i^{t_i}$，我们可以得出

$\gcd \left(ord\left({\alpha }_i\right),ord\left({\alpha }_j\right)\right)=1$ 对任意的 $i\ne j$

因此 $F_{q^2}^{*}=\langle {\alpha }_0\rangle \times \langle {\alpha }_1\rangle \times \cdots \times \langle {\alpha }_s\rangle$ 是 $s+1$ 个子群的直积。

设 ${\gamma }_i={\alpha }_i^{p_i^{k_i}}$，则 $ord\left({\gamma }_i\right)=p_i^{t_i-k_i}$，设 ${\Gamma }_i=\langle {\gamma }_i\rangle$ 以及

$\left({\Gamma }_i\right)=\left(1,{\gamma }_i,\cdots ,{\gamma }_i^{p_i^{t_i-k_i}-1}\right)$。

则有 $\langle {\alpha }_i\rangle ={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{p_i^{k_i}-1}{\cup }}{\alpha }_i^t\langle {\gamma }_i\rangle }$ 对任意的 $i=0,1,\cdots ,s$。

3. 主要结果

记 $n=\frac{\left(r_0+1\right)\left(r_1+1\right)\cdots \left(r_s+1\right)\left(q^2-1\right)}{2^{k_0}{p}_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}}$，在这一节，我们利用厄米特自正交的GRS码来构造新的长度

为 $1+n$ 的量子MDS码。在此之前，我们先给出以下几个引理。

引理3.1 [3]. 设 $q>2$ 和 $r\ge 1$，则存在 $u_0,u_1,\cdots ,u_r$ 使得

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r}{\sum }}{u}_i}=0$

根据引理3.1，我们有如下推论。

推论3.2. 设 $q>2$ 和 $r\ge 1$，$v\in F_q^{*}$，则存在 $u_0,u_1,\cdots ,u_r$ 使得

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r}{\sum }}{u}_i}=v$

证明：我们分两种情况来证明此推论。

(1) $r=1$。任取 $u_0\in F_q^{*}$ 及

$u_1=v-u_0\in F_q^{*}$

则有 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r}{\sum }}{u}_i}=v$。

(2) $r>1$。由引理3.1，则存在 $u_0,u_1,\cdots ,u_r$ 使得 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r-1}{\sum }}{u}_i}=0$，取 $u_r=v\in F_q^{*}$，我们有

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r}{\sum }}{u}_i}=0+v=v$

故结论成立。

3.1. 当 $q=2^m$ 时

对于一个向量 $c=\left(c_1,\cdots ,c_n\right)\in F_{q^2}^n$ 和 $u\in F_{q^2}$，我们定义

$c\oplus u=\left(c_1,\cdots ,c_n,u\right)\in F_{q^2}^{n+1}$。

当 $q=2^m$ 的时候， $t_0=0$，$q^2-1=p_1^{t_1}{p}_2^{t_2}\cdots p_s^{t_s}$，对于 $i=1,2,\cdots ,s$ 令

$a_i=\left({\Gamma }_i\right)\otimes \left({\alpha }_i^0,{\alpha }_i^1,\cdots ,{\alpha }_i^{r_i}\right)$

$a=a_1\otimes a_2\otimes \cdots \otimes a_s\oplus 0$.

引理3.1.1. 假设 $r_1=\max \left\{r_1,\cdots ,r_w\right\}$。则存在 $v\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{n+1}$ 使得 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$ 对所有 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。

证明：我们分两步来证明这个引理。

第一步：我们先证明 ${\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E$ 对所有 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。

对于 $i=1,2,\cdots ,s$，通过对 ${\alpha }_i$ 和 ${\gamma }_i$ 的选择，向量a里面的元素各不相同，同时令

$v_i=1_{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}\otimes \left(v_{i0},v_{i1},\cdots ,v_{i{r}_i}\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{\left(r_i+1\right)p_i^{t_i{-}_{k_i}}}$，

以及

$v^{*}=v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_s\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^n$，

这里 $1_{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}=\left(1,1,\cdots ,1\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}$。

由于 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$，我们有

$\begin{array}{c}{\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E={\langle a_1^{qj+l},v_1^{q+1}\rangle }_E{\langle a_2^{qj+l},v_2^{q+1}\rangle }_E\cdots {\langle a_s^{qj+l},v_s^{q+1}\rangle }_E\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{w}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}{\displaystyle \underset{i=w+1}{\overset{s}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}\end{array}$

我们考虑一下两种情况：

(1) 存在 $x:1\le x\le s$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid qj+l$，或者存在 $x:1\le x\le w$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid j+l$，或者存在

$x:w+1\le x\le s$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid j-l$。我们有 ${\langle a_x^{qj+l},v_x^{q+1}\rangle }_E=0$。因此 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$。

(2) 当对于任意的 $x:1\le x\le s$，$p_x^{t_x-k_x}|qj+l$，对于任意的 $x:1\le x\le w$，$p_x^{t_x-k_x}|j+l$，对于任意的 $x:w+1\le x\le s$，$p_x^{t_x-k_x}|j-l$ 时，由于 $\gcd \left(p_i,p_j\right)=1$ 对于 $1\le i\ne j\le s$ 和 $ord\left({\alpha }_i\right)=p_i^{t_i}$，我们可以得到 $M|qj+l$，$M_1|j+l$，$M_2|j-l$。考虑 $i=1$ 时的情况，有

${\alpha }_1^{qj+l}={\alpha }_1^{\left(q-1\right)j+j+l}={\alpha }_1^{j+l}$

所以存在整数 $c_1$ 和 $c_2$ 使得 $j+l=c_{1}M+c_2{p}_1^{t_1}$。考虑一下两种情况。

(2.1) $r_1$ 为奇数时。

由于 $r_1$ 为奇数，故 $0\le j+l\le \left(r_1-1\right)M_1$，则存在 $l_1\in {\mathbb{Z}}^{*}$ 使得 $j+l=l_1{M}_1$，故有

${\alpha }_1^{j+l}={\left({\alpha }_1^{M_1}\right)}^{l_1}$ 和 ${\displaystyle \underset{y_1=0}{\overset{r_1}{\sum }}{\alpha }_1^{y_1\left(qj+l\right)}{v}_{1y_1}^{q+1}}={\displaystyle \underset{y_1=0}{\overset{r_1}{\sum }}{\left({\alpha }_1^{M_1}\right)}^{y_1{l}_1}{v}_{1y_1}^{q+1}}$。

同时，我们可以得到 $l_1\in \left\{0,1,2,\cdots ,r_1-1\right\}$。即要去找出 $\left(z_0,z_1,\cdots ,z_{r_1}\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r_1+1}$ 使得

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r_1}{\sum }}{\alpha }_1^{i\left(j+l\right)}{z}_i}=0$

记 ${\Delta }_1={\alpha }_1^{M_1}$，则 $ord\left({\Delta }_1\right)=p_1^{k_1}$，由于 $q\equiv 1\mathrm{mod}\left(p_1\right)$，我们有 ${\Delta }_1^q={\Delta }_1$。

令

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\Delta }_1& {\Delta }_1^2& \cdots & {\Delta }_1^{r_1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\Delta }_1^{r_1-2}& {\Delta }_1^{2\left(r_1-2\right)}& \cdots & {\Delta }_1^{r_1\left(r_1-2\right)}\\ 1& {\Delta }_1^{r_1-1}& {\Delta }_1^{2\left(r_1-1\right)}& \cdots & {\Delta }_1^{r_1\left(r_1-1\right)}\end{array}\right)$，$z=\left(\begin{array}{c}{z}_0\\ z_1\\ ⋮\\ z_{r_1}\end{array}\right)$.

考虑 $r_1+1$ 次线性方程组

$AZ=0^{\text{T}}$ (1)

由于 ${\Delta }_1^{ijq}={\Delta }_1^{ij}$，则意味着 $A^q=A$。由引理2.2知，方程组 $AZ=0^{\text{T}}$ 存在一个解 $u^{\text{T}}$ 和 $u=\left(u_0,u_1,\cdots ,u_{r_1}\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r_1+1}$，取 $v_{1i}$ 使得 $v_{1i}^{q+1}=u_i$ 对于 $i=0,1,\cdots ,r_1$，令

$v_1=1_{p_1^{t_1-k_1}}\otimes \left(v_{10},v_{11},\cdots ,v_{1r_1}\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{\left(r_1+1\right)p_1^{t_1{-}_{k_1}}}$，

则有 ${\langle a_1^{qj+l},v_1^{q+1}\rangle }_E=0$，即 ${\langle a^{qj+l},{(v^{*})}^{q+1}\rangle }_E$。

(2.1) $r_1$ 为偶数时。

由于 $r_1$ 为偶数，故 $0\le j+l\le \left(r_1-2\right)M_1$，我们可以得到 $l_1\in \left\{0,1,2,\cdots ,r_1-2\right\}$。记 ${\Delta }_1={\alpha }_1^{M_1}$，则 $ord\left({\Delta }_1\right)=p_1^{k_1}$，由于 $q\equiv 1\mathrm{mod}\left(p_1\right)$，我们有 ${\Delta }_1^q={\Delta }_1$。

令

$A_1=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\Delta }_1& {\Delta }_1^2& \cdots & {\Delta }_1^{r_1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\Delta }_1^{r_1-3}& {\Delta }_1^{2\left(r_1-3\right)}& \cdots & {\Delta }_1^{r_1\left(r_1-3\right)}\\ 1& {\Delta }_1^{r_1-2}& {\Delta }_1^{2\left(r_1-2\right)}& \cdots & {\Delta }_1^{r_1\left(r_1-2\right)}\end{array}\right)$。

由推论2.3，我们同样可以得出方程组

$A_{1}Z=0^{\text{T}}$ (2)

存在一个解 $u^{\text{T}}$ 和 $u=\left(u_0,u_1,\cdots ,u_{r_1}\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r_1+1}$，与(2.1)类似，我们也可以得到向量 $v_1$ 使得

${\langle a_1^{qj+l},v_1^{q+1}\rangle }_E=0$，即 ${\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E$。

故由上述讨论可得 ${\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E$ 对所有 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。

第二步：令 $v=v^{*}\oplus 0$。

对所有 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$，当 $j+l=0$ 时，有

$\langle a^0,v^{q+1}\rangle =v_0^{q+1}+p_1^{t_1-k_1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r_1}{\sum }}{v}_{1i}^{q+1}}+\cdots +p_s^{t_s-k_s}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r_s}{\sum }}{v}_{si}^{q+1}}\in F_q$。

当 $j+l>0$ 时，有

${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}$。

对于 $j+l>0$ 的情况，由第一步知，存在

$v_1=1_{p_1^{t_1-k_1}}\otimes \left(v_{10},v_{11},\cdots ,v_{1r_1}\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{\left(r_1+1\right)p_1^{t_1{-}_{k_1}}}$，

使得 ${\langle a_1^{qj+l},v_1^{q+1}\rangle }_E=0$，则有 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$。

由推论3.2，存在

${\delta }_0,{\delta }_{ci}\in F_q^{*}$

使得

${\delta }_0+{\displaystyle \underset{c\ne 1}{\sum }\left(p_c^{t_c-k_c}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\delta }_{ci}}\right)}=-p_1^{t_1-k_1}\left(v_{11}^{q+1}+\cdots +v_{1r_1}^{q+1}\right)\in F_q^{*}$。

则存在 $e_0$，$e_{ci}\in F_{q^2}^{*}$ 使得 $e_0^{q+1}={\delta }_0$，$e_{ci}^{q+1}={\delta }_{ci}$。令 $v_0=e_0$，对于 $i=2,\cdots ,s$，取

$v_i=1_{p_i^{t_i-k_i}}\otimes \left(e_{i0},e_{i1},\cdots ,e_{i{r}_i}\right)$

则有 $\langle a^0,v^{q+1}\rangle =0$。最后，令

$v=v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_s\oplus e_0\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{n+1}$。

有 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$ 对所有 $0\le j,l\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。

基于引理2.4，我们可以得出如下定理。

定理3.1.2.设 $q=2^m$，则存在参数为

$〚1+\frac{\left(r_1+1\right)\cdots \left(r_s+1\right)\left(q^2-1\right)}{p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}},\frac{\left(r_1+1\right)\cdots \left(r_s+1\right)\left(q^2-1\right)}{p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}}-2k+1,k+1〛$

的量子MDS码，其中 $r_1=\max \left\{r_1,\cdots ,r_w\right\}$，$M_1=\frac{q-1}{p_1^{k_1}\cdots p_w^{k_w}}$，$0\le k\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。

由于 $\lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1<\frac{q}{2}+1$，但通过下列例子可以得出极小可以再次扩大，以至于大于 $\frac{q}{2}+1$。

例3.1.3.当 $q=2^5$ 时， $q^2-1=31\times 3\times 11$，令 $p_1=31,p_2=3,p_3=11$，则

$n=\frac{\left(r_1+1\right)\left(r_2+1\right)\left(r_3+1\right)\left(q^2-1\right)}{{31}^{k_1}{3}^{k_2}{11}^{k_3}}$

其中 $0\le r_1\le {31}^{k_1}-1,0\le r_2\le 3^{k_2}-1,0\le r_3\le {11}^{k_3}-1$，$0\le k_1,k_2,k_3\le 1$ 和 $0\le k\le \lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1$。取 $M_1=1,r_1=30,M_2=11$，则 $\lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1=14<\frac{q}{2}=16$。考虑方程 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{31}{\sum }}{\alpha }_1^{i\left(j+l\right)}{z}_i}=0$，注意到此时 $l_1\in \left\{0,1,2,\cdots ,28\right\}$，

而当 $l_1>30$ 时，由于， $ord\left({\alpha }_1\right)=31$，方程与 $l_1-31$ 时同解，然而只有当 $j+l=l_1$ 且 $11|j-l$ 时， $l_1$ 才会出现在方程中，通过计算，方程中 $l_1$ 第一次出现数依次为：0，32，2，34，4，36，6，38，8，40，10，42，12，13，…，29，30。这里面最大为42，故当 $j,l\le 20$ 时， $j+l<42$。因此极小距离d可以达到42，大于17。

通过上述例子，我们可以找出有定理3.1.2给出的量子MDS码使其极小距离 $d>\frac{q}{2}+1$。由于 $\lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1<\frac{q}{2}$，当 $r_1=p_1^{k_1}-1$ 及 $M_1=\frac{q-1}{p_1^{k_1}}$ 时， $\lfloor \frac{r_1-1}{2}\rfloor M_1=\frac{q-1-3M_1}{2}$。所以只需要去检查方程 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r_1}{\sum }}{\alpha }_1^{i\left(j+l\right)}{z}_i}=0$ 对于 $j>\frac{q-1-3M_1}{2}$ 或者 $l>\frac{q-1-3M_1}{2}$，${l^{\prime }}_1\equiv l_1\mathrm{mod}\left(r_1\right)$，$j+l\equiv 0\left(\mathrm{mod}{M}_1\right)$，$l-j\equiv 0\mathrm{mod}\left(M_2\right)$，然后利用中国剩余定理去计算 ${l^{\prime }}_1$ 第一次出现在方程中的数。我们称数 ${l^{\prime }}_1$ 为L₁-forms。

引理3.1.4. 假设 $1+r_s=\max \left\{p_{w+1}^{k_{w+1}},\cdots ,p_s^{k_s}\right\}$。则存在 $v\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{n+1}$ 使得 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$ 对所有

$0\le j,l\le \frac{r_s-2}{2}{M}_2$。

证明：我们仍然分两步来证明这个引理。

第一步：我们先证明 ${\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E$ 对所有 $0\le j,l\le \frac{r_s-2}{2}{M}_2$。

对于 $i=1,2,\cdots ,s$，通过对 ${\alpha }_i$ 和 ${\gamma }_i$ 的选择，向量a里面的元素各不相同，同时令

$v_i=1_{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}\otimes \left(v_{i0},v_{i1},\cdots ,v_{i{r}_i}\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{\left(r_i+1\right)p_i^{t_i{-}_{k_i}}}$，

以及

$v^{*}=v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_s\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^n$，

这里 $1_{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}=\left(1,1,\cdots ,1\right)\in {\left(F_{q^2}^{*}\right)}^{p_i^{t_i{-}_{k_i}}}$。

由于 $0\le j,l\le \frac{r_s-2}{2}{M}_2$，我们有

$\begin{array}{c}{\langle a^{qj+l},{\left(v^{*}\right)}^{q+1}\rangle }_E={\langle a_1^{qj+l},v_1^{q+1}\rangle }_E{\langle a_2^{qj+l},v_2^{q+1}\rangle }_E\cdots {\langle a_s^{qj+l},v_s^{q+1}\rangle }_E\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{w}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}{\displaystyle \underset{i=w+1}{\overset{s}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{m_i=0}{\overset{p_i^{t_i-k_i}-1}{\sum }}{\gamma }_i^{m_i\left(qj+l\right)}}{\displaystyle \underset{y_i=0}{\overset{r_i}{\sum }}{\alpha }_i^{y_i\left(qj+l\right)}{v}_{i{y}_i}^{q+1}}\right)}\end{array}$

我们考虑一下两种情况：

(1) 存在 $x:1\le x\le s$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid qj+l$，或者存在 $x:1\le x\le w$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid j+l$，或者存在 $x:w+1\le x\le s$ 使得 $p_x^{t_x-k_x}\nmid j-l$。我们有 ${\langle a_x^{qj+l},v_x^{q+1}\rangle }_E=0$。因此 ${\langle a^{qj+l},v^{q+1}\rangle }_E=0$。

(2) 当对于任意的 $x:1\le x\le s$，$p_x^{t_x-k_x}\mid qj+l$，对于任意的 $x:1\le x\le w$，$p_x^{t_x-k_x}\mid j+l$，对于任意的 $x:w+1\le x\le s$，$p_x^{t_x-k_x}\mid j-l$ 时，由于 $\gcd \left(p_i,p_j\right)=1$ 对于 $1\le i\ne j\le s$ 和 $ord\left({\alpha }_i\right)=p_i^{t_i}$，我们可以得到 $M|qj+l$，$M_1|j+l$，$M_2|j-l$。考虑 $i=s$ 时的情况，有

${\alpha }_s^{qj+l}={\alpha }_s^{\left(q+1\right)j-j+l}={\alpha }_s^{l-j}$

所以存在整数 $c_1$ 和 ${c^{\prime }}_2$ 使得 $l-j=c_{1}M+{c^{\prime }}_2{p}_s^{t_s}=l_2{M}_2$。

由于 $r_1$ 为偶数，故 $-\frac{r_s-2}{2}{M}_2\le l-j\le \frac{r_s-2}{2}{M}_2$，我们可以得到

$l_1\in \left\{-\frac{r_s-2}{2},1-\frac{r_s-2}{2},\cdots ,\frac{r_s-2}{2}-1,\frac{r_s-2}{2}\right\}$。故

${\displaystyle \underset{y_s=0}{\overset{r_s}{\sum }}{\alpha }_s^{y_s\left(qj+l\right)}{v}_{s{y}_s}^{q+1}}={\displaystyle \underset{y_s=0}{\overset{r_s}{\sum }}{\left({\alpha }_s^{M_s}\right)}^{y_s{l}_2}{v}_{s{y}_s}^{q+1}}$。

记 ${\Delta }_s={\alpha }_s^{M_2}$，则 $ord\left({\Delta }_s\right)=p_s^{k_s}$，由于 $q\equiv -1\mathrm{mod}\left(p_s\right)$，我们有 ${\Delta }_s^q={\Delta }_s^{-1}$。令 $R=\frac{r_s-2}{2}$，故 $p_s^{k_s}=2R+3$。即要去找出 $\left(z_0,z_1,\cdots ,z_{r_s}\right)\in {\left(F_q^{*}\right)}^{r_s+1}$ 使得 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{r_s}{\sum }}{\alpha }_s^{i\left(j+l\right)}{z}_i}=0$ 对每个 $-R\le l_2\le R$。令