ABSTRACT

The main purpose of this paper is to derive local gradient estimates for a second-order elliptic equation of ${\Delta }_{f}u=plogu+qu$ with smooth functions $f$ , p and q on a complete Riemannian manifold.

Keywords:Gradient Estimate, Elliptic Equation, Complete Riemannian Manifold

完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计

王子君

中国地质大学(武汉)，数学与物理学院，湖北 武汉

收稿日期：2019年3月31日；录用日期：2019年4月15日；发布日期：2019年4月22日

摘 要

本文的主要目的是在一个完备黎曼流形上推导出一个二阶椭圆方程 ${\Delta }_{f}u=plogu+qu$ 的局部梯度估计，该方程具有光滑函数 $f$ 、p和q。

关键词 :梯度估计，椭圆方程，完备黎曼流形

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1. 研究背景

梯度估计是研究偏微分方程解的重要工具之一。历史上，S. T. Yau [1] 证明了一个全局梯度估计：对于 $n$ 维的具有下界的Ricci曲率(即 $Ric\ge -\left(n-1\right)K$ ，这里整数 $K\ge 0$ )的黎曼流形上的正调和函数 $u$ (即 $\Delta u=0$ )，我们有 $\left|\nabla u\right|\le \left(n-1\right)\sqrt{K}u$ 。在此基础上，对椭圆方程的梯度估计进行了研究。举几个例子，L. Ma [2] 推导了下列椭圆方程的局部梯度估计：

$\Delta u+au\log u+bu=0,$ (1.1)

这是从在 $a<0$ 和 $b$ 为常数的黎曼流形上的Ricci孤子的势推导出的。2017年，B. Ma，G. Huang和Y. Luo [3] 证明了在完备黎曼流形上对于 $\Delta u+c{u}^{\alpha }=0$ 的正解的梯度估计，其中 $c$ ， $\alpha$ 是两个实常值，并且 $c\ne 0$ 。

$f$ -Laplacian是Laplace-Beltrami算子的自然类比，它由 $C^2$ 函数 $u$ 定义：

${\Delta }_{f}u=\Delta u-\langle \nabla u,\nabla f\rangle ,$

Bakry-Émery Ricci曲率定义为：

$Ri{c}_f:=Ric+Hessf.$

K. Brighton [4] 研究了下列方程的正解的梯度估计：

${\Delta }_{f}u=0,$ (1.2)

并且得到了Liouville定理：在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上，具有正边界的 $f$ -调和函数(即 ${\Delta }_{f}u=0$ )是常值。此外，G. He和S. Zhang [5] 证明了在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上的 $f$ -调和函数新的梯度估计。

受这些工作的启发，我们考虑了一个 $n$ 维完备黎曼流形上的二阶椭圆偏微分方程 $\left(M^n,g\right)$ ：

${\Delta }_{f}u=pu\log u+qu,$ (1.3)

这里 $f$ ， $p$ ， $q\in C^{\infty }\left(M^n\right)$ 。很明显，公式(1.3)是(1.1)和(1.2)的一般化。

本文的主要研究成果如下。首先，我们证明了(1.3)的正解的局部梯度估计。

定理1.1：假设 $\left(M^n,g\right)$ 是一个 $n$ -维黎曼流形，在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ 上对于 $K\ge 0$ ，有 $Ri{c}_f\ge -\left(n-1\right)K$ 。这里 $\rho \ge 1$ ，且 $u\left(x\right)$ 是公式(1.3)的正解。则存在正常值 $C_1$ 和 $C_2$ 使得对于任意常数 $0<\epsilon <1$ ，我们得到在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}$ 上，有：

$\begin{array}{c}\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{\frac{2n}{1-\epsilon }}{\left[\begin{array}{c}\frac{\left|\alpha \right|C_1+\left(n-1\right)K\left(2\rho -1\right)C_1}{2\rho }+\frac{C_2}{2{\rho }^2}+\frac{\left(2n+\epsilon \right)C_1^2}{\epsilon {\rho }^2}\\ +\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1+{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2+{\sigma }_2}{2}\end{array}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt[4]{\frac{n\left({\theta }_2+{\sigma }_2\right)}{1-\epsilon }},\end{array}$ (1.4)

特别地，在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},1\right)}$ 上，有：

$\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{2n}{\left[\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}\right]}^{\frac{1}{2}}+\sqrt[4]{n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)}.$ (1.5)

在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ 上，对于正常值 $D$ ， ${\theta }_1$ ， ${\theta }_2$ ， ${\sigma }_1$ ， ${\sigma }_2$ 和 ${\eta }_1$ ，我们假设 $\alpha :={\max }_{\partial B\left(\bar{x},1\right)}{\Delta }_{f}r$ ， $u\le e^D$ ， $\left|p\right|\le {\theta }_1$ ， $\left|\nabla p\right|\le {\theta }_2$ ， $\left|q\right|\le \sigma$ ， $\left|\nabla q\right|\le {\sigma }_2$ ， $\left|\nabla f\right|\le {\eta }_1$ 。

2. 理论基础

这部分内容，我们主要是陈述由E. Calabi [6] (同样参考 [2] [7] )提出的关于cut-off函数的一些结论。选择一个 $C^2$ 函数 $\xi :\left[0,+\infty \right)\to \left[0,1\right]$ 使得对于 $0\le s\le 1$ 有 $\xi \left(s\right)=1$ ，并且对于 $s\ge 2$ 有 $\xi \left(x\right)=0$ 。此外，对于常值 $C_1>0$ 和 $C_2>0$ ，有

$-C_1\le \frac{{\xi }^{\prime }\left(s\right)}{\sqrt{\xi \left(s\right)}}\le 0$

且

${\xi }^{″}\left(s\right)\ge -C_2.$

在一个 $n$ -维黎曼流形 $\left(M^n,g\right)$ 上，假设 $r\left(x\right):=d\left(x,\bar{x}\right)$ 是对于固定点 $\bar{x}\in M^n$ 的一个距离函数。对于任意的 $\rho \ge 1$ ，我们定义cut-off函数： $\phi \left(x\right)=\xi \left(\frac{r\left(x\right)}{\rho }\right)$ 。不失一般性，我们假设在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ 内具有支撑集的函数 $\phi$ 是 $C^2$ 的(参考E. Calabi [6] )。

通过计算可以得到，在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ 上，

$\frac{{\left|\nabla \phi \right|}^2}{\phi }\le \frac{C_1^2}{{\rho }^2},$ (2.1)

并且

${\Delta }_f\phi =\frac{{\xi }^{\prime }{\Delta }_{f}r}{\rho }+\frac{{\xi }^{″}{\left|\nabla r\right|}^2}{{\rho }^2}.$ (2.2)

如果对于一些非负常数 $K$ ，有 $Ri{c}_f\ge -\left(n-1\right)K$ ，并且 $x\in B\left(\bar{x},2\rho \right)\backslash B\left(\bar{x},1\right)$ ，那么由 $f$ -Laplacian比较定理(参考 [8] [9] )可以推出：

${\Delta }_{f}r\left(x\right)\le \alpha +\left(n-1\right)K\left(2\rho -1\right),$ (2.3)

这里 $\alpha ={\max }_{\partial B\left(\bar{x},1\right)}{\Delta }_{f}r$ 。

因此，我们可以从公式(2.2)和(2.3)中得出

${\Delta }_f\phi \left(x\right)\ge -\frac{C_1}{\rho }\left[\alpha +\left(n-1\right)K\left(2\rho -1\right)\right]-\frac{C_2}{{\rho }^2}.$ (2.4)

3. 梯度估计

在这章我们会证明定理1.1。首先需要得出两个公式。

引理3.1：假设 $\left(M^n,g\right)$ 是一个 $n$ -维黎曼流形，它满足在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ ( $\rho \ge 1$ )上，对于 $K\ge 0$ ，有 $Ri{c}_f\ge -\left(n-1\right)K$ 。函数 $u\left(x\right)$ 是公式(1.3)的一个正解。如果 $h:=\log u$ ，我们有：

${\Delta }_{f}h=ph+q-{\left|\nabla h\right|}^2,$ (3.1)

并且

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Delta }_f{\left|\nabla h\right|}^2\ge \frac{1}{2n}{\left({\Delta }_{f}h\right)}^2-\frac{1}{n}{\langle \nabla h,\nabla f\rangle }^2+p{\left|\nabla h\right|}^2+Ri{c}_f\left(\nabla h,\nabla h\right)\\ +h\langle \nabla p,\nabla h\rangle +\langle \nabla q,\nabla h\rangle -\langle \nabla h,\nabla {\left|\nabla h\right|}^2\rangle .\end{array}$ (3.2)

证明：通过 $\nabla h=\frac{\nabla u}{u}$ 和(1.3)，我们有

${\Delta }_{f}h=\frac{{\Delta }_{f}u}{u}-\frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{u^2}=ph+q-{\left|\nabla h\right|}^2.$

根据柯西不等式，可以得出

$\begin{array}{c}{\left({\Delta }_{f}h\right)}^2={\left(\Delta h-\langle \nabla h,\nabla f\rangle \right)}^2\\ \le 2{\left(\Delta h\right)}^2+2\nabla {\langle h,\nabla f\rangle }^2\\ \le 2n{\left|\text{Hessh}\right|}^2+2{\langle \nabla h,\nabla f\rangle }^2,\end{array}$

也就是，

${\left|\text{Hessh}\right|}^2\ge \frac{1}{2n}{\left({\Delta }_{f}h\right)}^2-\frac{1}{n}{\langle \nabla h,\nabla f\rangle }^2.$ (3.3)

通过直接计算可以得到

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Delta }_f{\left|\nabla h\right|}^2={\left|\text{Hessh}\right|}^2+\langle \Delta \nabla h,\nabla h\rangle -\frac{1}{2}\langle \nabla {\left|\nabla f\right|}^2,\nabla f\rangle \\ ={\left|\text{Hessh}\right|}^2+\langle \nabla \Delta h,\nabla h\rangle +Ric\left(\nabla h,\nabla h\right)-\text{Hessh}\left(\nabla h,\nabla f\right)\\ ={\left|\text{Hessh}\right|}^2+\langle \nabla {\Delta }_{f}h,\nabla h\rangle +Ri{c}_f\left(\nabla h,\nabla h\right)\\ \ge {\left|\text{Hessh}\right|}^2+\langle \nabla \left(ph+q-{\left|\nabla h\right|}^2\right),\nabla h\rangle +Ri{c}_f\left(\nabla h,\nabla h\right)\\ ={\left|\text{Hessh}\right|}^2+\left[p-\left(n-1\right)K\right]{\left|\nabla h\right|}^2+h\langle \nabla p,\nabla h\rangle +\langle \nabla q,\nabla h\rangle -\langle \nabla h,\nabla {\left|\nabla h\right|}^2\rangle \\ \ge \frac{1}{2n}{\left({\Delta }_{f}h\right)}^2-\frac{1}{n}{\langle \nabla h,\nabla f\rangle }^2+p{\left|\nabla h\right|}^2+Ri{c}_f\left(\nabla h,\nabla h\right)\\ +h\langle \nabla p,\nabla h\rangle +\langle \nabla q,\nabla h\rangle -\langle \nabla h,\nabla {\left|\nabla h\right|}^2\rangle .\end{array}$

第二个等式用到了Bochner公式，最后不等式用到了公式(3.3)。

现在开始证明定理1.1。

定理3.2：假设 $\left(M^n,g\right)$ 是一个 $n$ -维黎曼流形，它满足在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ ( $\rho \ge 1$ )上，对于 $K\ge 0$ ，有 $Ri{c}_f\ge -\left(n-1\right)K$ 。函数 $u\left(x\right)$ 是公式(1.3)的一个正解。对于任意的常数 $0<\epsilon <1$ ，在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}$ 上，有：

$\begin{array}{c}\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{\frac{2n}{1-\epsilon }}{\left[\begin{array}{c}\frac{\left|\alpha \right|C_1+\left(n-1\right)K\left(2\rho -1\right)C_1}{2\rho }+\frac{C_2}{2{\rho }^2}+\frac{\left(2n+\epsilon \right)C_1^2}{\epsilon {\rho }^2}\\ +\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1+{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2+{\sigma }_2}{2}\end{array}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt[4]{\frac{n\left({\theta }_2+{\sigma }_2\right)}{1-\epsilon }},\end{array}$ (3.4)

特别地，在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},1\right)}$ 上

$\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{2n}{\left[\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}\right]}^{\frac{1}{2}}+\sqrt[4]{n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)}.$ (3.5)

在 $B\left(\bar{x},2\rho \right)$ 上，对于正常值 $D$ ， ${\theta }_1$ ， ${\theta }_2$ ， ${\sigma }_1$ ， ${\sigma }_2$ ， ${\eta }_1$ ，我们假设 $\alpha :={\max }_{\partial B\left(\bar{x},1\right)}{\Delta }_{f}r$ ， $u\le e^D$ ， $\left|p\right|\le {\theta }_1$ ， $\left|\nabla p\right|\le {\theta }_2$ ， $\left|q\right|\le {\sigma }_1$ ， $\left|\nabla q\right|\le m{a}_2$ ， $\left|\nabla f\right|\le {\eta }_1$ 。

证明：与第二部分中的内容类似，选择cut-off函数 $\phi$ ，我们有

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Delta }_f\left(\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right)=\frac{1}{2}\left({\Delta }_f\phi \right){\left|\nabla h\right|}^2+\frac{\phi }{2}{\Delta }_f{\left|\nabla h\right|}^2+\langle \nabla \phi ,\nabla {{\displaystyle \left|\nabla h\right|}}^2\rangle \\ \ge \frac{1}{2}\left({\Delta }_f\phi \right){\left|\nabla h\right|}^2+\frac{\phi }{2n}{\left(ph+q-{\left|\nabla h\right|}^2\right)}^2-\frac{\phi }{n}{\langle \nabla h,\nabla f\rangle }^2+\left[p-\left(n-1\right)K]\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right]\\ +\phi h\langle \nabla p,\nabla h\rangle +\phi \langle \nabla q,\nabla h\rangle -\langle \nabla h,\nabla \left(\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right)\rangle +{\left|\nabla h\right|}^2\langle \nabla \phi ,\nabla h\rangle \\ +\frac{1}{\phi }\langle \nabla \phi ,\nabla \left(\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right)\rangle -\frac{{\left|\nabla h\right|}^2}{\phi }{\left|\nabla h\right|}^2,\end{array}$ (3.6)

这里用到了引理1。

定义 $G:=\left(\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right)$ ，假设 $x_1$ 是 $G$ 的最大值点。我们可以分两种情况讨论：

情况1： $x_1\in \overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}\backslash B\left(\bar{x},\right)1$ 。这种情况下，为了简便我们记

$A:=\frac{C_1}{2\rho }\left[\alpha +\left(n-1\right)K\left(2\rho -1\right)\right]+\frac{C_2}{2{\rho }^2}.$

在点 $x_1$ ，在公式(3.6)两边同时乘以 $\phi$ ，应用公式(2.4)，对于任意的 $0<\epsilon <1$ ，可以得到

$\begin{array}{c}0\ge -AG+\frac{{\phi }^2}{2n}{\left(ph+q-{\left|\nabla h\right|}^2\right)}^2-\frac{\phi }{n}{\left|\nabla f\right|}^{2}G+\left[p-\left(n-1\right)K\right]\phi G\\ -{\phi }^{\frac{3}{2}}h\left|\nabla p\right|G^{\frac{1}{2}}-{\phi }^{\frac{3}{2}}\left|\nabla q\right|G^{\frac{1}{2}}-\frac{\left|\nabla \phi \right|}{{\phi }^{1/2}}{G}^{\frac{3}{2}}-\frac{{\left|\nabla \phi \right|}^2}{\phi }G\\ \ge -AG-\frac{{\phi }^2}{n}\left(ph+q\right){\left|\nabla h\right|}^2+\frac{G^2}{2n}-\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{n}G-\left[\left|p\right|+\left(n-1\right)K\right]G\\ -\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|}{2}\left(1+G\right)-\frac{\left|\nabla q\right|}{2}\left(1+G\right)-\frac{C_1}{\rho }{G}^{\frac{3}{2}}-\frac{C_1^2}{{\rho }^2}G\\ \ge \frac{1-\epsilon }{2n}{G}^2-[A+\frac{\left|ph+q\right|}{n}+\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{n}+|p|+\left(n-1\right)K+\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|}{2}\\ +\frac{\left|\nabla q\right|}{2}+\frac{2n{C}_1^2}{\epsilon {\rho }^2}+\frac{C_1^2}{{\rho }^2}]G-\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|+\left|\nabla q\right|}{2},\end{array}$ (3.7)

这里用到了柯西不等式和公式(2.1)。

我们可以得到

$\frac{1-\epsilon }{2n}{G}^2\left(x_1\right)\le \left[A+\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}+\frac{2n{C}_1^2}{\epsilon {\rho }^2}+\frac{C_1^2}{{\rho }^2}\right]G\left(x_1\right)+\frac{D{\theta }_2+{\sigma }_2}{2},$ (3.8)

即在点 $x_1$ ，有

$G^2\left(x_1\right)\le \frac{2n}{1-\epsilon }\left[A+\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}+\frac{2n{C}_1^2}{\epsilon {\rho }^2}+\frac{C_1^2}{{\rho }^2}\right]G\left(x_1\right)+\frac{n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)}{1-\epsilon }.$ (3.9)

回想这样一个结论：对于一些 $a_0,a_1,a_2\ge 0$ ，如果 $a_0^2\le a_1+a_0{a}_2$ ，则

$a_0\le \frac{a_2}{2}+\sqrt{a_1+\frac{a_2^2}{4}}\le \frac{a_2}{2}+\sqrt{a_1}+\frac{a_2}{2}=a_2+\sqrt{a_1}.$

因此，我们可以从公式(3.9)得出 $G\left(x_1\right)$ 的一个上界。在点 $x_1$ ，

$G\left(x_1\right)\le \frac{2n}{1-\epsilon }\left[A+\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}+\frac{2n{C}_1^2}{\epsilon {\rho }^2}+\frac{C_1^2}{{\rho }^2}\right]+{\left(\frac{n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)}{1-\epsilon }\right)}^{\frac{1}{2}}.$ (3.10)

注意到

$\underset{x\in \overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}}{sup}{\left|\nabla h\right|}^2=\underset{x\in \overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}}{sup}\left(\phi {\left|\nabla h\right|}^2\right)\le G\left(x_1\right),$

从公式(3.10)可得，在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}$ 上：

$\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{\frac{2n}{1-\epsilon }}{\left[A+\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}+\frac{2n{C}_1^2}{\epsilon {\rho }^2}+\frac{C_1^2}{{\rho }^2}\right]}^{\frac{1}{2}}+{\left(\frac{n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)}{1-\epsilon }\right)}^{\frac{1}{4}}.$ (3.11)

情况2： $x_1\in \overline{B\left(\stackrel{¯}{x},1\right)}$ 。在这种情况下， $\phi \left(x_1\right)=1$ ，且 $\nabla \phi \left(x_1\right)={\Delta }_f\phi \left(x_1\right)=0$ 。

运用公式(3.6)，在点 $x_1$ 有：

$\begin{array}{c}0\ge \frac{1}{2n}{\left(ph+q-G\right)}^2-\frac{{\left|\nabla f\right|}^{2}G}{n}+\left[p-\left(n-1\right)K\right]G-h\left|\nabla p\right|G^{\frac{1}{2}}-\left|\nabla q\right|G^{\frac{1}{2}}\\ \ge -\frac{1}{n}\left(ph+q\right)G+\frac{G^2}{2n}-\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{n}G-\left|p\right|G-\left(n-1\right)KG-\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|}{2}\left(1+G\right)-\frac{\left|\nabla q\right|}{2}\left(1+G\right)\\ =\frac{G^2}{2n}-\left[\frac{\left|ph+q\right|}{n}+\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{n}+\left|p\right|+\left(n-1\right)K+\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|}{2}+\frac{\left|\nabla q\right|}{2}\right]G-\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|+\left|\nabla q\right|}{2}.\end{array}$ (3.12)

另外，我们得到

$\begin{array}{c}{G}^2\left(x_1\right)\le 2n\left[\frac{\left|ph+q\right|}{n}+\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{n}+\left|p\right|+\left(n-1\right)K+\frac{\left|h\right|\left|\nabla p\right|}{2}+\frac{\left|\nabla q\right|}{2}\right]G+n\left(\left|h\right|\left|\nabla p\right|+\left|\nabla q\right|\right)\\ \le 2n\left[\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}\right]G\left(x_1\right)+n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right).\end{array}$ (3.13)

与情况1的证明过程类似，可以从公式(3.13)推出 $\frac{\left|\nabla u\right|}{u}$ 的上界。在 $\overline{B\left(\stackrel{¯}{x},\rho \right)}$ 上，

$\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le \sqrt{2n}{\left[\frac{D{\theta }_1+{\sigma }_1}{n}+\frac{{\eta }_1^2}{n}+{\theta }_1+\left(n-1\right)K+\frac{D{\theta }_2}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}\right]}^{\frac{1}{2}}+{\left[n\left(D{\theta }_2+{\sigma }_2\right)\right]}^{\frac{1}{4}}.$ (3.14)

根据公式(3.11)和(3.14)，很快能得到公式(3.4)和(3.5)。

文章引用

王子君. 完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计
Local Derivative Estimates for an Elliptic Equation on Complete Riemannian Manifolds[J]. 应用数学进展, 2019, 08(04): 657-663. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84073

参考文献