ABSTRACT

Let F be a field, Mn(F) be the set of alln × nmatrices over F. If a map f: Mn(F) → Mn(F) is defined by, where are the set of functions on F, then f is called a map induced by on Mn(F). If AB = BA implies f(A)f(B) = f(B)f(A), then f is called preserving commutativity of matrices. If B² = B implies (f(B))² = f(B), then f is called preserving idempotent matrices. In this paper, we characterize induced maps preserving idempotence and commutativity of matrices over fields, resprectively.

Keywords:Field, Matrix, Preserving Commutativity, Preserving Idempotence, Induced Map

关于诱导映射的两个保持问题

闫盼盼，张隽，曹重光

黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨

Email: 492689647@qq.com

收稿日期：2015年9月8日；录用日期：2015年9月25日；发布日期：2015年9月28日

摘 要

令F是一个域，Mn(F)是F上所有矩阵的集合。如果一个映射被定义如下，其中是关于F的函数集，则称f是的由诱导的映射。如果AB = BA意味着，则f被称为保交换矩阵。如果意味着，则f被称为保幂等矩阵。本文我们分别刻画保域上矩阵幂等性及交换性的诱导映射。

关键词 :域，矩阵，保交换，保幂等，诱导映射

1. 引言

近年来刻画矩阵集合保持某些性质的映射的研究更感兴趣于映射没有线性和加法假定的情形，例如[1] -[5] 。本文研究的诱导映射，其实也是这类问题的一种。同类研究看[6] 和[7] 。

设F是一个域，Mn(F)是F上所有n 阶矩阵的集合。设f是Mn(F)到自身的映射。f_ij是F上的函数，其中。如果定义则称f是由{f_ij}诱导的映射。简称Mn(F)的诱导映射。

如果意味着，则f被称为保交换矩阵。

在本文中用K记Mn(F)中所有幂等阵(B² = B)的集合，令f是Mn(F)到自身的诱导映射，如果意味着则称f保幂等。本文目的是分别刻画Mn(F)的保幂等及保交换的诱导映射。

在本文中用F^*记F中所有非0元的集合，表示(i,j)位置是1，其余位置是零的矩阵。记。

2. 保矩阵的幂等性

在f(0) = 0的情况下，对于f为Mn(F)的保幂等的诱导映射的充要条件，我们有如下的重要结果。

定理2.1：设F为一个域，n为整数且n ≥ 3。f是Mn(F)的诱导映射且f(0) = 0，则f保幂等当且仅当f为如下两种形式之一。

(i) 当A为幂等阵时，为值域为{0,1}的函数，A为其它矩阵时，任意，

(1)

(ii) 存在一个可逆对角阵及F上的一个单自同态，使得：

(2)

其中。

证明：充分性显然，下证必要性。假设，且互不相等，由及f保幂等，看的(i,j)位置得：

(3)

下面分两种情况讨论。

(i) 存在某及使。

此时由(3)易证，再由可知，进一步由可得，类似可证，，。进一步运用此法可证得对任意有。

这意味着

由保幂等，不难推出形式(1)。

(ii) 对于任意不同的由及任意均有。

由和保幂等，得。利用(3)看位置，可得，又由

已知得。同理可得。因此，

(4)

类似有，因此有

(5)

对于任意的，由可知。因此，

(6)

在(3)中取可得于是有

(7)

对于任意不同的和。由，看位置，得到，由(3)和(6)得到。同理可证，

(8)

令，。

首先，设对于，由(3)和(7)得，

其次，令，显然有。由(3)可得

最后，令，由(3)和(7)可得

同理可得

因此，得到

(9)

对于任意不同的和，由，得，由((6)和(8)得，从(4)，定义，。又(9)，得到

。再由和(7)式，得到

将(9)代入(3)，又由和(7)，可得

(10)

对于任意不同的和，由

得到

又由(9)和(10)，得到

(11)

应用(10)，将(11)两边乘，得到

(12)

当时，运用(8)，易证(13)仍成立。从，(9)，(10)和(12)，知是上的一个单自同态。应用(7)和(9)，有

其中为一个可逆对角阵，证毕。

定理2.2：是一个域，若为一个由函数导出的映射，满足，则保幂等当且仅当下列(i) (ii)之一成立。

(i) 当时，，及是值为0,1的函数，其它情况下及任意，仍为对角阵。

(ii) 由可推出及。

证明：

充分性：注意到二阶幂等阵集

结论不难被证。

必要性：由保幂等，得得或0，可推出(i)。同理，当时有，若，可推出，推出(i)。若，可推出，推出(ii)，证毕。

下面我们将用一个例子说明满足定理1.2中(ii)的条件的也未必是标准的。

例2.3：令为一个至少包含3个元素的域，设为一个由函数诱导的。

。显然，且满足定理2.2中(ii)的条件，因此运用定理2.2可知保幂等。但是这个形式与定理2.1中的(ii)形式不同，事实上，当且有，然而不是标准的，单射不存在。

注记2.4：如果在定理2.1及2.2中去掉条件，结论将更加复杂，例如，

其中为任意固定的矩阵，易见保幂等。

3. 保矩阵的交换性

定理3.1：本节我们研究保矩阵交换性的诱导映射，在一定条件下给出映射的形式。

是一个域，为的诱导映射，且满足，：

(i)当时，则是保交换性的。

(ii)当时，则保交换有下列两种形式之一。

(1)，，其中为阶可逆对角阵，为的单自同态，，。

(2)。

(iii)当时，保交换当且仅当下列(1)(2)之一成立。

(1)

其中为的自同态，至少其一不为0。

(2)

证明(i)显然成立。

(ii)充分性显然，下证必要性。

设，且互不相等，

令，易见，由保交换知，看位置有

(13)

此时分两种情形讨论。情形(1)对任意及任意有。

由，其中，可推出。然后由得

(14)

由，看位置可得

(15)

令，由(1)得

(16)

由此情形条件可知

(17)

令，以下证明对任意有

(18)

由(13)可知，当时有，

又对有，从而得(18)式。

由可得，从而由(18)得

此时也满足(18)。当时，又由可推出，仍然满足(18)。总之，(18)对所有情形成立。

令，则由(13)计算可得，则有

再由

易推出，由(13)得

则，从而有，(17)式意味着，故为的单自同态。

令，则中，时，则

(19)

由(15)得，由(19)得，故

(20)

由(18)，设，易见

注意到及(18)式，易见，这样结论(ii)的(1)被证明。

情形(2)：对某及某有。

此时由(13)可知，设互不相等，由(13)可知，由知，类似的由有，接着用类似的方法可证得，，，，此时设，由(13)可知，由知，因此，结论(ii)的(2)被证明。

(iii)充分性

设，易证当且仅当，和成立。

由(iii)中(1)可知

，，

若其一为0，则有，即。

若都不为0，则。

又是自同态，由可得成立。故此时依然成立。

由(iii)中(1)可知，

若其一为0，则有，即

若都不为0，则。又是自同态，由可得成立，故此时依然成立。

同理成立，故有，由(iii)中(2)可知，都为0，显然有，故充分性成立。

下证必要性若，至少其一不为0时，不妨设(若，证明是类似的)由，其中，，知，从而有。

由(14)令，则

(21)

又由(15)得

(22)

综合(21)及(22)得及，由已知及(21)易见从而得

(23)

于是令则仿的情形易证为的域自同态。

对，都为0时，仿情形易得，故(iii)成立。

注记3.2：如果在定理3.1中去掉或，结论如何?这仍然是个开问题。

文章引用

闫盼盼,张 隽,曹重光. 关于诱导映射的两个保持问题
Two Preserver Problems on Induced Maps[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 247-254. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55035

参考文献 (References)