ABSTRACT

In this paper, we study the existence of weak solutions for the Dirichlet problems for one class of nonlinear p-Laplacian equations. Our proof combines the presence of sub and supersolution with the pseudomonotone operators theory.

Keywords:Sub and Supersolution, Pseudomonotone Operators Theory, p-Laplacian Equations

一类p-Laplace方程解的存在性问题

李磊

广西师范大学，数学与统计学院，广西 桂林

收稿日期：2019年4月16日；录用日期：2019年4月27日；发布日期：2019年5月9日

摘 要

本文利用上下解与伪单调算子方法讨论一类p-Laplace方程的Dirichlet问题解的存在性问题。

关键词 :上下解，伪单调算子，p-Laplace

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1. 引言

因为含p-Laplace算子 ${\Delta }_p$ $\left({\Delta }_{p}u=div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\right)\right)$ 的微分方程的边值问题在非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等诸多领域有着广泛的应用，所以对此类问题的研究吸引了很多学者的目光。

本文考虑一类具有p-Laplace算子方程的Dirichlet边值问题：

$\{\begin{array}{l}-a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right)div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\right)=h_1\left(x,u\right)f\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^m}\right)+h_2\left(x,u\right)g\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^r}\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (1)

解的存在性。该方程满足下列假设：

(H₁) $\Omega \subset R^N$，是一个有界的区域且边界光滑。

(H₂) $q,m,r\in \left[1,+\infty \right)$。

(H₃)是连续的函数。

(H₄) $a,f,g:\left[0,+\infty \right)\to \left(0,+\infty \right)$ 是连续的函数且 $f,g\in L^{\infty }\left(\left[0,+\infty \right)\right)$。

(H₅) $\underset{t\in \left[0,+\infty \right)}{\inf }a\left(t\right),\underset{t\in \left[0,+\infty \right)}{\inf }f\left(t\right),\underset{t\in \left[0,+\infty \right)}{\inf }g\left(t\right)\ge a_0>0$。

解的存在性问题一直是偏微分方程研究中的重要课题，注意到p = 2时，方程(1)化为一类含有Laplace算子的边值问题：

$\{\begin{array}{l}-a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right)\Delta u=h_1\left(x,u\right)f\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^m}\right)+h_2\left(x,u\right)g\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^r}\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (2)

文 [1] 在满足H₁~H₅的假设条件下，使用上下解与伪单调算子的方法证明方程(2)至少存在一个解。

在偏微分方程理论中，解的存在性与不存在性都与所选取的函数空间有关，本文所选取的函数空间是依赖于参数p的，其中。之所以这样做是为了使结果具有一般性。需要强调的是，方程(1)、方程(2)所选取的函数空间是不同的。由文 [1] 知，方程(2)选取的函数空间是 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 并且证明了解存在且解 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$。本文选取的函数空间是 $W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$，本文的目的在于使用上下解与伪单调算子方法证明方程(1)的解存在且解。此外，由于p-Laplace算子的非线性性，对比于 $p=2$ 的特殊情形解的存在性

结果的建立需要更精细的讨论。本文将得到与文 [1] $p=2$ 情形相一致的结果 (本文规定 )

本文所得的结果是：

定理1 在满足(H₁~H₅)的假设下，假设方程(1)存在上下解 $\underset{\_}{u},\bar{u}\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\cap L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 并且满足下列条件：

$\underset{\_}{u}\left(x\right)\le 0\le \bar{u}\left(x\right),x\in \partial \Omega ,$(3)

$-{\Delta }_p\bar{u}\ge \frac{1}{a_0}\left(h_1\left(x,\bar{u}\right){\Vert f\Vert }_{\infty }+h_2\left(x,\bar{u}\right){\Vert g\Vert }_{\infty }\right),x\in \Omega .$ (4)

$-{\Delta }_p\underset{\_}{u}\le \frac{a_0}{\Gamma }\left(h_1\left(x,\underset{\_}{u}\right)+h_2\left(x,\underset{\_}{u}\right)\right),x\in \Omega .$ (5)

(6)

那么对于所有的，方程(1)至少存在一个解 $u\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\cap L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 使得：

$a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla \varphi }=f\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^m}\right){\displaystyle \int h_1}\left(x,u\right)\varphi +g\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^r}\right){\displaystyle \int h_2}\left(x,u\right)\varphi$ (7)

成立并且满足。

2. 预备知识

为证明定理1我们先做一些必要准备。

定义2.1 (见文献 [2] [3] )称算子 $B:X\to X^{*}$

a) 是有界算子，如果 $\forall u\in X$， $\left\{Bu\right\}$ 是 $X^{*}$ 中的有界凸集。

b) 是强制算子，如果满足

$\underset{\Vert u\Vert \to \infty }{\lim }\frac{\langle Bu,u\rangle }{\Vert u\Vert }=\infty .$ (8)

c) 是伪单调算子，如果满足 $u_n\to u$ 在 $\sigma \left(X,X^{*}\right)$ 中，且

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \langle B{u}_n,u_n-u\rangle \le 0,$ (9)

则对任意的 $w\in X$，有

(10)

引理2.2 (Brezis) (见文献 [4] )算子 $B:X\to X^{*}$ 是伪单调的，有界的，强制的。X是实自反的可分的Banach空间，则对于任意的 $b\in X^{*}$，方程 $Bu=b$ 存在解 $u\in X$。

定义2.3 (见文献 [5] )设X是一个 $B^{*}$ 空间， $\left\{x_n\right\}\subset X,x\in X$。称 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛到x，记做 $x_n\to x$，是指：对于 $\forall f\in X^{*}$ 都有。这时x称做点列的弱极限。

引理2.4 设 $f_n\left(n=1,1,3,\cdots \right),f\in L^p\left(\Omega \right)$，若对每一个 $g\in L^q\left(\Omega \right)$ (q为p的共轭数)，当 $n\to \infty$ 时，有 ${\displaystyle \int f_n}g\to {\displaystyle \int f}g$，则称 $f_n$ 弱收敛于f。

证明：因为 ${\left(L^p\left(\Omega \right)\right)}^{*}=L^q\left(\Omega \right)$，可令 $g\left(f_n\right)={\displaystyle \int f_n}g,g\left(f\right)={\displaystyle \int f}g$，那么 $g\left(f_n\right)\to g\left(f\right)$，再由定义2.3知 $f_n$ 弱收敛于f。

定义2.5 (见文献 [5] )设X是 $B^{*}$ 空间， $f_n\subset X^{*},f\in X^{*}$。称 $f_n^{\ast }$ 弱收敛到f记做 $w^{*}-\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f$，是指：对于 $\forall x\in X$，都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)=f\left(x\right)$。这时f称做泛函序列 $f_n$ 的*弱极限。

定义2.6 (见文献 [6] )设X是一个赋范空间，如果在典型映射的意义下 $X=X^{**}$，则称空间X是自反的。

引理2.7 (见文献 [5] )当X是一个自反空间时，*弱收敛与弱收敛等价。

引理2.8 (见文献 [7] )对任意 $p\ge 2$ 下面不等式成立：

$\left({\left|\xi \right|}^{p-2}\xi -{\left|\eta \right|}^{p-2}\eta \right)\left(\xi -\eta \right)\ge 2^{2-p}{\left|\xi -\eta \right|}^p.$ (11)

引理2.9 (见文献 [8] ) (Holder不等式)设 $1\le p\le \infty$， $q=\frac{p}{p-1}$。若 $u\in L^p\left(\Omega \right),v\in L^q\left(\Omega \right)$，则 $uv\in L^1\left(\Omega \right)$，并且 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|uv\right|\text{d}x}\le {\Vert u\Vert }_p{\Vert v\Vert }_q$。

3. 定理1的证明

第一步，构造修正问题：

定义截断函数：

$\zeta \left(x,t\right)=\{\begin{array}{ll}\underset{\_}{u}\left(x\right),\hfill & t\le \underset{\_}{u}\left(x\right),\hfill \\ t,\hfill & \underset{\_}{u}\left(x\right)\le t\le \bar{u}\left(x\right),\hfill \\ \bar{u}\left(x\right),\hfill & t\ge \bar{u}\left(x\right).\hfill \end{array}$

令：

因为 $h_i:\bar{\Omega }\times R\to R^{+}$ 是连续的函数，所以可令 $M_i=\max \left(h_i\left(x,u\right)|x\in \bar{\Omega },u\in \left[\underset{\_}{u},\bar{u}\right]\right)$，再由 ${\hat{h}}_i\left(x,u\right)$ 的定义易得： $\left|h_i\left(x,u\right)\right|\le M_i$。

定义函数：

$\gamma \left(x,t\right)=-{\left(\underset{\_}{u}-t\right)}_{+}^l+{\left(t-\bar{u}\right)}_{+}^l,$ (12)

其中， $\frac{p-1}{p}\le l\le p-1$。

再定义修正函数： $H\left(x,u,s,t\right)={\hat{h}}_1\left(x,u\right)s+{\hat{h}}_2\left(x,u\right)t-\gamma \left(x,u\right)$。

利用上述函数我们研究下列Dirichlet问题：

$\{\begin{array}{l}-a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\Delta }_{p}u=H\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (13)

第二步，对H作出估计：

在 $u<\underset{\_}{u}$ 时： $\left|H\left(x,u,f,g\right)\right|={\hat{h}}_{1}f+{\hat{h}}_{2}g+{\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^l>0$，此时，对方程(13)用最值原理易得： $\underset{\_}{u}>u>0$，因此：

$\begin{array}{c}\left|H\left(x,u,f,g\right)\right|=\left|{\hat{h}}_{1}f+{\hat{h}}_{2}g+{\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^l\right|\\ \le \left|{\hat{h}}_{1}f\right|+\left|{\hat{h}}_{2}g\right|+\left|{\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^l\right|\\ \le \left|{\hat{h}}_{1}f\right|+\left|{\hat{h}}_{2}g\right|+{\left|\underset{\_}{u}\right|}^l.\end{array}$ (14)

在时：

$\left|H\left(x,u,f,g\right)\right|\le \left|{\hat{h}}_{1}f+{\hat{h}}_{2}g\right|.$ (15)

第三步，证明 $H\in L^{p^{*}}\left(\Omega \right)$ ：

已知 $\bar{u},\underset{\_}{u}\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，显然有 $\bar{u},\underset{\_}{u}\in L^{l{p}^{*}}\left(\Omega \right)$。

令，利用上述条件以及Minkowski不等式我们有：

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle \int {\left|H\left(x,u,f,g\right)\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}\le {\left({\displaystyle \int {\left|{\hat{h}}_{1}f\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\left({\displaystyle \int {\left|{\hat{h}}_{2}g\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\left({\displaystyle \int {\left|\underset{\_}{u}\right|}^{l{p}^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}\\ \le {\Gamma }_1{\left({\displaystyle \int {\left|{\hat{h}}_1\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\Gamma }_2{\left({\displaystyle \int {\left|{\hat{h}}_2\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\left({\displaystyle \int {\left|\underset{\_}{u}\right|}^{l{p}^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}\\ \le {\Gamma }_1{M}_1{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\Gamma }_2{M}_2{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{p^{*}}}+{\left({\displaystyle \int {\left|\underset{\_}{u}\right|}^{l{p}^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}\\ <\infty \end{array}$

所以有 $H\in L^{p^{*}}\left(\Omega \right)$，且与u的选取无关。

第四步，作算子： $B:W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\to {\left(W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\right)}^{*}$。

$\langle B\left(u\right),v\rangle =a\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla v}-{\displaystyle \int H}\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right)v,$ (16)

对任意。

第五步，证明B是有界的：

已知 $u\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$，

$\begin{array}{c}\langle B\left(u\right),v\rangle =a\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla v}-{\displaystyle \int H}\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right)v\\ \le a\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-1}\left|\nabla v\right|}+{\displaystyle \int \left|H\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right)\right|\left|v\right|}\\ \le \Gamma {\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}+{\left({\displaystyle \int {\left|H\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right)\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}{\left({\displaystyle \int {\left|v\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\Vert v\Vert }_{W_0^{1,p}\left(\Omega \right)},\end{array}$ (17)

其中， $\left(p-1\right)p^{*}=p$，那么由上式知B是有界的。

第六步，证明B是强制的：

$\begin{array}{c}\frac{\langle B\left(u\right),v\rangle }{\Vert u\Vert }=\frac{a\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^p}-{\displaystyle \int H}\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)u\right)}{\Vert u\Vert }\\ \ge a_0{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^p}\right)}^{1-\frac{1}{p}}-\frac{{\left({\displaystyle \int {\left|H\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right)\right|}^{p^{*}}}\right)}^{\frac{1}{p^{*}}}{\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}}{\Vert u\Vert },\end{array}$

$\left(\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\right),$

当 $\Vert u\Vert \to \infty$ 时，则

$\frac{\langle B\left(u\right),v\rangle }{\Vert u\Vert }\to \infty ,$

因此，B是强制的。

第七步，证明B是一个伪单调算子：

根据定义(2.1)就是证明如果且 $u_n\stackrel{w}{\to }u$ 并且：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \langle B\left(u_n\right),u_n-u\rangle \le 0,$ (18)

那么有：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\inf \langle B\left(u_n\right),u_n-v\rangle \ge \langle B\left(u\right),u-v\rangle ,\forall v\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right).$ (19)

已知 $u_n\stackrel{w}{\to }u$ 且 $u_n,u\in L^p\left(\Omega \right)$，又由第三步知，与选取无关且，根据引理(2.4)得：

又已知

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \langle B\left(u_n\right),u_n-u\rangle \le 0,$

因此

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup {\displaystyle \int {\left|\nabla u_n\right|}^{p-2}\nabla u_n\left(\nabla u_n-\nabla u\right)}\le 0.$ (20)

根据弱收敛的定义(2.3)可得：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\langle B\left(u\right),u_n-u\rangle =0,$

类似可以证明：

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\left(\nabla u_n-\nabla u\right)}=0.$ (21)

联合(20)，(21)两式可得：

$0\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \int \left({\left|\nabla u_n\right|}^{p-2}\nabla u_n-{\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\right)\left(\nabla u_n-\nabla u\right)}\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \int 2^{2-p}}{\left|\nabla u_n-\nabla u\right|}^p\ge 0,$(22)

进而得出：

${\displaystyle \int {\left|\nabla u_n-\nabla u\right|}^p}\to 0,$ (23)

所以有： $u_n\to u$。

由(22)，(23)易知：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\langle B\left(u_n\right)-B\left(u\right),u_n-u\rangle =0,$ (24)

又已知 $W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ 是自反空间联合引理(2.7)可得：

$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }\inf \langle B\left(u_n\right),u_n-v\rangle \ge \underset{n\to \infty }{\lim }\inf \langle B\left(u_n\right),u_n\rangle -\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \langle B\left(u_n\right),v\rangle \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\inf \langle B\left(u_n\right),u_n-u\rangle +\underset{n\to \infty }{\lim }\langle B\left(u_n\right),u\rangle -\langle B\left(u\right),v\rangle \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\langle B\left(u\right),u_n-u\rangle +\langle B\left(u\right),u\rangle -\langle B\left(u\right),v\rangle \\ =\langle B\left(u\right),u\rangle -\langle B\left(u\right),v\rangle \\ =\langle B\left(u\right),u-v\rangle .\end{array}$ (25)

这就证明了B是伪单调算子。

所以B是有界的、强制的、伪单调的，根据引理(2.2)可知方程(13)有解已经证明。

第八步，我们证明方程(1)有解：

即证明 $\underset{\_}{u}\le u\le \bar{u}$。

先令 $\varphi ={\left(u-\bar{u}\right)}_{+}$，

$\begin{array}{l}a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}\\ ={\displaystyle \int H}\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+},\end{array}$

进而有：

$\begin{array}{l}a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}\\ =f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right){\displaystyle \int h_1}\left(x,u\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+}+g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right){\displaystyle \int h_2}\left(x,u\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+}-{\displaystyle \int \gamma }\left(x,u\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+},\end{array}$

因此，

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}\\ \le \frac{1}{a_0}{\Vert f\Vert }_{\infty }{\displaystyle \int h_1}\left(x,\bar{u}\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+}+\frac{1}{a_0}{\Vert g\Vert }_{\infty }{\displaystyle \int h_2}\left(x,\bar{u}\right){\left(u-\bar{u}\right)}_{+}-\frac{1}{a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right)}{\displaystyle \int {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}^{l+1}}.\end{array}$

对(4)分步积分可得：

${\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}\le {\displaystyle \int {\left|\nabla \bar{u}\right|}^{p-2}\nabla \bar{u}\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}-a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}^{l+1}},$，

所以，

${\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}-{\displaystyle \int {\left|\nabla \bar{u}\right|}^{p-2}\nabla \bar{u}\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}}\le -a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}^{l+1}}\le 0,$

又由(11)知， $左边\ge {\displaystyle \int 2^{2-p}}{\left|\nabla {\left(u-\bar{u}\right)}_{+}\right|}^p\ge 0$，进而有： ${\left(u-\bar{u}\right)}_{+}=0$。

再令 $\varphi ={\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}$，

$a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}={\displaystyle \int H}\left(x,u,f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right),g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right)\right){\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+},$

进而有：

$\begin{array}{l}a\left({\displaystyle \int {\left|u\right|}^q}\right){\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}\\ =f\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^m}\right){\displaystyle \int h_1}\left(x,u\right){\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}+g\left({\displaystyle \int {\left|\zeta \left(x,u\right)\right|}^r}\right){\displaystyle \int h_2}\left(x,u\right){\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}-{\displaystyle \int \gamma }\left(x,u\right){\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}.\end{array}$

又由前面的 $h_i$ 和的定义得到：

对(5)分步积分得：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}\\ \ge \frac{a_0}{\Gamma }{\displaystyle \int h_1}\left(x,\underset{\_}{u}\right)\left(\underset{\_}{u}-u\right)+\frac{a_0}{\Gamma }{\displaystyle \int h_1}\left(x,\underset{\_}{u}\right)\left(\underset{\_}{u}-u\right)+\frac{1}{\Gamma }{\displaystyle \int {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^{l+1}}\\ \ge {\displaystyle \int {\left|\nabla \underset{\_}{u}\right|}^{p-2}\nabla \underset{\_}{u}\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}+\frac{1}{\Gamma }{\displaystyle \int {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^{l+1}},\end{array}$ (26)

进而有：

${\displaystyle \int {\left|\nabla \underset{\_}{u}\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}-{\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}}\le -\frac{1}{\Gamma }{\displaystyle \int {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}^{l+1}}\le 0,$

$左边\ge {\displaystyle \int 2^{2-p}}{\left|\nabla {\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}\right|}^p\ge 0,$

进而可得， ${\left(\underset{\_}{u}-u\right)}_{+}=0$。

综上， $\underset{\_}{u}\le u\le \bar{u}$。

因此，定理1得证。

文章引用

李 磊. 一类p-Laplace方程解的存在性问题
Existence of Solution for One Class of p-Laplacian Problem[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 308-315. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93041

参考文献