华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2021年1月8日；录用日期：2021年2月11日；发布日期：2021年2月19日

摘要

本文给出了紧致度量空间上自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了它的一些性质。通过斜积变换为介质，我们可以得到以下两个主要结果。1) 将拓扑r压的极限推广到自由半群作用( $r\to 0$ )。2) 假设 $f_i,i=0,1,\cdots ,m-1$ 是紧致度量空间上的同胚，则对于任意连续函数，我们证明了 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 的拓扑压等于 $f_0^{-1},\cdots ,f_{m-1}^{-1}$ 的拓扑压。

关键词

拓扑r压，拓扑压，斜积变换，自由半群作用

Topological r-Pressure and Topological Pressure of Free Semigroup Actions

Yinan Zheng, Qian Xiao

School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Jan. 8^th, 2021; accepted: Feb. 11^th, 2021; published: Feb. 19^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we introduce the definition of topological r-pressure of free semigroup actions on compact metric space and provide some properties of it. Through skew-product transformation into a medium, we can obtain the following two main results. 1) We extend the result that the topological pressure is the limit of topological r-pressure to free semigroup actions ( $r\to 0$ ). 2) Let $f_i,i=0,1,\cdots ,m-1$, be homeomorphisms on a compact metric space. For any continuous function, we verify that the topological pressure of $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ equals the topological pressure of $f_0^{-1},\cdots ,f_{m-1}^{-1}$.

Keywords:Topological r-Pressure, Topological Pressure, Skew-Product Transformations, Free Semigroup Actions

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Adler等人 [1] 引入拓扑熵来描述系统的复杂性，它同时是拓扑共轭的不变量。后来Bowen [2] 利用生成集和分离集定义了度量空间上一致连续映射的拓扑熵，并证明了对于紧致度量空间，他们与Adler等人定义的拓扑熵一致。拓扑压作为拓扑熵的自然推广，是动力系统的重要的概念。Ruelle [3] 首先引入可扩动力系统上的可加势函数的拓扑压的概念。Walters [4] [5] 随后将这一概念扩展到紧致空间上的连续变换。由于拓扑压在动力系统中有着重要的作用，一些研究者试图找到一些适用于其他系统的拓扑压的推广(见 [6] - [14] )。

1980年，Feldman [15] 对于 $\mathbb{Z}$ 和 ${ℝ}^n$ 之间的相互作用引入了r熵的概念。在此基础上，引入了连续映射的拓扑r熵和测度r熵的概念。

设 $\left(X,d\right)$ 是紧致度量空间，f是X连续自映射。对于有限集合A，我们用 $CardA$ 表示A的基数。对于 $x\in X$，$n\ge 0$，$\epsilon >0$，$0<r<1$，$\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，有

$B\left(x,n,\epsilon ,r,f\right)=\left\{y\in X:\frac{1}{n}Card\left\{0\le i\le n-1:d\left(f^{i}x,f^{i}y\right)<\epsilon \right\}>1-r\right\}$

如果对于任意 $x\in X$，存在 $y\in F$，使得 $x\in B\left(y,n,\epsilon ,r,f\right)$，则称F为X的 $\left(n,\epsilon ,r,f\right)$ 生成集。

用 $r_n\left(f,\epsilon ,r\right)$ 表示X的任何 $\left(n,\epsilon ,r,f\right)$ 生成集的最小基数。Ren等人在文 [16] 中定义

$h_r\left(f,\epsilon \right)=\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log r_n\left(f,\epsilon ,r\right),$

和

$h_r\left(f\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{h}_r\left(f,\epsilon \right)$

$h_r\left(f\right)$ 叫做f的拓扑r熵。

定理1.1：( [16] , Corollary 2.5)设 $\left(X,d\right)$ 是度量为d的紧致度量空间， $f:X\to X$ 是一个连续映射。则有

$\underset{r\to 0}{\lim }{h}_r\left(f\right)=h(\; f\; )$

其中 $h\left(f\right)$ 为f的拓扑r压。

Zhu等人 [17] 引入了紧致度量空间上自由半群作用的拓扑r熵的概念，并证明了：

定理1.2：( [17] , Theorem 1.1)设 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续自映射。则有

$\underset{r\to 0}{\lim }{h}_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)=h\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right),$

其中 $h\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 定义为 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 的拓扑熵； $h_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 定义为 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 的拓扑r熵( [17]，定义3.1)。

在文 [18] 中，Chen进一步介绍了紧致度量空间中拓扑r压的概念，并给出了相关的性质。

对于 $\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，有

$Q_n\left(f,\phi ,\epsilon ,r\right)=\inf \left\{{\displaystyle \underset{x\in F}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_n\phi \right)\left(x\right)}}:F是X的\left(n,\epsilon ,r,f\right)张成集\right\}.$

在文 [18] 中，Chen定义了

$P_r\left(f,\phi \right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log Q_n\left(f,\phi ,\epsilon ,r\right),$

$P_r\left(f,\phi \right)$ 叫做f的拓扑r压。

定理1.3：( [18] , Corollary 3.2.2)设 $f:X\to X$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的一个连续映射，且 $\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，则有

$\underset{r\to 0}{\lim }{P}_r\left(f,\phi \right)=P\left(f,\phi \right),$

其中 $P\left(f,\phi \right)$ 定义为f的拓扑压。

在上述结果的基础上，我们引入了自由半群作用的拓扑r压的概念，并给出了这个概念的一些性质。本文的主要结果是以下两个定理。

定理1.4：设 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续自映射，且 $\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，则有

$\underset{r\to 0}{\lim }{P}_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)=P\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right),$

其中 $P\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$ 表示 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 的拓扑压； $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$ 表示 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 的拓扑r压。

定理1.5：设 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续自映射，且 $\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，则有

$P\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)=P\left(f_0^{-1},\cdots ,f_{m-1}^{-1},\phi \right).$

本文概要如下。在第二章，我们作一些初步的介绍。在第三章中，我们给出了自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了它们的一些性质。在第四章中，我们给出定理1.4的证明。在第五章，我们给出定理1.5的证明。

2. 预备知识

2.1. 自由半群作用的拓扑压

设 $F_m^{+}$ 为符号 $0,1,\cdots ,m-1$ 的所有有限词的集合。对于每一个 $w\in F_m^{+}$，$\left|w\right|$ 表示w的长度，即w中符号的个数。若 $w,w^{\prime }\in F_m^{+}$，则定义 $w{w}^{\prime }$ 为 $w^{\prime }$ 在w的右边写成的词。根据这个合成律 $F_m^{+}$ 是一个有m个生成子的自由半群。记 $w\le w^{\prime }$，如果存在一个词 $w^{″}$ 使 $w^{\prime }=w^{″}w$。

由符号 $0,1,\cdots ,m-1$ 构成的所有双边无穷序列的集合表示为 ${\Sigma }_m$，即：

${\Sigma }_m=\left\{\omega =\left(\cdots ,{\omega }_{-1},\stackrel{\ast }{{\omega }_0},{\omega }_1,\cdots \right):{\omega }_i=0,1,\cdots ,m-1,\forall i\in \mathbb{Z}\right\}.$

定义 ${\Sigma }_m$ 上的度量，

$d^{\prime }\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right)=1/2^k$，其中 $k=\inf \left\{\left|n\right|:{\omega }_n\ne {\omega }_{n^{\prime }}\right\}$。

显然， ${\Sigma }_m$ 关于这个度量是紧致的。Bernoulli转移 $\sigma :{\Sigma }_m\to {\Sigma }_m$ 是同胚，由下面公式给出，

${\left(\sigma \omega \right)}_i={\omega }_{i+1}.$

假设 $\omega \in {\Sigma }_m,w\in F_m^{+}$，a, b为整数，且 $a\le b$。如果 $w={\omega }_a{\omega }_{a+1}\cdots {\omega }_{b-1}{\omega }_b$，则记 ${\omega |}_{\left[a,b\right]}=w$。

设X为紧致度量空间，d为X上的度量。 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续映射，若 $w\in F_m^{+}$，$w=w_k{w}_{k-1}\cdots w_1$，其中对所有 $i=1,2,\cdots ,k$ 有 $w_i\in \left\{0,1,\cdots ,m-1\right\}$，定义 $f_w=f_{w_k}{f}_{w_{k-1}}\cdots f_{w_1}$。显然，对所有 $w,w^{\prime }\in F_m^{+}$，有 $f_{w{w}^{\prime }}=f_w{f}_{w^{\prime }}$。

对任意 $w\in F_m^{+}$，定义X上的度量 $d_w$

$d_w\left(x_1,x_2\right)={\max }_{w^{\prime }\le w}d\left(f_{w^{\prime }}\left(x_1\right),f_{w^{\prime }}\left(x_2\right)\right),\forall x_1,x_2\in X.$

显然，如果 $w\le w^{\prime }$，对两点任意 $x_1,x_2\in X$ 有 $d_w\left(x_1,x_2\right)\le d_{w^{\prime }}\left(x_1,x_2\right)$。

对任意 $w\in F_m^{+}$，$w^{\prime }\le w$，$\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，$\left(S_w\phi \right)\left(x\right)$ 表示 ${\displaystyle \underset{w^{\prime }\le w}{\sum }\phi }\left(f_{w^{\prime }}x\right)$。

设 $\epsilon >0$，E是X的子集，若对任意的 $x,y\in E$，$x,y\in E$，由 $d_w\left(x,y\right)>\epsilon$ 则称E是X的 $\left(w,\epsilon ,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集。

在文 [10] 中，Lin等人定义

$Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)=\sup \left\{{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\phi \right)\left(x\right)}}:E是X的\left(w,\epsilon ,f_0,\cdots ,f_{\text{m}-1}\right)分离集\right\}$

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)=\frac{1}{m^n}{\displaystyle \underset{\left|w\right|=n}{\sum }{Q}_w^s}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right).$

设 $\epsilon >0$，F是X的子集，若对任意的 $x\in F$ 存在 $y\in F$，由 $d_w\left(x,y\right)\le \epsilon$ 则称F是X的 $\left(w,\epsilon ,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集。

$Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)=\inf \left\{{\displaystyle \underset{x\in F}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\phi \right)\left(x\right)}}:F是X的\left(w,\epsilon ,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)张成集\right\}$

$Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)=\frac{1}{m^n}{\displaystyle \underset{\left|w\right|=n}{\sum }{Q}_w}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right),$

并利用该公式定义了自由半群作用的拓扑压

$\begin{array}{c}P\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)\\ =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right).\end{array}$

注2.1：当 $m=1$，它与文 [4] [5] 定义的拓扑压相一致。有时，为了强调度量d，将拓扑压记作 $P_d\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$。

2.2. 斜积变换

设 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续自映射。设映射 $F:{\Sigma }_m\times X\to {\Sigma }_m\times X$，我们把有如下形式的映射称为斜积变换，

$F\left(\omega ,x\right)=\left(\sigma \omega ,f_{{\omega }_0}\left(x\right)\right)$,

$g\left(\omega ,x\right)=\phi (\; x\; )$

其中 $\omega =\left(\cdots ,{\omega }_{-1},\stackrel{\ast }{{\omega }_0},{\omega }_1,\cdots \right)$，$\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，$\sigma$ 表示Bernoulli转移。若 ${\omega }_0=0$，则 $f_{{\omega }_0}$ 表示 $f_0$，${\omega }_0=1$，$f_{{\omega }_0}$ 表示 $f_1$，以此类推。对于 $w=i_1\cdots i_k\in F_m^{+}$，定义 $\bar{w}=i_k\cdots i_1$。设 $\omega =\left(\cdots ,{\omega }_{-1},\stackrel{*}{{\omega }_0},{\omega }_1,\cdots \right)\in {\Sigma }_m$，有

$\begin{array}{c}{F}^n\left(\omega ,x\right)=\left({\sigma }^n\omega ,f_{{\omega }_{n-1}}{f}_{{\omega }_{n-2}}\cdots f_{{\omega }_0}\left(x\right)\right)\\ =\left({\sigma }^n\omega ,f_{\overline{{\omega |}_{\left[0,n-1\right]}}}(\; x\; )\right)\end{array}$

将 $P\left(F,g\right)$ 表示 $\left({\Sigma }_m\times X,F\right)$ 中F关于g的拓扑压。

在文 [10] 中，Lin等人证明了下面这个定理

定理1.3：( [10] , Theorem 1.1)斜积变换F关于g的拓扑压，满足

$P_D\left(F,g\right)=\log m+P_d\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$

其中 ${\Sigma }_m\times X$ 上的度量D定义为

$D\left(\left(\omega ,x\right),\left({\omega }^{\prime },x^{\prime }\right)\right)=\max \left\{d^{\prime }\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right),d\left(x,x^{\prime }\right)\right\}$

同时 ${\Sigma }_m$ 上的度量 $d^{\prime }$ 定义为 $d^{\prime }\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right)=1/2^k$，$k=\inf \left\{\left|n\right|:{\omega }_n\ne {{\omega }^{\prime }}_n\right\}$。

3. 自由半群作用的拓扑r压

在这一章中，我们介绍了自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了这个概念的一些性质。

设 $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是在紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续自映射。对 $x\in X$，$w\in F_m^{+}$，$\epsilon >0$ 以及 $0<r<1$，令

$B\left(x,w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)=\left\{y\in X:\frac{1}{\left|w\right|}Card\left\{w^{\prime }:d\left(f_{w^{\prime }}x,f_{w^{\prime }}y\right)<\epsilon ,w^{\prime }\le w\right\}>1-r\right\}.$

若X的子集F满足，对任意 $x\in X$，存在 $y\in F$，使得 $x\in B\left(y,w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$，则称F是X的 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集，令

$Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)=\inf \left\{{\displaystyle \underset{x\in F}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\phi \right)\left(x\right)}}:F是X的一个\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)张成集\right\}$

$Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)=\frac{1}{m^n}{\displaystyle \underset{\left|w\right|=n}{\sum }{Q}_w}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

注3.1：设 $r_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right)$ 表示紧致度量空间X的 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集的最小基数，令

$r_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right)=\frac{1}{m^n}{\displaystyle \underset{\left|w\right|=n}{\sum }{r}_w}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right).$

1) 若 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2$，有 $Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_1,r\right)\ge Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_2,r\right)$。因此，

$Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_1,r\right)\ge Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_2,r\right).$

2) $0<Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le \Vert {\text{e}}^{S_w\phi }\Vert r_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right)$。因此，

$0<Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le {\text{e}}^{n\Vert \phi \Vert }{r}_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right).$

3) $Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},0,\epsilon ,r\right)=r_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right)$，因此，

$Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},0,\epsilon ,r\right)=r_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\epsilon ,r\right).$

定义 3.1:对于 $0<r<1$，$\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，自由半群作用的拓扑r压定义为

$P_r\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

有时候为了强调度量d的，我们可以写成 $P_{r,d}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$。

注3.2：显然 $P\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\ge P_r\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$，若 $m=1$，它与文 [18] 中定义的拓扑r压相一致，若 $\phi =0$，它与文 [17] 中定义的自由半群作用的拓扑r熵一致。

现在我们简单介绍一下分离集。

若X的子集E满足对任意 $x,y\in X$，$x\ne y$，使得

$\frac{1}{\left|w\right|}Card\left\{w^{\prime }:d\left(f_{w^{\prime }}x,f_{w^{\prime }}y\right)\ge \epsilon ,w^{\prime }\le w\right\}>r.$

则称E是X的 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集。

故

$Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)=\sup \left\{{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\phi \right)(x)}}:E是X的\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)分离集\right\}$

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)=\frac{1}{m^n}{\displaystyle \underset{\left|w\right|=n}{\sum }{Q}_w^s}\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

注3.3：若 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2$ 有 $Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_1,r\right)\ge Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_2,r\right)$，则

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_1,r\right)\ge Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,{\epsilon }_2,r\right).$

故

$P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\log Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

有时候为了强调度量d的，我们可以写成 $P_{r,d}^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)$。

引理3.1：对任意 $n\ge 1$，$\epsilon >0$，$0<r<1$，有

1) $Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)$，

2) 令 $M=\underset{x\in X}{\max }\left|\phi \left(x\right)\right|$，若 $\delta =\sup \left\{\left|\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right|:d\left(x,y\right)\le \epsilon \right\}$，则

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,2\epsilon ,2r\right)\le {\text{e}}^{n\delta +2nrM}{Q}_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

证明：1) 假设E是X一个具有最大基数的 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集，则E也是X的一个 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集。

假设E不是X一个 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集，则至少存在一个点 $x\in X$，使得对所有 $y\in E$，有

$\frac{1}{\left|w\right|}Card\left\{w^{\prime }:d\left(f_{w^{\prime }}x,f_{w^{\prime }}y\right)<\epsilon ,w^{\prime }\le w\right\}<1-r,$

即

$\frac{1}{\left|w\right|}Card\left\{w^{\prime }:d\left(f_{w^{\prime }}x,f_{w^{\prime }}y\right)\ge \epsilon ,w^{\prime }\le w\right\}>r,$

这与最大基数的分离集相矛盾。

我们由此得到一个 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集必然是 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集，则有

$Q_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

故

$Q_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

2) 为了证明这个结果，我们先假设E是X的一个 $\left(w,2\epsilon ,2r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集，F是X的一个 $\left(w,2\epsilon ,2r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集。定义映射 $\varphi :E\to F$，映射 $\varphi$ 满足任意 $x\in E$，$\varphi \left(x\right)\in F$，使得 $x\in B\left(\varphi \left(x\right),w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$。我们可知 $\varphi \left(x\right)$ 是单射(详细可见文 [17] )。令 $z\in E$，使得

$S_w\phi \left(\varphi \left(z\right)\right)-S_w\phi \left(z\right)={\min }_{x\in E}\left\{S_w\phi \left(\varphi \left(x\right)\right)-S_w\phi \left(x\right)\right\}.$

令 $A=\left\{w^{\prime }:d\left(f_{w^{\prime }}z,f_{w^{\prime }}\varphi \left(z\right)\right)<\epsilon ,w^{\prime }\le w\right\}$,有 $CardA>\left|w\right|\left(1-r\right)$，记 $CardA=\left|w\right|\left(1-r\right)\cdot k$，其中 $1<k\le \frac{1}{1-r}$。故

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{y\in F}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(y\right)}}\ge {\displaystyle \underset{y\in \varphi E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(y\right)}}={\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(\varphi \left(x\right)\right)-S_w\phi \left(x\right)}}{\text{e}}^{S_w\phi \left(x\right)}\\ \ge {\min }_{x\in E}\left\{{\text{e}}^{S_w\phi \left(\varphi \left(x\right)\right)-S_w\phi \left(x\right)}\right\}{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(x\right)}}\\ ={\text{e}}^{S_w\phi \left(\varphi \left(z\right)\right)-S_w\phi \left(z\right)}{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(z\right)}}\\ \ge {\text{e}}^{-\left|w\right|\left(1-r\right)k\delta -\left|w\right|\left(1-\left(1-r\right)\cdot k\right)\cdot 2M}{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(x\right)}}\\ \ge {\text{e}}^{-\left|w\right|\delta -\left|w\right|r\cdot 2M}{\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{S_w\phi \left(x\right)}}.\end{array}$

因此

$Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,2\epsilon ,2r\right)\le {\text{e}}^{\left|w\right|\delta +2\left|w\right|rM}{Q}_w\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

故

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,2\epsilon ,2r\right)\le {\text{e}}^{n\delta +2nrM}{Q}_n\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).$

定理3.2：设 $\left(X,d\right)$ 是紧致度量空间， $f_0,\cdots ,f_{m-1}$ 是X到自身的连续映射，且 $\phi \in C\left(X,ℝ\right)$，有

$P_{2r}^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)-2Mr\le P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right).$

证明：显然由引理3.1可推得定理3.2。

注3.4：若 $m=1$，由定理1.3和定理3.2可得 $\underset{r\to 0}{\lim }{P}_r^s\left(f,\phi \right)=\underset{r\to 0}{\lim }{P}_r\left(f,\phi \right)=P\left(f,\phi \right)$。

现在我们来研究 $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)$ 和 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)$ 的相关性质。

定理3.3：设 $f_i:X\to X,i=0,1,\cdots ,m-1$ 是紧致度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的连续映射。若 $\phi ,\psi \in C\left(X,ℝ\right)$，$\epsilon >0$，$0<r<1$，且 $c\in ℝ$，则有下面的成立

1) $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},0\right)=h_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)$。

2) $\phi \le \psi$ 可得 $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\psi \right)$，特别地

$h_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)+\inf \phi \le P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le h_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}\right)+\sup \phi .$

3) $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)$ 要么是有限值，要么是无穷。

4) $\left|P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon \right)-P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\psi ,\epsilon \right)\right|\le \Vert \phi -\psi \Vert$。因此若 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)<\infty$，则

$\left|P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)-P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\psi \right)\right|\le \Vert \phi -\psi \Vert$。

5) $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot ,\epsilon \right)$ 是凸的，且若 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)<\infty$，则 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)$ 也是凸的。

6) $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi +c\right)=P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)+c$。

7) $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi +\psi \right)\le P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)+P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\psi \right)+\log m$。

8) 若 $c\ge 1$,有 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},c\phi \right)\le c{P}_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)+\left(c-1\right)\log m$ ；若 $c<1$，有 $P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},c\phi \right)\ge c{P}_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)+\left(c-1\right)\log m$。

9) $-2\log m-P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right)\le P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le P_r^s\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right)$。

证明：定理(1)~(8)的证明类似于文 [10] 中Lin等人的证明，因此我们省略证明。然后证明(9)

对于 $w\in F_m^{+}$，设E是X的一个 $\left(w,\epsilon ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 分离集，由于 $-\left|\phi \right|\le \phi \le \left|\phi \right|$，故

${\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\left(-\left|\phi \right|\right)\right)\left(x\right)}}\le {\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\phi \right)\left(x\right)}}\le {\displaystyle \underset{x\in E}{\sum }{\text{e}}^{\left(S_w\left|\phi \right|\right)\left(x\right)}}.$

因此

$Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},-\left|\phi \right|,\epsilon ,r\right)\le Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le Q_w^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|,\epsilon ,r\right).$

$Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},-\left|\phi \right|,\epsilon ,r\right)\le Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right)\le Q_n^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|,\epsilon ,r\right).$

则

$P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},-\left|\phi \right|\right)\le P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right).$

由(8)我们可以得到

$-P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right)-2\log m\le P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},-\left|\phi \right|\right).$

因此

$-P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right)-2\log m\le P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \right)\le P_r^s\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\left|\phi \right|\right).$

现在我们来研究一下 $P_r\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1},\cdot \right)$ 关于 $f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}$ 的性质。

定理3.4：若 $\left(X_1,d_1\right)$，$\left(X_2,d_2\right)$ 都是紧致度量空间。假设 $f_0,f_1,\cdots ,f_{m-1}$ 是 $X_1$ 上的连续映射， $g_0,g_1,\cdots ,g_{m-1}$ 是 $X_2$ 上的连续映射。当 $\pi :X_1\to X_2$ 是一个连续满射，对任意 $0\le i\le m-1$ 使得 $\pi \circ f_i=g_i\circ \pi$，则有

$P_r\left(g_0,\cdots ,g_{m-1},\phi \right)\le P_r\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \circ \pi \right),\forall \phi \in C\left(X_2,ℝ\right).$

若 $\pi$ 是同胚的，则有

$P_r\left(g_0,\cdots ,g_{m-1},\phi \right)=P_r\left(f_0,\cdots ,f_{m-1},\phi \circ \pi \right).$

证明：设 $\epsilon >0$，取 $\delta >0$ 使得 $d_1\left(x,y\right)<\delta$ 可得 $d_2\left(\pi \left(x\right),\pi \left(y\right)\right)<\epsilon$。当 $w=i_1{i}_2\cdots i_n\in F_m^{+}$，$0<r<1$。若F是 $X_1$ 的一个 $\left(w,\delta ,r,f_0,\cdots ,f_{m-1}\right)$ 张成集，则 $\pi \left(F\right)=\left\{\pi \left(x\right):x\in F\right\}$ 是 $X_2$ 的一个 $\left(w,\epsilon ,r,g_0,\cdots ,g_{m-1}\right)$ 张成集。故

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{x\in F}{\sum }{\text{e}}^{\phi \circ \pi \left(x\right)+\phi \circ \pi \left(f_{i_1}\left(x\right)\right)+\cdots +\phi \circ \pi \left(f_{i_{n-1}{i}_{n-2}\dots i_1}\left(x\right)\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{x\in F}{\sum }{\text{e}}^{\phi \circ \pi \left(x\right)+\phi \circ g_{i_1}\circ \pi \left(x\right)+\cdots +\phi \circ g_{i_{n-1}{i}_{n-2}\cdots i_1}\circ \pi \left(x\right)}}\\ \ge {\displaystyle \underset{y\in \pi \left(F\right)}{\sum }{\text{e}}^{\phi \left(y\right)+\phi \circ g_{i_1}\left(y\right)+\cdots +\phi \circ g_{i_{n-1}{i}_{n-2}\cdots i_1}\left(y\right)}}\\ \ge Q_w\left(g_0,\cdots ,g_{m-1},\phi ,\epsilon ,r\right).\end{array}$