一类条件代数不等式的注记 A Note on a Class of Conditional Algebraic Inequalities

doi:10.12677/PM.2021.1110198

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 10 ( 2021 ), Article ID: 45931 , 6 pages
10.12677/PM.2021.1110198

一类条件代数不等式的注记

蒋鼎宏^1,2，柏传志^2*

●How to Cite this Article

¹江苏省淮阴中学，江苏淮安

²淮阴师范学院数学与统计学院，江苏淮安

收稿日期：2021年9月13日；录用日期：2021年10月15日；发布日期：2021年10月22日

摘要

本文主要讨论了一类条件代数不等式，主要结果是已有结果与方法的补遗和拓展。

关键词

代数不等式，指数，数学归纳法，导数

A Note on a Class of Conditional Algebraic Inequalities

Dinghong Jiang^1,2, Chuanzhi Bai^2*

¹Huaiyin High School in Jiangsu Province, Huai’an Jiangsu

²College of Mathematics and Statistics, Huaiyin Normal University, Huai’an Jiangsu

Received: Sep. 13^th, 2021; accepted: Oct. 15^th, 2021; published: Oct. 22^nd, 2021

ABSTRACT

This paper mainly discusses a class of conditional algebraic inequalities. The main results are the supplements and extensions of the existing results and methods.

Keywords:Algebraic Inequality, Exponent, Mathematical Induction, Derivative

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

近年来一类条件代数不等式引起了许多作者的兴趣。在文献 [1] 中，作者对《数学通报》2009年第8期数学问题1808 [2] 与2010年第1期数学问题1833 [3]，从项数与指数出发进行了推广。在文献 [4] 中，作者对上述问题与《数学通报》2015年第4期数学问题2238 [5]，从指数出发进行了下列推广：

定理1设 $a, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，对任意的正整数 $m, n$ ( $m \geq 2$ )，则有

$(\frac{1}{a^{m}} - a^{n}) (\frac{1}{b^{m}} - b^{n}) \geq {(\frac{2^{m + n} - 1}{2^{n}})}^{2}$ (1)

等号当且仅当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时成立。

文献 [6] 中，作者从项数对定理1进行了推广，得到了下列关于一类条件代数不等式统一推广的定理。

定理2设 $n \in N^{*}$ ， $p \in N^{*}$ ， $q \in N^{*}$ ， $a_{i} > 0$ ( $i = 1, \dots, n; n > 1$ )，且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1$ ， $p \geq 2$ ，则

$\prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{a_{i}^{p}} - a_{i}^{q}) \geq {(n^{p} - \frac{1}{n^{q}})}^{n}$ (2)

等号当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = \frac{1}{n}$ 时成立。

在定理2中，条件 $p \geq 2$ 是必要的。在文献 [7] 中，作者证明了当 $p = 1$ 时，(2)式也成立，即有

定理3设 $q \in N^{*}$ ， $a_{i} > 0$ ( $i = 1, \dots, n; n > 1$ )，且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1$ ，当 $q \geq 3$ 或 $n \geq 3$ ，有

$\prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{a_{i}^{}} - a_{i}^{q}) \geq {(n^{} - \frac{1}{n^{q}})}^{n}$ (3)

等号当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = \frac{1}{n}$ 时成立。

(3)式可以看成是(2)式的补遗。(3)式中 $n = 2$ 时 $q \geq 3$ ，一个自然的问题是如果 $n = 2$ ， $q = 2$ ，(3)式是否成立。另外，文献 [7] 在证明(3)式 $n = 2$ ， $q \geq 3$ 的情形时证明技巧较高，也较复杂。本文将给出较直接与自然的证明。我们的结果可以看成是(1)与(3)式的补遗和扩展。我们的主要结论如下：

定理4.已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则

$(\frac{1}{a} - a^{2}) (\frac{1}{b} - b^{2}) \leq {(\frac{7}{4})}^{2}$ (4)

证明对于 $0 < x < 1$ ，令

$f (x) = (\frac{1}{x} - x^{2}) (\frac{1}{1 - x} - {(1 - x)}^{2})$ .

则

$\begin{matrix} f (x) = \frac{(1 - x^{3}) (1 - {(1 - x)}^{3})}{x (1 - x)} = (1 + x + x^{2}) (1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2}) \\ = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 3 \end{matrix}$

对 $f (x)$ 求导得

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 2 x (x - 1) (2 x - 1)$

令 $f^{'} (x) = 0$ ，得到 $f^{'} (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上的唯一零点 $x = \frac{1}{2}$ ，且

当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ；当 $\frac{1}{2} < x < 1$ 时， $f^{'} (x) < 0$ 。

故 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上取到最大值

$f (\frac{1}{2}) = {(2 - \frac{1}{2^{2}})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$ .

于是，(4)式成立。证毕。

定理4说明 $n = 2$ ， $q = 2$ 时，(3)式不成立，且(3)式不等式反号。

下面，我们给出 $n = 2$ ， $q \geq 3$ 时的(3)式一个直接与自然的证明。

定理5已知 $a, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ 。如果正整数 $p \geq 3$ ，

则

$(\frac{1}{a} - a^{p}) (\frac{1}{b} - b^{p}) \geq {(2 - \frac{1}{2^{p}})}^{2}$ (5)

等号当且仅当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时成立。

证明对于 $0 < x < 1$ ，令

$f_{p} (x) = (\frac{1}{x} - x^{p}) (\frac{1}{1 - x} - {(1 - x)}^{p})$ , (6)

则

$\begin{matrix} f_{p} (x) = \frac{(1 - x^{p + 1}) (1 - {(1 - x)}^{p + 1})}{x (1 - x)} \\ = (1 + x + \dots + x^{p}) (1 + (1 - x) + \dots + {(1 - x)}^{p}) . \end{matrix}$

容易知道 $f_{p} (1 - x) = f_{p} (x)$ ，即 $f_{p} (x)$ 关于 $x = \frac{1}{2}$ 是对称的。

下面用数学归纳法证明当 $p \geq 3$

${f^{'}}_{p} (x) = (1 - 2 x) g_{p} (x)$ (7)

其中 $g_{p} (x) < 0$ ， $0 < x < \frac{1}{2}$ 。事实上，当 $p = 3$ 时

$\begin{matrix} {f^{'}}_{3} (x) = (1 + 2 x + 3 x^{2}) (1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3}) \\ - (1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 + 2 (1 - x) + 3 {(1 - x)}^{2}) \\ = 1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} - 1 - x - x^{2} - x^{3} \\ + 2 x + 2 x (1 - x) + 2 x {(1 - x)}^{2} + 2 x {(1 - x)}^{3} \\ - 2 (1 - x) - 2 x (1 - x) - 2 x^{2} (1 - x) - 2 x^{3} (1 - x) \end{matrix}$

$\begin{matrix} + 3 x^{2} + 3 x^{2} (1 - x) + 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} + 3 x^{2} {(1 - x)}^{3} \\ - 3 {(1 - x)}^{2} - 3 x {(1 - x)}^{2} - 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} - 3 x^{3} {(1 - x)}^{2} \\ = (1 - 2 x) [3 x^{2} {(1 - x)}^{2} - 2] = (1 - 2 x) g_{3} ( x ) \end{matrix}$

其中 $g_{3} (x) = 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} - 2 < \frac{3}{4} - 2 < 0$ ， $0 < x < \frac{1}{2}$ 。

假设 $p = k$ 时， ${f^{'}}_{k} (x) = (1 - 2 x) g_{k} (x)$ ， $g_{k} (x) < 0$ ， $0 < x < \frac{1}{2}$ 。则当 $p = k + 1$ 时，

$\begin{matrix} {f^{'}}_{k + 1} (x) = {[(1 + x + x^{2} + \dots + x^{k + 1}) (1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2} + \dots + {(1 - x)}^{k + 1})]}^{'} \\ = {[f_{k} (x) + (1 + x + \dots + x^{k}) {(1 - x)}^{k + 1} + (1 + (1 - x) + \dots + {(1 - x)}^{k}) x^{k + 1} + x^{k + 1} {(1 - x)}^{k + 1}]}^{'} \\ = {f^{'}}_{k} (x) + H_{k} (x) \end{matrix}$ (8)

其中

$\begin{matrix} H_{k} (x) = (1 + 2 x + \dots + k x^{k - 1}) {(1 - x)}^{k + 1} - (1 + 2 (1 - x) + \dots + k {(1 - x)}^{k - 1}) x^{k + 1} \\ - (k + 1) (1 + x + \dots + x^{k}) {(1 - x)}^{k} + (k + 1) (1 + (1 - x) + \dots + {(1 - x)}^{k}) x^{k} \\ + (k + 1) x^{k} {(1 - x)}^{k} (1 - 2 x) \\ = (1 - 2 x) [{(1 - x)}^{k} + {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots + x^{k}] \\ + 2 x (1 - x) (1 - 2 x) [{(1 - x)}^{k - 1} + {(1 - x)}^{k - 2} x + \dots + x^{k - 1}] \end{matrix}$

$\begin{matrix} + \dots + k x^{k - 1} {(1 - x)}^{k - 1} (1 - 2 x) \\ - (k + 1) (1 - 2 x) [{(1 - x)}^{k - 1} + {(1 - x)}^{k - 2} x + \dots + x^{k - 1}] \\ - (k + 1) x (1 - x) (1 - 2 x) [{(1 - x)}^{k - 2} + {(1 - x)}^{k - 3} x + \dots + x^{k - 2}] \\ - \dots - (k + 1) x^{k - 1} {(1 - x)}^{k - 1} (1 - 2 x) + (k + 1) x^{k} {(1 - x)}^{k} (1 - 2 x) \\ = (1 - 2 x) W_{k} ( x ) \end{matrix}$

注意到 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时

$\begin{array}{l} [{(1 - x)}^{k} + {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots + x^{k}] - (k + 1) [{(1 - x)}^{k - 1} + \dots + x^{k - 1}] \\ < x^{k} - k [{(1 - x)}^{k - 1} + \dots + x^{k - 1}] < x^{k} - k^{2} x^{k - 1} < - (k^{2} - 1) x^{k}, \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x (1 - x) [{(1 - x)}^{k - 1} + \dots + x^{k - 1}] - (k + 1) x (1 - x) [{(1 - x)}^{k - 2} + \dots + x^{k - 2}] \\ = x (1 - x) [2 ({(1 - x)}^{k - 2} + {(1 - x)}^{k - 3} x^{2} + \dots + x^{k - 1}) \\ - (k + 1) ({(1 - x)}^{k - 2} + {(1 - x)}^{k - 3} x + \dots + x^{k - 2})] < 0, \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} [{(1 - x)}^{k - 2} + \dots + x^{k - 2}] - (k + 1) x^{2} {(1 - x)}^{2} [{(1 - x)}^{k - 3} + \dots + x^{k - 3}] \\ = x^{2} {(1 - x)}^{2} [3 ({(1 - x)}^{k - 3} + {(1 - x)}^{k - 4} x^{2} + \dots + x^{k - 2}) \\ - (k + 1) ({(1 - x)}^{k - 3} + {(1 - x)}^{k - 4} x + \dots + x^{k - 3})] < 0, \end{array}$

$\dots,$

$\begin{array}{l} (k - 1) x^{k - 2} {(1 - x)}^{k - 2} [{(1 - x)}^{2} + (1 - x) x + x^{2}] \\ - (k + 1) x^{k - 2} {(1 - x)}^{k - 2} [(1 - x) + x] \\ = x^{k - 2} {(1 - x)}^{k - 2} [(k - 1) ((1 - x) + x^{2}) - (k + 1) ((1 - x) + x)] < 0. \end{array}$

故

$\begin{matrix} W_{k} (x) < - (k^{2} - 1) x^{k} + (k + 1) x^{k} {(1 - x)}^{k} \\ < - (k + 1) (k - 2) x^{k} . \end{matrix}$ (9)

于是由(8)、(9)式，得

${f^{'}}_{k + 1} (x) = (1 - 2 x) [g_{k} (x) + W_{k} (x)] = (1 - 2 x) g_{k + 1} (x),$

而

$g_{k + 1} (x) = g_{k} (x) + W_{k} (x) < W_{k} (x) < - (k + 1) (k - 2) x^{k} < 0, 0 < x < \frac{1}{2} .$

故由数学归纳法我们证明了(7)式成立。那么由(7)式， ${f^{'}}_{p} (\frac{1}{2}) = 0$ ， ${f^{'}}_{p} (x) < 0$ ， $0 < x < \frac{1}{2}$ 。即 $f_{p} (x)$ 在区间 $(0, \frac{1}{2})$ 上是单调递减的。又函数 $f_{p} (x)$ 在 $(0, 1)$ 上关于 $x = \frac{1}{2}$ 是对称的，故 $f_{p} (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递增的。于是在 $(0, 1)$ 上 $f_{p} (x)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 取到最小值。即

$f_{p} (x) \geq f_{p} (\frac{1}{2}) = {(2 - \frac{1}{2^{p}})}^{2} .$

证毕。

基金项目

国家自然科学基金项目(No. 11571136)。

文章引用

蒋鼎宏,柏传志. 一类条件代数不等式的注记
A Note on a Class of Conditional Algebraic Inequalities[J]. 理论数学, 2021, 11(10): 1757-1762. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1110198

参考文献

1. 宋志敏, 尹枥. 一道数学征解题的解后再思考[J]. 数学通报, 2010, 49(12): 32-34.

2. 胡雷. 数学问题1808 [J]. 数学通报, 2009, 48(8): 66.

3. 杨先义. 数学问题1833 [J]. 数学通报, 2010, 49(1): 65.

4. 周兴伟, 姚丽, 赵震宇. 基于两道“姊妹题”结论与证明的思考[J]. 数学通报, 2016, 55(5): 61-62.

5. 李良兵. 问题2238 [J]. 数学通报, 2015, 54(4): 65.

6. 郭要红, 刘其右. 一类条件代数不等式的统一推广[J]. 数学通报, 2017, 56(9): 58-59.

7. 李汝雁, 郭要红, 孟庆利. 一类条件代数不等式统一推广的拾遗[J]. 数学通报, 2019, 58(2): 58-61.

NOTES

^*通讯作者。

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