ABSTRACT

In this paper, we consider the convergence of the two-step combined method for solving nonlinear operator equations. A semi-local convergence of the method is presented under some continuity conditions. Moreover, we establish the uniqueness result of the solutions. Finally, a numerical example is provided to demonstrate our theoretical results.

Keywords:Semi-Local Convergence, Two-Step Combined Method, Divided Differences

求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性分析

吴伟笛，沈卫平，徐丽华

浙江师范大学数学系，浙江 金华

收稿日期：2017年1月3日；录用日期：2017年1月21日；发布日期：2017年1月24日

摘 要

本文考虑求解非线性方程问题的两步组合方法的收敛性。在某些连续性条件下，我们给出了该方法的半局部收敛性。另外对算子方程的解的唯一性也做出了说明。最后通过数值例子来说明收敛性分析的有效性。

关键词 :半局部收敛性，两步组合方法，差商

1. 引言

设与为Banach空间，且为中的一开凸子集。考虑非线性算子方程

(1)

其中，为定义在上的一个非线性算子。

众所周知，牛顿法是求解方程(1)的最著名的方法之一。其中，文献 [1] 及 [2] 研究了在算子的一阶导数满足条件下牛顿法的平方收敛性结果。

在文章 [3] 中，M. Bartish首次提出了两步修正牛顿法：

对任意的 (2)

并且在康托洛维奇型条件下给出了该算法的半局部收敛性。这里，，为给定的初始值。此外，文章 [4] [5] [6] [7] [8] 对该算法及其收敛性也做了一定的研究。

同样，通过引入了差商的定义，M. Bartish在文章 [3] 中给出了不同于(2)的如下两步算法来求解方程(1)：

对任意的 (3)

这里，，为给定的初始值，为由到的有界线性算子。很多学者对算法(3)的收敛性也作出了一定的研究。例如，文 [9] 在相对弱的康托洛维奇条件下对算法(3)的半局部收敛性进行了研究。再如，类似 [10] [11] [12] 中古典割线法的收敛条件，S. M. Shakhno研究了仅在条件下算法(3)的收敛性问题。又如，文章 [13] 与 [14] 给出了二阶均差满足条件下该方法的收敛性定理。另外，文章 [15] 及 [16] 也对算法(3)的收敛性进行了研究。特别地，当算子满足下列条件时：

(4)

文章 [16] 给出了算法(3)的半局部收敛性以及方程(1)的解的唯一性。这里，，。

下面，我们考虑非线性算子方程

(5)

这里，均为定义在上的非线性算子。为Fréchet可微算子，为连续算子。最近，S. M. Shakhno等通过结合算法(2)与(3)在文章 [17] 中首次提出了下列两步组合方法用于求解方程(5)：

对任意的(6)

其中，为给定的初始值。文章 [18] 通过假设满足带有积分形式的条件，给出该算法的局部收敛性结果，并且证明了它的收敛阶为。

在这篇文章中，我们讨论用于求解方程(5)的两步组合方法的半局部收敛性问题。当算子的一阶F-导数满足条件，二阶导数满足条件以及算子的差商满足条件下，我们给出了该方法的收敛性定理， 并证明了解的唯一性。另外，在最后一节中，我们还给出了一个数值例子来说明我们理论结果。

2. 定义与引理

本节中，我们给出一些基本的定义及引理。

定义1 [16] 假设表示由到的一个线性算子。设，若满足条件：

(7)

则称为在点的差商。

引理2 (Banach引理 [19] ) 设的有界线性算子，且为单位算子，若则为可逆的且有

引理3 [8] 已知，。设表示所有连续可微的且二阶导数连续的全体算子。

假设(1)。

(2)可逆且存在非负数使得

(3)，

则有

3. 半局部收敛性定理

下面，我们建立两步组合方法的半局部收敛性定理。在下面的讨论中，我们令表示以为中心以为半径的闭球。假设算子的一阶F-导数和二阶-导数，以及算子的差商均存在。设为中的两点。令其中

定理1假设(1)算子可逆；

(2)存在非负常数及，使得对，下列条件成立：

(8)

(9)

(10)

(3)且存在非负数使得

(11)

其中

(4) 闭球。假设实序列由如下定义：

(12)

(13)

(14)

则我们有如下结论：

(i)为非负，递减序列且收敛于满足

(ii)算法(6)是适定的。所得序列收敛于解，且满足不等式

对任意(15)

并且解是唯一的。特别的，当时，我们有

(16)

证明：(i) 我们用数学归纳法证明下列不等式是成立的：

(17)

以及

(18)

其中，由定义，有。那么由序列递减且有下界，就可得序列是收敛的。因此，由

及

即可得从而也收敛。

首先，当时，由式子(12)，(13)，(14)，我们可以得到

又由于

因此

即可得

所以

并且

即当时，(17)与(18)成立。假设时，不等式(17)与(18)是成立的，即

且

则当时，

(19)

(20)

由定义及假设，可得。由条件(13)，(14)及假设，我们可得：

以及

又由条件(13)及(19)，

所以

因此，由上式及定义可得

综上可得

即可得(17)与(18)对是成立的。从而，我们证得(i)成立。

下面给出(ii)的证明。我们将用数学归纳法证明迭代过程(6)是适定的且有

(21)

因此

当时，显然，由算法(6)，定义及(12)，很容易可以证明(21)是成立的。现假设为非负整数，并且对所有，不等式(21)是成立的。若令，则有

(22)

由假设及条件(11)

(23)

则由引理2，为可逆的，并且

(24)

下证当时，迭代过程是可以定义的。

(25)

由引理3，有

因此，我们可以得到

另外由均差定义，有

所以

(26)

所以，由上可得

然后，由(21)，(13)，(14)，我们可得

(27)

因此，即可证得迭代方法对任意是可以定义的。又由

(28)

以及前面已证的及也收敛，就证得了，为柯西序列且是收敛的。不妨设，因此，在(28)中，当时，我们便可以得到(15)是成立的，即

(29)

又因为当时，有

所以我们即可得即为方程的根。

接下来我们证明(16)是成立的。由等式

由条件(28)，(29)，(8)，(9)，(10)知

所以由引理2，线性算子为可逆的，且有

另外，(26)可得

所以

下面我们证解的唯一性。由(11)式，我们可以得到

(30)

设为方程在上的另一解，其中是满足(12)式。则由迭代算法(5)，(8)，(9)及(1)我们可以得

因此，由式子(24)，(8)，(10)及引理3，我们即可得

下面我们用数学归纳法证明是小于1的。首先，由式(14)，我们可得

(31)

当时由式(30)，(31)及

所以有假设当时，有则当时，由假设及式(30)，(31)，我们有

取表示的上界，则有。

当时，所以

所以唯一性得证。

4. 数值例子

本文将引用文献 [16] 中的例子验证定理1中的条件是非空的。考虑下面的二阶非线性边界值问题：

(32)

将[0,1]分成个子区间，表示细分的点，且有。令我们给出一个二阶导数的标准近似：

取，则将代入问题(32)，我们即可得

(33)

因此我们可得方程组(33)的系数矩阵

另外，对于，相应的有范数。定义

令其中，显然

接下来我们对做一些相关计算。由文献 [10] ， [11] ， [12] ，可以由矩阵的元素来表示：

这里

由均差定义，我们可以把转化为积分的形式(参见文献 [16] )：

注意到，对所有。

由此

(34)

所以

最后，易知

即对条件(8)，(9)，(10)中的系数均取为。

我们选定下组数据作为初始值：

下面我们通过计算来验证定理1的结论。为此，取，通过定理1及上面说明，我们可得：

取，则通过计算(13)，(14)，(15)可得：

由上面计算，我们可以看出定理1中的条件是非空的，即存在这样的一组数据满足定理1的条件。

基金项目

浙江省自然科学基金资助项目(LY17A010006)。

文章引用

吴伟笛,沈卫平,徐丽华. 求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性分析
Convergence Analysis of the Two-Step Combined Method for Solving Nonlinear Operator Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(01): 90-103. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.61011

参考文献 (References)