 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 176-180 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33026 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) A Note on the Operator Space Projective Tensor Product of C*-Algebras Jingxian Ji, Peixin Chen School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Email: jijingxian@yeah.net, chenpx60@126.com Received: Feb. 24th, 2013; revised: Mar. 11th, 2013; accepted: Mar. 24th, 2013 Copyright © 2013 Jingxian Ji, Peixin Chen. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: For C*-algebras and W, we discuss some properties of the Banach*-algebra . Then, we prove that the operator space projective tensor product of C*-algebras preserves *-homomorphism and a universal property of Banach*-algebra VVW VW will be given. At last, a characterization of the convergence property of dual space is also obtained. VW Keywords: Operator Space; Projective Tensor Product; C*-Algebras 关于 C*-代数的算子空间投影张量积的一个注记 季井先 1，陈培鑫 2 南京理工大学理学院，南京 Email: jijingxian@yeah.net, chenpx60@126.com 收稿日期：2013 年2月24 日；修回日期：2013 年3月11 日；录用日期：2013 年3月24 日 摘 要：对于 C*-代数V和W，我们讨论Banach*-代数VW 的一些性质。接着我们证明C*-代数的 算子空间投影张量积保持*-同态映射并给出 Banach*-代数VW 的一个全局性性质。最后得到一个关 于对偶空间 的收敛性质的刻画。 VW 关键词：算子空间；投影张量积；C*-代数 1. 引言 给定一个 Hilbert 空间 H ，我们记 为 BH H 上的所有有界线性算子构成的空间。一个具体的算子空间V就 是某 的一个闭子空间。对每个自然数 BH n ，矩阵空间 n M V上的算子范数由包含关系： nn n M V M : BH VW BH所决定。在文[1]中Ruan 给出了算子空间的公理化刻画。给定算子空间V和W， 线性映射 ， 的完全有界范数 cb 定义为： :nsup n cb ，其中 ,, :: nnn ijij MVMW vv 。 如果 cb ，则称 为完全有界映射。令 ,CB V W记为V到W的完全有界映射全体构成的空间。 Copyright © 2013 Hanspub 176  季井先，陈培鑫 关于 C*-代数的算子空间投影张量积的一个注记 Blecher 和Paulsen 在文[2]，Effors 和Ruan在文[3,4]分别独立的介绍了算子空间的算子空间投影张量积理论。 Kumar 在文[5]中首先考虑了C*-代数的算子空间投影张量积。给定 C*-代数V和W，我们定义代数张量VW 上 的算子空间投影范数 ：对于任意的元素 uV W ， inf :uvwuvw ， 其中 1, ,1 ,, , p qp q MvMVwMW M pq ,pq，任意。 VW在该范数下的完备化空间我们记为VW 。我们知道 C*-代数的代数张量积存在许许多多C*-范数，在文 [5,6]中作者给出了V在*-运算：vw W v w 下只构成一个Banach*-代数的证明并讨论了V的双边理 想和中心等问题。虽然V不构成一个C*-代数，但仍有许多良好的性质值得我们进一步研究。 W W 在本文中，我们首先研究 Banach*-代数VW 的一些基础性质。命题 2.2 中我们证明作为 Banach*-代数VW 的子代数 构成 C*-代数且映射 是一个*-同构等距映射，其中, WV VII W 1 :: W VVIvvI WW I 分别记 为W的单位元。在文[7]中作者论述了 C*-代数的 min 范数张量积是保持同态映射的，同理我们考虑 C*-代数的 算子空间投影张量积。接着我们在定理 2.5 证明C*-代数的算子空间投影张量积保持*-同态映射，也就是说若 都是 C*-代数，映射,,VV , WW :VV 和:WW 都是*-同态，则映射 :VWV W 的 能够延拓成 一个*-同态映射 : 然后我们在定理 2.7中我们给出Banach*-代数VW 一个全局性性质： 若都是 C*-代数，映射 VW W V W 。 :VW,, VV 和:VW 是满足 象中的元素和 象中的元素相交换的*-同态，则 一定存在唯一*-同态映射使得 : VV W 121 2 vvv v ，其中12 ,vVvV 。最后，在定理2.8 中 我们证明对于任意的元素 ，都存在一个网 SVW n SVW 且满足 2 n SS，使得弱*收敛到 。 n S S 2. C*-代数的算子空间投影张量积 C*-代数的算子空间投影张量积的定义在引言中已经给出，在此不再重述。另外本文所考虑的C*-代数都是 包含单位元的。 定理 2.1 给定 C*-代数V和W， 在*-运算：VW vw vw 下构成一个 Banach*-代数。 证：因为 hh VW VW VV WW VV WW 并且映射 都是完全有界的(其中:,: VhW h mVV VmWW Wh VW 为C*-代数V和的 Haagerup张量积 [8])。从而我们得到映射： W : VW m mVWVWVW 是完全有界的。特别的，VW 是一个 Banach 代数。 对于任意的元素， 都有分解： uV W u uvw 其中 Copyright © 2013 Hanspub 177  季井先，陈培鑫 关于 C*-代数的算子空间投影张量积的一个注记 1, ,1 ,, , pq pqpq MvMVwMW M ， 则 uvw 。从而根据算子空间投影范数定义得 uvw ，即uu 。因为 u的任意 性，用替换 即得 uuuu 。也就是 uu 。 或证若 ，则由定义 uVW inf :uvwuvw ， 其中 1, ,1 ,, , pq pqpq MvMVwMW M ， 任意， ,pq 则对 的所有分解 u uvw ，我们就得到了 u 的所有分解： uvw 。从而 inf : inf : uvwuvw vwuv w u 。 命题 1的部分证明来源于文[5]。下面我们介绍Banach*- 代数VW 的一些基础性质。 命题 2.2 给定 C*-代数V和W，, vW I I分别记为和W的单位元。则我们有 V 1) 是一个交叉范数。即对于任意的 vwVW ，都有 vw vw ； 2) 在自然*-运算下构成C*-代数； , WV VII W 3) 映射 是一个*-同构等距映射。 1:, W VVIvvI W 2:, VV WIWwI 对称的，映射 也是一个*-同构等距映射。 w 证：1) 当V和为算子空间时，由文[9]知WVW 的范数 是一个交叉矩阵范数。也就说是对于任意的 ， ,vMVw W pq Mvw vw 。特别的，当V和W是C*-代数时， 是一个交叉范数。 2) 对于任意的元素， 都可以表示成 W uVI uW uvI 的形式，其中 vV 。从而 。 W uvI 22 WW W uuvIvIvv I vv vu 。 3) 对于任意的元素 v，我们有 V 11WW vvI vIv 。 另外对任意的元素 12 ,vv V ， 112121211 12WWW vvvvIv IvIvv 。 从而映射 1 是一个*-同构映射。由文[7]我们知道任意一个从 C*-代数映到Banach*-代数的*-同构映射都是 范数增的，也就是象的范数大于等于原象的范数。从而 1W vvI v； 而WW vIvI v ，则映射 1 是一个等距映射。 引理 2.3 对于任意的C*-代数V和W，若映射:VW 是一个*-同态，则 是一个完全压缩映射。 证：首先，显然C*-代数之间的*-同态 是一个压缩映射。又因为对每个自然数 ，相应的映射 n : nn n M VMW 仍然是一个*-同态，从而 就是一个完全压缩映射。 引理 2.4 若都是C*-代数，映射,,,VV WW :VV 和:WW 都是*-同态，则映射 Copyright © 2013 Hanspub 178  季井先，陈培鑫 关于 C*-代数的算子空间投影张量积的一个注记 :VWV W 也是一个*-同态。 证：对于任意的元素 uV W ，假定 有分解：u uvw ，其中 1, ,1 ,, , pq pqpq MvMVwMW M 。 则 pq pq pq uvw vwvw vw u 。 对于基础张量 ，我们有 11 vw 2 2 ,vwVW 2212121212 1 211221122 v wvv wwvvww wwv w vwvwvw 1 1 12 v w vv :VW 综上，映射 V W ,,VV WW 也是一个*-同态。 上述命题的题设若改成 都是*-代数是仍然成立的。由文[10]我们知道算子空间的投影张量积是保 持完全压缩映射和完全商映射的。另外在文[7]中作者论述了 C*-代数的 min 范数张量积是保持同态映射的，同 理我们考虑C*-代数的算子空间投影张量积，下面证明C*-代数的算子空间投影张量积是保持*-同态映射的。 ,,,VV WW 定理 2.5 若都是C*-代数，映射, :VV 和:WW 都是*-同态，则映射 :VWV W 能够延拓成一个*-同态映射 :VW V W 。 证：由引理 4我们已经知道映射 :VWV W 是一个*-同态，从而我们只需要再证 在 下是连续的即可。对于任意的元素，假定 有分解：uV W u uvw ，其中 1, ,1 , pqq pq MvwMWM ,, p MV ，则 pq pq uvw vwvw 。 上面第二个不等号我们用到了引理 2.3 的结论。又因为 inf :uvwuvw ，从而 uu 。即 在 下是连续的，从而可以延拓到VW 。 下面定理2.7 我们给出VW 的一个全局性性质。下述引理可以参考文[11]。 引理 2.6 若都是*-代数，映射,,VV W :VW 和:VW 是满足 象中的元素和 象中的元素相交换 的*-同态。则存在唯一*-同态 :VV W 使得 2 v 121 ()vv v ，其中 1 ,vVv 2 V 。 证：因为映射 121 2 :,VV Wvvvv 是一个双线性的，从而可以诱导出一个线性映射 :VV W ，容易验证该映射就是满足要求的*-同态映射。 定理 2.7 若都是C*-代数，映射,,VV W :VW 和:VW 是满足 象中的元素和 象中的元素相交换 的*-同态。则存在唯一*-同态 使得:VV W 2 v 121 vv v ，其中 1 ,vVv 2 V 。 证：唯一性显然。另外由引理2.6 知存在一个*-同态映射 :VV W 使得 121 2 vvv v ，其中 12 ,vVvV 。 又因为任意一个 Banach*-代数映到 C*-代数的*-同态都是范数不增的，从而对于任意的元素 uVW ， uu 。即 在 下是连续的，从而 可以延拓到VV 。 Copyright © 2013 Hanspub 179  季井先，陈培鑫 关于 C*-代数的算子空间投影张量积的一个注记 Copyright © 2013 Hanspub 180 下面我们给出Banach*-代数V的对偶空间WVW 中的元素的一个逼近性质。 定理 2.8 给定 C*-代数V和W，对于任意的元素SVW ，都存在一个网 n SVW 且满足 2 n SS ，使得 弱*收敛到 。 n S S 证：首先我们有完全等距关系： ,VW CBVW 。 假定 ， :,VW CBVW sVW ，则 , s vw svw 并且 cb s s 。 对于任意的元素 ，就存在相应的SVW ,STCBVW 。由文[6]中的命题 1知，存在一个网 ，使得 , n TCBVW 2 ncb cb TT和 lim n nTv 0Tv ，对所有 vV 。从而 n T就决定了一个网 ，另外 n SVW 22 nn cb cb STTS 。 又因为 lim 0 n nTv Tv，则 ,, n n Tv wTv w Sv wSvw 0 ， 对任意的都成立。即 弱*收敛到 。 ,vVwW n S S 3. 致谢 本文的写作过程中我们得到了Ruan 教授的支持和鼓励。另外Ruan 教授在讨论班中给予了我们许多无私帮 助并提出了一些宝贵的意见，在此由衷的表示感谢。 参考文献 (References) [1] Z. 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Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1993, 1993(422): 111-148. [9] E. G. Effros, Z. J. Ruan. Operator spaces. London: Mathematical Society Monographs, New Series 23; New Yo r k : T h e C l ar e non Press; Oxford: Oxford University Press, 2000. [10] E. G. Effros, Z.-J. Ruan. A new approach to operator space. Canadian Mathematical Bulletin, 1991, 34(3): 329-337. [11] G. J. Murphy. C*-algebras and operator theory. Waltham: Academic Press, 1990. |