Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 181-187 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33027 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) An Overview of Recent Developments and Applications of the GMRES Method Xia o fei Ma School of Applied Sciences, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan Email: xiaofeimajy2009@163.com Received: Feb. 21st, 2013; revised: Mar. 5th, 2013; accepted: Mar. 17th, 2013 Copyright © 2013 Xiaofei Ma. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: The generalized minimum residual method (GMRES) is widely applied in the scientific and engi- neering computations due to its general merit of fast convergence. This paper presents a summary introduc- tion of the GMRES method for its historical development and practical applications, with an emphasis on its recent status. We start with a summary on the origin of the method, followed by some notable variants, to- gether with some recent developments. Then, we introduce some recent applications of the GMRES method in various research fields, pointing out its connection to and impact on these fields. Finally, we provide an outlook on the further development and applications of the GMRES method. Keywords: GMRES; Historical Development; Practical Application 广义最小残量法研究与应用近况综述 马晓飞 太原科技大学应用科学学院,太原 Email: xiaofeimajy2009@163.com 收稿日期:2013 年2月21日;修回日期:2013 年3月5日;录用日期:2013 年3月17日 摘 要:用于求解大型非对称线性方程组的广义最小残量法(GMRES)以其迭代速度快的优点广泛应用 于科学工程计算。本文就 GMRES 算法的研究近况,分别对其历史发展和实际应用进行概括性的介绍。 先从纵向概括了该算法的起源,并介绍了该算法发展过程中有突出影响的变形算法以及近期发展情况, 再从横向阐述了近年内它在各领域的应用、与各领域之间的联系和对各领域产生的影响。最后对 GMRES 算法的进一步发展及应用作出展望。 关键词:GMRES;历史发展;实际应用 1. 引言 Paige 和Saunders 于1975 年提出了求解不定对称线性方程组的 MINRES 算法,其思想是利用共轭梯度法与 Lanczos 方法的联系[1]。受到该算法的启发,并注意到Arnoldi 的工作,Saad 和Schultz 于1986 年提出了求解非 对称线性方程组的广义最小残量法(generalized minimal residual algorithm),简称GMRES 算法[2]。GMRES 算法 在数学上等价于 ORTHODIR算法和广义共轭余量算法(GCR)。ORTHODIR 算法是 Young 和Jea 在1980 年共同 提出的,随后,Eisenstat 等在 1983 年提出了GCR 算法[3,4]。这两种算法在当时得到了一定发展。然而,当系数 矩阵为非正实数矩阵时,GCR算法就有可能失效,ORTHODIR 算法的数值稳定性也可能降低,而GMRES 算法 只占用这些方法存储空间的一半,也比它们更简单。因此,GMRES 算法的产生就显得尤为引人注目。GMRES Copyright © 2013 Hanspub 181 马晓飞 广义最小残量法研究与应用近况综述 算法的标准实现包含 Arnoldi正交化和QR 分解两个主要过程:Arnoldi 正交化生成 Krylov 子空间的标准正交基, QR 分解用来求解上 Hessenberg 矩阵的最小平方问题来实现对余量的最小化。为了节约内存空间、减少计算量, Saad 和Schultz 提出了循环 GMRES 算法,即 GMRES(m),其中 m为小于矩阵阶数的重启参数。近年来经过许 多作者的努力,广义最小残量法得到了很大的完善,已经成为求解大型非对称线性方程组的一种主要迭代方法。 目前,广义最小残量法本身也已成为一个比较独立的研究领域,同时这一算法也被人们广泛应用于科学工程计 算等诸多领域。 2. GMRES算法原理介绍 考虑线性方程组 x b A, (2.1) 其中 nn R A 为一非奇异矩阵, 为一列向量。设 n bR0 x 是初始迭代向量, 0 rb x 0 A是初始余量,则由 A 和 产生的 Krylov 子空间为 0 r 1 000 ,,,, k kk 0 K Krspan rrr AAA。 取初始向量 100 vrr,由 Arnoldi 过程进行 k步迭代可得 k K 的标准正交基 12 ,,, k Vvv vk 。由正交化过 程易知: T 11,kkkkkkk A VVHvhe , (2.2) 其中, 11121, 11, 21222, 12, 323, 13, ,1 , 0 000 kk kk kk kk k kk kk hhh h hhh h hhh H R hh 是上 Hessenberg 矩阵, T0, 0,,1k k eR,则(2.2)式等价于 1kkk A VVH , 其中 T 1, k kkkk H Hhe 0kk 。又及,GMRES 算法规定迭代解的形式为 x xzkk zK,其中 满足最小二乘条件: 00 min k zK r k kk rbAxrAzAz , (2.3) 而且(2.3)式等价于。令 ,其中 kk rAKk zVyk y R,则(2.3)式右端可表示为 011 0101kk kk J yrvAVy VreHyreHy 。 (2.4) 若记 0 r ,则(2.4)式变形为 1k J yeH y k , (2.5) 利用 QR 分解求解(2.5)式的极小值即可得 。从而获得迭代解: k y 0kk x xVy 。 需要说明的是,在实际计算时,迭代循环往往采用渐进的方式执行 Arnoldi 迭代和 QR 分解;这样做的巧妙 之处是可以不必明显计算 k x 而能获得余量范数的值: k g ;参见文献[2]。图 1给出了 GMRES 算法的流程图。 Copyright © 2013 Hanspub 182 马晓飞 广义最小残量法研究与应用近况综述 否 开始 输入:A,x 0 ,b,ε. r 0 :=b-Ax 0 ; v 1 =r 0 /||r 0 ||; β=||r 0 ||; k=1. |g k | ≤ ε? 是 计算: kkk x Vy . 输出: , kk x g . 结束 Arnoldi 迭代: , kk VH ; (k = k + 1) QR 分解求解 Figure 1. Flow chart of GMRES 图1. GMRES算法流程图 3. GMRES算法的发展及研究近况 1994 年,Walker 对GMRES 算法做出一些改变,提出了 Simpler GMRES算法,简称 SGMRES 算法[5]。SGMRES 算法的优点在于正交化后不需要利用QR 分解来求解最小平方问题,这样就大大减少了计算量,使计算效率得 到提高;其缺点在于利用SGMRES 算法在某些计算过程中有可能出现停滞现象,收敛性随之降低。与此同时, Vorst 和Vuik也对GMRES 算法进行了改变,提出了GMRESR 算法,这种算法在CPU 运行时间和内存占用空 间方面都有相当大的优势[6]。1998 年,Essai提出 Weighted GMRES算法,简称 WGMRES算法[7]。WGMRES Copyright © 2013 Hanspub 183 马晓飞 广义最小残量法研究与应用近况综述 算法具有良好的收敛性,但却增加了计算量。也有学者对 SGMRES 算法和 WGMRES 算法进行了总结,提出了 Weighted Simpler GMRES 算法,简称 WSGMRES 算法[8]。带特征向量增强的 GMRES 算法是解决非对称线性方 程组的一种有效方法,尤其当方程组有几个小的特征值时,但是在实际中很难选择适当的特征值数目,这样就 会使收敛减慢,精度也随之降低。2001 年,Zhou 和Zhao 提出了一种改进的利用特征向量的 GMRES 算法[9]。 该算法通过有序地增加特征向量,也可能联合某些准则,来适应性地决定特征向量的合适数目,结果使得计算 精度更高,迭代次数更小, CPU 运行时间更少。2003 年,Ayachour 对标准 GMRES 算法作了修改,提出了 GMRES 算法的一个快速实现[10]。它不需要进行 Givens 旋转变换,大大提高了计算工作量,节约了内存空间。在此基础 上,2008 年,伊朗学者 Najafi 和Zareamoghaddam也提出了一种新型计算的 GMRES 算法[11]。在这个算法里, 先定义一个新的数量积运算,再用加权 Arnoldi 正交化代替原来的Arnoldi 过程,最后利用 Ayachourt 的方法来 处理最小平方问题。实验结果表明,这种算法的收敛速度更快,计算精度更高。 对GMRES 算法而言,当矩阵规模较大时,每一次迭代所需的内存空间和计算量都会增大。典型地,“重 启”可以克服这一困难。即先执行 m次GMRES 迭代,把由此产生的近似解作为初始值以开始下一个 m次迭代, 这个过程循环往复,直到余量范数足够小为止。这个过程即为重启 GMRES或循环GMRES,亦即 GMRES(m)。 连续重启一组 m次迭代的过程看作一个循环,m就称为重启参数。一般情况下,假设 m的取值越大,收敛所需 要的迭代次数就越少,因为一个大的 m值会改善 GMRES 余量多项式,余量范数随之减小。因此,在某种程度 上,一个足够大的 m能够减少 GMRES(m)加速收敛的障碍。但是,当 m过大时,GMRES(m)就不能达到减少计 算量和节约内存空间的目的。此外,在一些问题中,一个较小的 m值反而比较大的 m值更好[12,13]。这个意想不 到的结果更凸显出选择一个合适 m的实际难度。基于如何选取合适的 GMRES(m)重启参数,Baker 等于 2009 年 通过大量的实验和理论分析,提出了解决这一问题的一个简单策略[14]。该策略分别指定最小的和最大的重启参 数 和,使得每一循环的重启参数 介于二者之间,即 min mmax mi mmin maxi mmm ,代表第 次循环的重启参数。 这一策略的主要贡献在于简化了修改重启参数的方法,对一类问题的实验结果也显示出其有效性。 i m i 现在,GMRES 算法及其相关算法的研究越来越多,人们对它的数学要求也越来越高,特别是在循环 GMRES 算法的收敛行为方面作了更多的探索。2008 年,Vecharynski 和Langou 证明了在正规矩阵上应用循环 GMRES 算法,其循环–收敛性是亚线性的[15]。这意味着当前 GMRES(m)循环所得余量范数的减少幅度没有前一次循环 余量范数的减少幅度大。2009年,Vecharynski 和Langou 二人再次证明,对于循环GMRES 算法来说,存在任 意递减的循环收敛曲线[16] 。他们给定一个 n阶矩阵,一个重启参数 m mn ,一个递减的正序列 01ff fq 0 ,其 中qnm,通过理论证明和实验,表明存在一个 nn 矩阵 A 和一个向量 ,使 得 0 r ,1,, k rfkk q,其中为重启参数为m的GMRES(m)某一循环k次迭代后的余量,该过程应用于线 性方程组 k r x bA,初始余量 。此外,矩阵 0 rb 0 xA A 的特征值可以是任意的,作者同样构造了停滞的任意情 形,即,对任意 i,当 q 1fi01f f0fi时,证明重启参数是可以固定的或者是可变的。 这也表明特征值不能单独决定GMRES(m)的收敛行为。 2011 年,在正则张量近似理论的研究中,为了加速交替最小二乘优化方法的收敛性,Sterck 提出了非线性 GMRES 优化的最速下降法[17]。该方法通过先前线性重组所得,利用非线性的 GMRES步骤进行迭代,近似地 最小化余量。 R-线性 GMRES 算法是解决形如 ## ,, , nn n zMzCM C bC 的一种大型实线性方程组的固有 理论,它的性质还不是很清楚。假设# M 可共轭对角化,为了评估其收敛性,在平面内的一个多项式逼近问题就 应当加以考虑。因此, Huhtanen 和Peramaki 于2012 年提出了 R-线性正交多项式的 GMRES算法[18]。著名的 Howard Elman结果是利用给定矩阵及其逆矩阵的值域,给出最坏情形下GMRES 余量范数的一个界。2012 年,Liesen 和Tichy 在遇到一个 Otto Strnad 问题时,证明了这些界同样适用于理想GMRES 近似[19]。由此可见,有关 GMRES 算法的探索正在不断深入,并且已成为独立的研究领域。表 1从难易程度、简繁程度、收敛性、稳定性等方面, 就GMRES 算法发展过程中各个算法的优缺点进行概括。 Copyright © 2013 Hanspub 184 马晓飞 广义最小残量法研究与应用近况综述 Table 1. The advantage and disadvantage comparison of GMRES and modified GMRES 表1. GMRES及其改进算法优缺点对比 特点 算法 优点 缺点 GMRES[2] 收敛速度快,稳定性好。 计算量大,算法实现较为繁琐。 SGMRES[5] 算法比较简单,计算量小,计算效率高。 计算过程会出现停滞,收敛性一般, 稳定性较差。 GMRESR[6] 算法实现容易,CPU 运行时间较小, 占用较少的存储空间。 重启参数的选择有局限性。 WGMRES[7] 算法实现比较简单,收敛性较好。 计算量较大,实验过程复杂。 特征向量 GMRES[9] 计算精度较高,迭代次数较小, CPU 运行时间较少。 每一次迭代需要占用较大的存储空间。 快速 GMRES[10] 算法过程简单,计算工作量小,占用内存较少。 必须限制某些条件才能得到理想的结果。 新型 GMRES[11] 收敛速度更快,计算精度更高。 计算量较大。 可变参的循环 GMRES[14] 计算效率更高,收敛性较好。 预设参数较多,容易混淆。 4. GMRES算法的应用简况 GMRES 算法及理论提出后,经过人们不断的实践,对算法修改、变形,使其逐渐成熟起来,并迅速发展 成为一门技术,在国内外得到了广泛的应用。近几年内的发展尤为迅速,在数学界已具有完善的理论应用,同 时在工程界也得到了广泛的实践。 在GMRES 算法的基础上,Campagna 等为了解决由实型Laplace 变换所得到的线性方程组而提出了一种新 的数值计算方法,这种方法可以动态叙述 GMRES 迭代算法在计算方法方面所能达到的最大精度[20]。通过这种 方式,最小特征值给出了线性系统的条件数,因此在计算解决方案中就可得到最大精度。该算法是为了不需要 借助任何外在条件,使得问题仍然可以解决而设计的。与此同时,有关 GMRES算法加速收敛的问题也不断被 深化。例如,在解决微分代数方程的初始值问题时,基于光谱递延校正技术作为一个化简Picard 积分公式的预 处理条件,由此产生的预处理非线性系统问题就可以利用Newton-Krylov 理论得到解决,如 Newton-GMRES 算 法[21]。预处理的Newton-GMRES 算法被广泛应用于大型稀疏非线性方程组的有效求解。人们通过不断的尝试, 用一种自适应参数修改预处理条件,使得 Newton 迭代法每一步的最佳参数能够计算,并且通过数值实验证明该 处理能使得 Newton-GMRES 算法更有效[22]。不严格的 Newton 回溯法(INB)也是求解大型稀疏非线性方程组的一 个有力工具,特别当 GMRES 算法用于 Newton 方程组的求解时,Newton-GMRES 回溯法就可以得到。在此基 础上,又有学者提出了全局收敛的Newton-GMRES 算法,称为准共轭梯度 Newton-GMRES 回溯法,这种方法 对于大型稀疏非线性方程组的求解也更强大。GMRES算法也被用于解决近海水域中的控制方程问题,还有利 用Newton-GMRES 算法求解光学中的辐射传输方程和计算流体动力学中的 Euler方程等[23-26]。 GMRES 算法还可用于求解诸如最优控制、滤波估计、去耦、降阶等控制理论中的微分Riccati 方程[27]。在 大特征值问题和边值问题中会出现多元线性系统,线性控制、滤波理论、图像修复等方面包含了著名的 Lyapunov 矩阵方程、Sylvester 矩阵方程和 Stein 矩阵方程,这些方程同样是典型的多元线性系统问题,全局GMRES 算法 正好为这些问题的解决提 供了一个很好的工具, 不同的数值实验更显示 出该方法收敛行为方面 的优势[28,29]。 GMRES 算法还用于求解 Toeplitz 方程、Helmholtz 方程和Navier-Stokes方程等,预处理 GMRES 并行算法也得 到了很好的应用[30-33]。在太阳物理的研究中,我国科学家颜毅华于1995 年首次推导出太阳常 alpha 无力场的边 界积分表示,并用边界元方法实现了数值求解[34];Li 等人 2007 年对颜毅华的算法进行了改进,他们引入GMRES 算法来解决边界元方程组;由此,对 10,000 阶以上的矩阵,用 GMRES 算法使得计算效率提高了1000~9000 倍 [35]。 Copyright © 2013 Hanspub 185 马晓飞 广义最小残量法研究与应用近况综述 2011 年,柳有权等人提出来大规模稀疏线性方程组的 GMRES-GPU 快速求解算法[36]。该算法基于循环 GMRES 算法收敛速度快、稳定性好等优势,利用CUDA在GPU 上实现并行算法,主要针对于稀疏矩阵矢量乘 法运算。该算法在 GMRES算法CUDA 优化实现过程中,先后通过稀疏矩阵与矢量乘积运算、矢量内积与范数 运算、稠密矩阵与矢量乘积运算、矢量加减和矢量乘标量、最小二乘求解等过程,实现了整体优化的效果。实 验结果表明,对于大规模集成数据,在 GPU 上的运行结果比 Intel Core 2 Quad CPU Q9400@2.66 GHz 快了平均 40 余倍,而比Intel Core i7 CPU 920@2.67 GHz 也快了20 余倍。这一求解算法可以在流体仿真和变形计算的计 算机动画应用中来研究,它将会在工程应用中发挥巨大的作用。表 2给出了 GMRES 算法在工程界的具体应用 情况。 Table 2. The engineering application of GMRES 表2. GMRES算法的工程应用 应用背景 数学问题 傅里叶级数法的正规化[20] 实型Laplace 变换的线性方程组 光谱延迟修正技术[21] 微分代数方程的初始值问题 控制、光辐射和流体力学[23-26] 近海水域控制方程、光学辐射传输方程、计算流体力学Euler 方程 控制理论[27] 微分Riccati 方程 大型奇异值问题[28] 广义希尔维斯特矩阵方程 太阳物理研究[35] 太阳线性无力场边界积分方程 5. 总结和展望 GMRES 算法的不断完善,已发展成为一个专门的研究领域,成为线性代数与计算方面处理方程组问题的 一种普遍方法,是解决工程实际相关问题的一个有力的工具。在实际的应用中我们发现,GMRES 算法及其相 关算法在某些问题的解决上还存在一定的局限性,如收敛速度缓慢、运算量过大、存储空间过高等,这些都是 我们需要进一步研究的问题。针对不同的工程领域,GMRES 算法的相关探索仍显得尤为重要。另外,GMRES 算法理论还需要系统化,也需要很好的传播,这都将为这一算法的发展带来新的机遇。 6. 致谢 感谢李毅伟副教授和李俊林教授的指导和帮助。 参考文献 (References) [1] C. C. Paige, M. A. Saunders. Solution of sparse indefinite systems of linear equations. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1975, 12(4): 617-629. [2] Y. Saad, M. H. Schultz. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1986, 7(3): 856-869. [3] D. M. Young, K. C. Jea. 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