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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 188-194
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33028 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
Generalized
′
ϕ
ϕ
-Expansion Method and the Traveling
Wave Solutions of the STO Equation
Yuanyua n Han, Desheng Li, Ting Huang
School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang
Email: yuanyuan010529@163.com
Received: Feb. 21st, 2013; revised: Mar. 7th, 2013; accepted: Mar. 19th, 2013
Copyright © 2013 Yuanyuan Han et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which
permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract: This paper is about to discuss the method which is based on the generalized
ϕ
ϕ
′
-expansion method,
and explain how to d etermine
ϕ
by the equation itself without considering the auxiliary equation to make
sure the solutions of the equation. This paper discusses the Shar ma -Tasso-O lver (STO) equation and obtains
the traveling wave solutions and trigonometric function solutions of the STO equation.
Keywords: Generalized
ϕ
ϕ
′
-Expansion Method; Traveling Wave Solution; Trigonometric Functions Solution
扩展的
′
ϕ
ϕ
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
韩园媛，李德生，黄 婷
沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳
Email: yuanyuan010529@163.com
收稿日期：2013 年2月21 日；修回日期：2013年3月7日；录用日期：2013 年3月19 日
摘 要：本文在原有扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法基础之上，不考虑
ϕ
满足的辅助方程，只利用方程本身来确定
ϕ
，
进而确定方程的解。文章讨论求解了 Sharma-Tasso-Olver (ST O)方程，获得了 STO 方程的行波解和三角
函数解。
关键词：扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法；行波解；三角函数解
1. 引言
由于非线性偏微分方程的解对于解释物理学、生物学等领域出现的各种现象具有积极的意义，因此非线性
偏微分方程的求解受到了大家的广泛关注，求解方法也层出不穷，如 Darboux 变换[1]、Bäcklund 变换 法[2-4]、辅
助方程法[5]、Hirota 双线性方法[6]、对称法 [7]等。
Copyright © 2013 Hanspub
188
韩园媛 等 | 扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
王明亮等人于 2008年在文献[8]中提出了
G
G
′
(即本文所说的
ϕ
ϕ
′
)-展开法，大量的文章利用这一方法求解非线
性偏微分方程，并对其进行了推广[9-15]。最近，文献[16]的作者对这一方法进行了另一种推广，但是仍然借助了
辅助方程，本文在此基础上，去掉辅助方程这一条件，只利用方程本身进行求解，并利用该方法讨论研究了 STO
方程，获得了该方程的精确解。
本文分为四个部分，第一部分 为引 言；第二部分 详细描述 了扩 展的
ϕ
ϕ
′
-展开法的步骤；第三部利用这 一 方
法讨论研究了 STO 方程，获得了该方程的行波解和三角函数解；第四部分阐述文章的结论。
2. 扩展的
′
ϕ
ϕ
-展开法
利用扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法求解非线性偏微分方程分为以下几个步骤：
1) 通过平衡方程的最高阶非线性项和最高阶导数项，确定正整数
n
；
2) 假设方程具有如下形式的解
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
112 2112 2
0
1112 2112 2
,0
ij ij
n
ij ij
ki jki jk
uA AA
ϕξ ϕξϕξ ϕξ
ϕξ ϕξϕξ ϕξ
= +=+=
′′ ′′
  
=+≠
  
  
  
∑∑ ∑， (1 )
其中
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2 222
kx ct l
ξ
= ++
，
( )
( )
( )
11 11
11 1
d
d
ϕξ ϕξ
ϕξ ξ
′=
，
()
()
( )
22 22
22 2
d
d
ϕξ ϕξ
ϕξ ξ
′=
，
012 1 212
,,,, ,,,
ij
A Akk ccll
为任意常数。将(1)式代入方程中，由于
12
ij
ϕϕ
−−
()
0,1,2,;0,1,2,ij
= =
是线性无关的，因
此令
12
ij
ϕϕ
−−
的系数等于零，得到关于
( )()
01122
,,,
ij
AA
ϕξ ϕξ
的常微分方程组；
3) 求解前一步获得的常微分方程组，确定
( )()
0112 2
,, ,
ij
AA
ϕξ ϕξ
；
4) 利用前一步的结果以及(1)式，即可得到方程的精确解。
3. 扩展的
′
ϕ
ϕ
-展开法对 STO 方程的应用
考虑 Shar ma-Tasso-Olve r(STO)方程
( )
22
3
30
2
t xxxx
xx
u uuuu
ααα
+ ++=
， (2)
其中
α
是任意实常数。
平衡方程(2)的最高阶非线性项与最高阶导数项可得
1n=
，因此设方程(2)具有如下形式的解
( )
( )
( )
( )
112 2
01 2
112 2
uA AA
ϕξ ϕξ
ϕξ ϕξ
′′
=++
， (3)
其中
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2 222
kx ct l
ξ
= ++
，
01212 1 212
,,,,, ,,,A AAkkccll
为任意常数，将(3)式代入方程(2)中 ，令
12
ij
ϕϕ
−−
的系数等于零，可以得到关于
012
,,AAA
以及
( )()
1122
,
ϕξ ϕξ
的常微分方程组，求解一部分方程并整理其余的方
程可得到下面的结果和方程
0
Aa=
，
11
Ak=
，
22
Ak=
，
2 23
11111111
33 0ca kakk
ϕαϕαϕαϕ
′′′′ ′′′
++ +=
， (4)
Copyright © 2013 Hanspub 189
韩园媛 等 | 扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
2 23
22222 222
33 0ca kakk
ϕαϕαϕαϕ
′′′′ ′′′
++ +=
， (5)
11212 212
20k ak
ϕϕϕϕ ϕϕ
′′′′ ′′ ′′
++=
， (6)
其中
a
为任意常数。
方程(4)的特征方程为
()
22 32
11 11
33 0ca kakk
λαα λαλ

+++=

，
记方程
( )
22 32
11 11
33 0ca kakk
ααλαλ
++ +=
的判别式和根分别为
224 3
11 11
34
a kck
αα
∆=− −
，
2
11
11 3
1
3
2
ak
k
α
λα
− +∆
=
，
2
11
12 3
1
3
2
ak
k
α
λα
− −∆
=
，
同理，对于方程(5)的特征方程中的判别式和特征根记为
224 3
22 22
34ak ck
αα
∆=− −
，
2
22
21 3
2
3
2
ak
k
α
λα
− +∆
=
，
2
22
22 3
2
3
2
ak
k
α
λα
− −∆
=
。
12
,∆∆
的符号决定了方程(4)和方程(5)的解的形式，进而决定了方程(2)的解的形式，按解的形式不同，可以
分为以下三种情况：
情况一
1
2
0,
0,
∆>

∆>

1) 显然
()( )
11 1
11 1
eM bt
λξ
ϕξ
= +
， (7)
()( )
21 2
22 2
eN bt
λξ
ϕξ
= +
， (8)
分别为方程(4)和方程(5)的解，其中
,MN
是任意常数，
()( )
12
,
bt bt
是
t
的任意函数。将其代入方程(6)
1 11221
20ak k
λλ
++ =
， (9)
事实上，(9)式为
1212
,, ,,,kk cc a
α
满足的方程，为了书写方便，我们用(9)式表示。将(7)、(8)式代入(3)式，并利用
(9)式，可得方程(2)的行波解
1 111122121
111 10220
tanh tanh
2222
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
 
= +++
 
 
， (10)
其中
( )
10
1
1ln
2
M
bt
ξ
=
，
( )
20
2
1ln
2
N
bt
ξ
=
，
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2 222
kx ct l
ξ
= ++
，
1212
,, ,,,kk cc a
α
满足(9)式。
2) 显然
()( )
11 1
11 1
eM bt
λξ
ϕξ
= +
， (11)
()( )
22 2
22 2
eN bt
λξ
ϕξ
= +
， (12)
Copyright © 2013 Hanspub
190
韩园媛 等 | 扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
分别为方程(4)和方程(5)的解，由(11)、(1 2)式可以得到方程(2)的行波解为
1 111122222
121 10220
tanh tanh
222 2
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
 
= +++
 
 
， (13)
其中
( )
10
1
1ln
2
M
bt
ξ
=
，
( )
20
2
1ln
2
N
bt
ξ
=
，
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2 222
kx ct l
ξ
= ++
，
1212
,, ,,,kk cc a
α
满足如下方程
1 11222
20ak k
λλ
++ =
(14 )
3) 显然
()( )
12 1
11 1
eM bt
λξ
ϕξ
= +
， (15)
()( )
22 1
22 2
eN bt
λξ
ϕξ
= +
， (16)
分别为方程(4)和方程(5)的解，由(15)、(1 6)式可以得到方程(2)的行波解为
1 121222222
131 10220
tanh tanh
2222
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
 
= +++
 
 
( 17)
其中
()
10
1
1ln
2
M
bt
ξ
=
，
()
20
2
1ln
2
N
bt
ξ
=
，
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2 222
kx ct l
ξ
= ++
，
1212
,, ,,,kk cc a
α
满足如下方程
1 12222
20akk
λλ
++ =
。 (18)
情况二
1
2
0,
0,
∆>

∆<

1) 显然
()( )
11 1
11 1
eM bt
λξ
ϕξ
= +
， (19)
( )( )
22
33
22
22
221222 2
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ϕξξ ξ
αα
−−
 
−∆ −∆
=++
 
 
 
， (2 0)
分别为方程(4)和方程(5)的解，其中
12
,,MN N
为任意常数，
( )( )
12
,bt bt
是
t
的任意函数，将其代入(6)式，并
考虑
224 3
22 22
34ak ck
αα
∆=− −
可得
2
22
3c ak
α
= −
， (21 )
将(19)~(21) 式代入(3 )式可得方程(2)的精确解
1 111 11112
211 102
2
tanh
22 2
kk
ua k
λλ λϕ
ξξ ϕ
′

=+++ +⋅


， (2 2)
其中
( )
10
1
1ln
2
M
bt
ξ
=
，
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2
2 222
3kxakt l
ξα
=−+
。
Copyright © 2013 Hanspub 191
韩园媛 等 | 扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
2) 显然
()( )
12 1
11 1
eM bt
λξ
ϕξ
= +
， (23)
( )()
22
33
22
22
221222 2
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ϕξξ ξ
αα
−−
 
−∆ −∆
=++
 
 
 
， (24)
分别为方程(4)和方程(5)的解，由(23)、(2 4)式可以得到方程(2)的解为
1 121 12122
221 102
2
tanh
22 2
kk
ua k
λλ λϕ
ξξ ϕ
′

=+++ +⋅


， (25)
其中
( )
10
1
1ln
2
M
bt
ξ
=
，
1 111
kx ct l
ξ
= ++
，
2
2 222
3kxakt l
ξα
=−+
。
情况三
1
2
0,
0,
∆<

∆<

显然
( )
11
11
33
11
22
1 11211
33
11
e cose sin
22
aa
kk
MM bt
kk
ξξ
ϕξ ξ
αα
−−
 
−∆ −∆
=++
 
 
 
， (26)
( )
22
22
33
22
22
212222
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ξξ
ϕξ ξ
αα
−−
 
−∆ −∆
=++
 
 
 
， (27)
分别为方程(4)和方程(5)的解，其中
1 212
, ,,MM NN
为任意常数，
( )( )
12
,bt b t
为
t
的任意函数，将其代入(6)式有
1112212 2
0AM NBM NCMNDMN−++− =
， (28 )
1112212 2
0BMNAMNDM NCM N−− ++=
， (29)
1112212 2
0CMNDMNAM NBM N−+− +=
， (30 )
11122122
0DM NCM NBMNAMN+++ =
， ( 31)
其中
212
24 24
12 12
36
8
a
Aa
kk kk
αα

∆∆
= ++


，
221
3 24
12 1
15
8
Ba
kk k
αα
−∆ 
∆
= +


，
122
3 24
12 2
15
8
Ca
kk k
αα
−∆ 
∆
= +


，
12
233
12
a
Dkk
α
∆∆
=
。
因此方程(2)的精确解为
12
312
12
u akk
ϕϕ
ϕϕ
′′
=+⋅+⋅
， (32)
其中
12
,
ϕϕ
分别为(26)、(27)式，
1212
,, ,,,kk cc a
α
，
1 212
, ,,MM NN
满足(28)~(31)式。
事实上，根据
12
,∆∆
的符号不同进行组合，一共有 9种情况，但是
1
2
0,
0,
∆>

∆=

1
2
0,
0,
∆>

∆=

1
2
0,
0,
∆=

∆>

以及
1
2
0,
0,
∆=

∆=

获
得的解的形式与情况一中解的形式相同，
1
2
0,
0,
∆<

∆>

1
2
0,
0,
∆=

∆<

以及
1
2
0,
0,
∆<

∆=

获得的解的形式与情况二中解的形式相
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ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
同，这里不再赘述。
4. 结论
实际上，解
11 1213
,,uuu
是方程(2)的双孤子解，由于 11 12
,
λλ
异号，
21 22
,
λλ
异号，使得表达式中t的系数不同，
即波速不同，所以
11 1213
,,uuu
是三个不同的双孤子解；同理，21 22
,uu
是两个不同的复合形式解，这种复合形式的
解由双曲正切函数和三角函数组成；
3
u
是包含多个任意参数的三角函数解。本文获得的解中都包含多个任意参
数，若将参数选为某特殊值，将会得到文献[16]中的部分解。
在解
11
u
中，选取
0a=
，
11
kF=
，
22
kF=
，
13
lF=
，
24
lF=
，
( )
32
111 1
4cF
αλ µ
=−−
，
( )
32
222 2
4cF
αλ µ
=−−
，
( )
1
10
12
1ln arctan
2
M
M
bt M
ξ
= =
，
( )
1
20
22
1ln arctan
2
N
N
btN
ξ
= =
， (33)
并利用(9)式，则(10 )式变为
2222
111 1122222
111 10220
44 44
tanh tanh
222 2
FF
u
λµ λµλµλµ
ξξ ξξ
 
−− −−
 
= +++
 
 
，
()()
22 22
111 122 2
11 3
43 4
4
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ

−+ −

=−+
，
1
10
2
arctan M
M
ξ
=
，
() ()
22 22
222 2111
22 4
43 4
4
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ

−+ −

=−+
，
1
20
2
arctan N
N
ξ
=
， (34)
(34)式即为文献[16]中的(13)式。
在解
3
u
中，选取
0a=
，
11
kF=
，
22
kF=
，
13
lF=
，
24
lF=
，
()
32
11 1
1
4
4
F
c
αλ µ
−
= −
，
( )
32
22 2
2
4
4
F
c
αλ µ
−
= −
，
交换
12
,MM
的位置，
12
,NN
的位置，并利用(28)~(31)式，则 (32) 式变为
( )
( )()
( )( )
( )
( )( )
( )
22
11 11
1121
2
1 11
322
11 11
1 121
22
22 22
122 2
2
2 22
2
22
1
44
cos sin
22
4
244
sin cos
22
44
cos sin
22
4
24
sin
MM
F
u
MM
NN
F
N
λµ λµ
ξξ
λµ
λµ λµ
ξξ
λµ λµ
ξξ
λµ
λµ

−− −−

−


−− 
=⋅ 
−− −−

+




−− −−

−


−− 
+⋅
−−
( )
2
22
22 2
4
cos
22
N
λµ
ξξ

−−

+



，
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韩园媛 等 | 扩展的
ϕ
ϕ
′
-展开法及 Sharma-Tasso-Olver 方程的行波解
()()
22 22
111 122 2
11 3
434
16
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ

−+ −

=−+
，
() ()
22 22
222 2111
22 4
43 4
16
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ

−+ −

=−+
， (35)
(35)式即为文献 [16]中的(14)式。
利用本文的方法可以获得很多非线性偏微分方程的双孤子解、三角函数解，且都是行波解，能否利用该方
法得到非行波解还是一个有待解决的问题，有兴趣的读者可以做进一步的研究。
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