 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 215-222 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33032 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Local and Global Higher Integrability of Weak Solutions to a Class of Obstacle Systems* Shuqing Zhou1,2, Zhenhua Hu3 1College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 2Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing, Hunan Normal University, Changsha 3Hunan City University, Yiyang Email: zhoushuqing87@163.com, 539880713@qq.com Received: Mar. 1st, 2013; revised: Mar. 17th, 2013; accepted: Apr. 5th, 2013 Copyright © 2013 Shuqing Zhou, Zhenhua Hu. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution Li- cense, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: This paper introduces ob stacle systems for a class of quasilinear elliptic partial d ifferential systems ,,,1,2 ii ii DAxuDfxuN ,,, and obtains the local and global higher integrability of weak solutions to the obstacle systems by constructing special test functions and using Inverse Hölder’s Inequality. The results generalize some known resu lts for obstacle problems 1N to obstacle systems . 1N Keywords: Local Integrability; Global Integrability; Obstacle Systems; Inverse Hölder’s Inequality 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性* 周树清 1,2，胡振华 3 1湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙 2高性能计算与随机信息处理省部共建教育部重点实验室，长沙 3湖南城市学院，益阳 Email: zhoushuqing87@163.com, 539880713@qq.com 收稿日期：2013 年3月1日；修回日期：2013 年3月17 日；录用日期：2013 年4月5日 摘 要：本文讨论了一类偏微分方程的障碍系统 ,, ii ii DAxuDfxu ，1, 2,,N ，通过构 造特殊的检验函数并利用逆 Hölder 不等式，得到了系统的弱解的局部和全局高阶可积性，从而把有关 障碍问题 的一些结果推广到障碍系统 1N 1N。 关键词：局部可积性；全局可积性；障碍系统；逆 Hölder 不等式 1. 引言 设 N R 是一个有界区域。我们考虑如下的椭圆系统： ,,,1, ii ii DAxuDfxuN 2,, (1) 这里， ,, , ii A xufxu 满足下文给出的条件。若记 ,,,, i , i A xuAxu fxufxu ，则方程(1.1) 变为 *本文得到国家自然科学基金(No.11271120)、湖南省自然科学基金(No.11JJ6005)和湖南省重点学科建设项目资助。 Copyright © 2013 Hanspub 215  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 ,DivAxuDivfx u , (2) 我们的目的是把障碍问题 的弱解的高阶可积性结果推广到障碍系统1N 1N。为此，我们首先定义 方程组(1)或(2)的障碍系统，然后讨论该障碍系统的弱解的高阶可积性。可积性是正则性研究的一个重要方面， 对强解的可积性已有很多研究，参见文[1]及其参考文献。 为了叙述方便起见，我们先给出一些记号。 设 , ii A aBb 是两个 矩阵，定义nNii A Bab ，这里和下文都使用重复指标表示求和的约定：这 里从1到求和，in 从1到 求和。 N 设 11 ,, ,,, NN f xfxfxgxgx gx是定义在区域 上的向量值函数，我们定义 f xgx 当且仅当 ,.. ,1 f xgxaex N ， 并且定义 11 max,max,, ,max, NN f xgxfxgxf xg x 以及 max,0 ,max,0xxx x 1, 1,pp 。 记WW 为通常的Sobolev 空间，并记 0 ,1p 1, 1, 1 ,,,, pN p N WRfxfxfxfxf xWN ,1， 1, 1, 010 ,,,, pN p N WRfxfxfxfxf xWN ,1， 1, 1, 1 ,,,, pN p locN loc WRfxfxfxfxf xWN ,1。 设0,r x Q 表示中心为 0 x ，且边长为 的柱体，rr Q 表示中心为 0 x ，且与 的边平行的柱体。记 r Q f 在 上的积分平均为 r Q 1 dd rr rQQ r f fx fx Q 。 设 1, ,,: p NN WR R ， 记 1, 1, ,0 ,,:,, p NpNpN KRuWRuWRuae ..in 我们考虑 , p K A -障碍系统弱解的高阶可积性。 定义：称函数 ,, p N uK R 是 , p K A -障碍系统的弱解是指 ,, dAxuf xuvux 0 N (3) 对所有 都成立，这里。 ,, p vK R T 1,N uu u 在 ， 以及1N0f A 满足齐次性条件时，李工宝和O. Martio[2,3]得到了 , p K A -障碍问题的弱解的高阶 可积性结果。障碍系统常常出现在控制理论、优化控制理论、非线性位势理论、变分不等式、燃烧理论以及 金融学等，参见文献[1,3-6]及其参考文献。 Copyright © 2013 Hanspub 216  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 我们的记号是标准的。 2. 主要结果 设 N R 是一个有界区域，1，并假设p:,: nN nNN nN A RRfRR 是Caratheodory 函数且 满足如下条件： (A) 对给定的 0 ，所有的 以及几乎处处 nN hRx ，有 1 ,,, pp A xh hhAxhhx ； (F) 对所有的 N tR以及几乎处处 ，有 x 1 ,p f xttmx ， 这里， , x mx 是 上的实函数。 对于 , p K A -障碍系统的弱解，我们有如下的结论： 定理 2.1：设 1, , ,,, s pN WspuKR 是 , p K A -障碍系统的弱解，这里 , A f满足假设条件 (A)与(F)，且 1 ,,1, pn xmx Lnp s 则存在仅依赖于 ,,,,,,nN ps 的常数 0 ，且满足 0 0 s p ，使得对 0 0, ，有 1, , p N loc uW R 。进一步，对任意 0 x 以及任意满足 的柱 体，有 2r Q r Q 22 11 1 dd rr pp pp d r s s QQ uuxCuux CHx Q (4) 这里， 11 11 ,,,,,,,, pp HDm CCnNpsdiam 。 为了讨论全局正则性，必须对边界加一些正则性的条件。 称区域边界是Poincaré 厚的是指，对任意满足 -p3 2 rC Q 的柱体 0 r Qr，如果 1, 2 pr uW Q且 在上有 ，则成立 2 \ nr RQ0u 22 1 d rr p n pn p n pn pp QQ uxCu dx (5) 这里常数不依赖于 。 0Cr Q 李工宝和 O. Martio[7]给出了在条件 1 n pn 下(5)式成立的一些例子。 对于 , p K A -障碍系统的弱解的全局正则性，我们有： 定理 2.2：设区域 的边界是 Poincaré 厚的， -p1 n pn ，且 1, ,s Ws p， ,, p N uK R 是 , p K A -障碍系统的弱解，这里 , A f满足假设条件(A)与(F)，其 中 1 ,,1 s pn xmx Lnp ,则存在 仅依赖于 ,,,,,,,nN ps 的常数 0 ，满足 0 0 s p ，使得对 0 0, ，有 1, , p N uW R ，且有 11 1 dd pp pp sd s uuxCuuxC Hx (6) 这里， 11 11 ,,,,,,,, pp HmCCnNps 。 Copyright © 2013 Hanspub 217  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 3. 引理与主要结论的证明 下面的引理出自[8,9]。 引理 3.1(逆Hölder 不等式)：设是一个 维柱体，Q -n, g G是两个定义在 上的非负函数。假设对任 意的 和 0 x 00 ,,x 1 in 2 rdistr d p 0m ，成立 0222 000 dd d rrxrx rx p pp QxQQQ g xb gxgxGx (7) 这里， 0 1,0,01br 为常数，则存在仅依赖于,,,npb 的常数 10,0c ，满足对任意 1 ,qpp ，有 ，而且，对任意 ，成立 loc q gL 020 , rr Qx Q x 0 ,0rr 00 20 1 11 rr rx p qq qp Qx QQx gdx cgdxGdx q (8) 定理 2.1 和定理2.2 的证明受到[10]的启发。下文中仅依赖于已知常数 0 ,,,,,,,nN psr 的常数用同一个字 母 表示。 C 定理 2.1 的证明：对给定的 ，记 表示中心为 0 x r Q0 x ，且满足 的柱体。设是标准 的截断函数，即 2r Q 02r CQ 01 ，并且在上,C r r Q1 。 令 2r wuu 2r ，记 vu ，则 p w N 。事实上，因为 ， pN R ,, p R 1, ,W vK 1, 02 ,, 1, 0 , , p N u p W R N r CQ uWR ，所以有 1, 0 ,, , 1, p N R vW pN RvW 。又因为在 上 几乎处处有 22 ,rr uu ，于是得到 22 11 ppp pp rr vu uu N ， (9) 于是 。由此得 ,, p vK R 1pp vuu pw ， 代入(3)式得， 1 ,, d pp Axuf xuupwx 0 (10) 由上式及假设条件(A)与(F)可得 22 222 22 2 22 22 11 1 11 1 11 1 1234 d,d dd d dd dd dd rr rrr rr r rr rr p pp QQ pp ppp QQQ p pp p QQ Q p pp QQ p pp QQ uxAxu ux uxxu x mxpuwxpw p uwxp mwx uux mux IIII 5678910 IIIIII dx (11) 利用 Hölder 不等式以及 Young 不等式得 22 1d 8rr p pp QQ d p I uxC x (12) 1 22 2d p p rr p pp QQ d I CxC x (13) Copyright © 2013 Hanspub 218  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 22 3d rr p pp QQ d p I CuxC x (14) 1 22 4d p p rr p pp QQ d I CmxC x (15) 22 22 5dd 8 dd 8 rr rr pp p QQ pp pp QQ p I uxC wx uxCr wx (16) 我们现在来估计 2d r p p Q rw xt：选取满足 max 1,np tp np ，由 的定义、Sobolev 不等式以及 Minikowski 不等式 w 22 22 dd dd rr rr p pt t pn QQ p p tt tt n QQ rwxCr wx Cru xx (17) 由(16)与(17)式得到 222 5dd 8rrr d p p pt t pn QQQ IuxCrux t t x (18) 由Hölder 不等式、Young 不等式以及(17)式得到 222 1 6dd rrr pp pt t pn p QQQ ICxCr uxx d t t (19) 222 7dd rrr pp pt t pn QQQ ICu xCruxx d t t (20) 222 1 8dd rrr d p p pt t pn p QQQ ICm xCruxx t t (21) 22 9d 8 rr p pp QQ d p I Cux u x (22) 1 22 10 d 8 p p rr p pp QQ d I Cmx u x (23) 由(11)~(15)式以及(18)~(23)式得 2222 22 11 dd d dd rrrr rr p pt p t pp QQQQ p pp tt ppp QQ uxCuxCu xCx CmxCx d p p (24) 现利用 Sobolev-Poincaré 不等式和 Hölder 不等式来估计 22 2 22 2 22 22 11 1 1 ddd dd dd rrr rr r rr ppp pp p rr QQ Q d p np ppt pp QQ Q p pt t QQ uxCuu xu x CruxuxC ux CruxCu x t (25) Copyright © 2013 Hanspub 219  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 由1 以及绝对连续性定理知，当 时，有0r 0r 。于是 22 222 11 11 dd dd rr rrr pp p pt pt tt pp QQ QQQ uxCux CruxCux Cmx d (26) 在上式两端加上 2d r p p Qu x并利用(25)得 222 11 11 dd d rr rr pp ppt tpp tpp QQ QQ uuxCuux CruuxCm dx (27) 令11 11 ,, tt t pp p guuH mGHk t , ，(27)式可改写为 222 dd d rrrr k kk QQQQ d k g xCgxgxC Gx (28) 这里，。取 使得当时，有 Cr 0 r0 0rr 01 0 。于是有引理 3.1 知，存在 ，使得对任意 ,,,s s p 00 0,nN p ,, 0 ，有 1, , p N loc uW R 。进一步，对任意 0 x 以及 任意满足的柱体，有 2r Q r Q 22 11 1 dd rr pp pp d r s s QQ uuxCuux CHx Q (29) 这里， 11 11 ,,,,,,,, pp HmCCnNp sdiam 。 定理 2.2 的证明：由于 是有界的，故可选取柱体 ，使得。对任意的， 分两种情况讨论：1) 0 02r QQ00 2r Q r Q0 22rr QQ 3 2 r Q；2) 3 2 C r Q 。 情况 1) 从定理 2.1的证明中我们得到： 222 11 11 d[ d]dd rr rr p p ppttpp tpp QQ QQ uu xCuuxCruu xCm x (30) 在上，令 2r Q11 11 ,,, 2\ r Q tt t pp p guuH mGHk t ，在 上，令， (30)式变为 0gHG 222 dd d rrrr k kk QQQQ d k g xCgxgxC Gx (31) 这里，当 时，有，0r 0Cr ,,,,,,,CCnNps diam 。 情况 2) 注意到若用 max , 代替 ，我们就可以假设 。事实上， ，又由于 ，得到 0, N u W 1, 0, p u R , pN WR 1, 0 ， 1, 0, p N RuW 。为书写方便 起见，我们把 写成 。设是如定理 2.1 的证明中的截断函数，令 02r CQ p vu u 。由于 1, 0, p N vW R ，且在 上几乎处处有 ,u ，从而 11 ppp p vu ，故 。 ,, pN vK R 因为 vu upu 1ppp ，代入(3)式，并利用假设条件(A)与(F)可得 1 11 111 11 11 1213 d,d ,,, d dd dd p p pp p pp pp ppp pp p uxAxu ux Axuf xupuf xuux uxumx umuxpuu xpumu III 14 15 II dx (32) Copyright © 2013 Hanspub 220  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 下面来估计以上各式： 1 11 dd 8 p p ppp pd p I uxC xCx (33) 1 12 dd p p ppp pd p I CuxCmxC x (34) 1 13 dd 8 p p pp p pd p I uxCmxCu x (35) 1 14 dd 4 p p pp pd p p I uxC xCux (36) 1 15 dd p p pp pd p p I CuxCmxCu x (37) 由(32)~(37)式得 11 dd d pp p ppp pp p ppp uxCuxC ux Cm d p x (38) 这里，常数 仅依赖于C,,,,,nNp 。现在来估计(38)式中的第一与第二项。类似于(25)式可得 222 ddd rrr d p ppp t pp QQQ uxCuxCruxC ux t (39) 这里， 满足tmax 1,np tp np 是取定的， r 满足当 时，有0r 0r 。 把函数u 零延拓到 上，注意到边界\ N R 是Poincaré 厚的，于是由 Minikowski 不等式以及 Sobolev 不等式可得 -p 2 2 2 22 22 2 dd d dd dd r r r rr rr pp p pnp Q np np np n np np n rQ np np n np Q np np np np nn np np QQ p pt t QQ uxCrux Cr Qux Cudx Cxu CxCux x (40) 由(32)~(40)式得 22 22 11 11 ddd dd rrr rr p ppt t QQQ pp ttpp QQ uxCruxC ux CuxC m x (41) 在上式两边同加上 d r p Qu x，并利用(39)式，得到 Copyright © 2013 Hanspub 221  周树清，胡振华 一类障碍系统弱解的局部与全局高阶可积性 Copyright © 2013 Hanspub 222 22 2 11 11 d dd d r rr r pp Q p tt pp t QQ p pp Q uux CuuxCruu Cmx x (42) 在上，令 2r Q11 11 ,,, 2\ r Q tt t pp p guuH mGHk t ，在 上，令， (41)式变为 0gHG 222 dd d rrrr k kk QQQQ d k g xCgxgxCGx (42) 这里，当 时，有，0r 0Cr ,,,,,,,CCnNps diam 。 由引理 3.1 、(31) 式、(42)式以及有限覆盖定理知，存在仅依赖于 ,,,,,,,nN ps 的常数0 ，且满足 0 0 s p ，使得对 0 0, ，有 1, , p N uW R ，且有 11 1 dd pp pp sd s uuxCuuxC Hx (6) 这里， 11 11 ,,,,,,,, pp HmCCnNps 。证明完毕。 参考文献 (References) [1] A. Scott. Integrability, encyclopedia of nonlinear science. Taylor & Francis, 2005. [2] 2G. Li, O. Martio. Local and global integrability of gradients in obstacle problems. Annales Academiae Scientiarum Fennicae Series A: Mathematica, 1994, 19(1): 25-34. [3] 3E. N. Barron, R. Jensen. Minimizing the L norm of the gradient with an energy constraint. Communications in Partial Differential Equations, 2005, 30(12): 1741-1772. [4] J. W. Cahn, C. A. Handwerker and J. E. Taylor. Geometric models of crystal growth. Acta Metallurgica, 1992, 40(7): 1443-1474. [5] J. Heinonen, T. Kilpelainen and O. Martio. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. New York: Clarendon Press, 1993. [6] M. Kubo, N. Yamazaki. Periodic solutions of elliptic-parabolic variational inequalities with time-dependent constraints. Journal of Evolution Equations, 2006, 6(1): 71-93. [7] G. Li, O. Martio. Stability of solutions of varying degenerate elliptic equations. Indiana Mathematics Journal, 1998, 47(3): 873-891. [8] M. Giaquinta, G. Modica. Regularity results for some classes of higher order nonlinear elliptic systems. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1979, 311-312: 145-169. [9] T. Iwaniec. The Gehring lemma. In: P. L. Duren, et al., Eds., Quasiconformal mappings and analysis: A collection of papers honoring Freder- ick W. Gehring on his 70th birthday. Ann Arbor: Proceedings of the International Symposium, August 1995, Berlin: Springer-Verlag, 1998: 181-204. [10] G. Li, O. Martio. Stability and higher integrability of derivatives of solutions in double obstacle problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2002, 272(1): 19-29. |