Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 65-73 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.22009 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) Epidemic Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination and Non-Monotonic Incidence Rate Fengling Hong, Xia Wang, Weiping Yan School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan Email: hongfl666@163.com Received Apr. 8th, 2013; revised Apr. 20th, 2013; accepted Apr. 30th, 2013 Copyright © 2013 Fengling Hong et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted us e, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, we investigate an SIRS epidemic model with vertical transmission and pulse vaccina- tion and non-monotonic incidence rate. First, we obtain the condition for which the disease-free periodic solu- tion of the epidemic model is globally asymptotically stable when 01R and 1bp 0 by Floquet theorem, impulsive comparison theorem and iteration method. Second, permanence of this system is pre- sented by comparison theorem. Keywords: SIRS Epidemic Model; Non-Monotone Incidence Rate; Impulsive Vaccination; Vertical Transmission; Globally Asymptotically Stable 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 洪凤玲,王 霞,闫卫平 山西大学数学科学学院,太原 Email: hongfl666@163.com 收稿日期:2013 年4月8日;修回日期:2013 年4月20 日;录用日期:2013 年4月30 日 摘 要:本文介绍了一类垂直传染带脉冲免疫以及非单调发病率的 SIRS 传染病模型,首先利用Floquet 定理,脉冲比较定理以及迭代法给出了无病周期解的全局渐近稳定的条件,得出当 且 01R 1bp 0 时,无病平衡点是全局渐近稳定的结论。其次通过使用比较定理,证明了系统持续的充 分条件。 关键词:SIRS 型传染病模型;非单调发病率;脉冲免疫;垂直传染;全局渐近稳定 1. 引言 传染病动力系统的研究已经有很长的历史,许多数学模型在疾病防预和控制方面起着重要作用。几年前, 大部分学者在发病率上考虑传染病对人类的影响[1-4]。近来,许多学者开始在脉冲免疫传染病方面给出多个模型 [5-10]。例如[10]研究了一类带脉冲免疫以及非单调发病率的 SIRS 传染病模型,给出了无病周期解全局吸引以及 系统持续的充分条件。本文在前人的基础上,综合全局渐近稳定性以及系统的持续性的证明方法,给出了如下 带垂直传染、脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型: Copyright © 2013 Hanspub 65 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 2 2 e1 1 e 1 1 d d StIt StbdSt bpItRt It StIt I tdI tbpIttnT It RtItdRt St St ItItt nT RtRt St (1) 其中分别为易感人群数,已感人群数和恢复人群数, 分别为出生率和自然死亡率, ,,St It Rt,bd 为比例 常量, 为已感人群的自然恢复率, 是恢复人群失去免疫力又重新变成易感人群的比例, 是衡量传染效果 的参数, 为疾病的时滞周期, 为垂直传染率,θ为疫苗免疫率。为简化模型,引入 ,则 。故(1)可简化为 p StR A It t Rt A StIt 2 2 e1 1 e 1 1 d d StIt Stb AdStbpIt It tnT StIt Itd bpIt It St St tnT It It (2) 考虑生态因素,设初值 2 ,,0CR ,, 00,00, 00 A ,其中 212 1212 ,0,0,RuuuuuuA , 则模型(2)在集合 ,0 ,,SISIAS IA 中是正向不变集。 本文组织如下:第二节中利用 Floquet 定理,脉冲比较定理以及迭代法给出了无病周期解的全局渐近稳定的 条件,得出当 且时,无病平衡点是全局渐近稳定的结论。第三节中通过使用比较定理,证 明了系统持续的充分条件。 01R 1bp 0 2. 无病解的渐近行为 引理 2.1[9] 假设 , x tStIt是(2)的带正初值的一个解, 00,0SI 0,则 有。进 一步,若 ,则 0, 0xt t 00SI ,00 0, 0 x tt 。 下面研究(2)的无病子系统,此时 ,则有 0It ,, 1,. StbAdSt tnT StSttnT (3) 对此子系统,有如下引理: 引理 2.2 系统(3)存在一个正 周期解 -T e 1e, e1 dT dtnT dT bA StnT tnT d 1 Copyright © 2013 Hanspub 66 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 证明:由(3)的第一个方程 StdStb A ,从 积分得 nT t e, dtnT nT bA bA StSnT tnT dd 1 其中 表示脉冲之后的易感人群的数目。 nT S-nth 由(3)的第二个方程可得: 11e dT nT nT bA bA SS dd 记不动点为 ,则 S 1e dT bA bA SS dd 解得 1e e1 dT dT bA d S 1 。 将 代回到前面中,替代,有 S St nT S e 1e, e1 dT dtnT dT bA 1 s tn d TtnT 故系统(3)存在一个正周期解。证毕。 -T 引理 2.3[7] 考虑方程 12 x taxtaxt ,其中 12 ,, 0aa ,当 0t 时, ,则有:1) 若 ,则 ;2) 若 ,则 0xt 1 aa2 lim 0 txt 12 aa lim txt 。 对于给定初值 的解,定义 00,0SI0 0 ee 11 e1 ddT dT dT bA Rdbpd bAT e 定理 1 若 ,则系统(2)的无病周期解 01R ,0St 是局部渐近稳定的。若 ,则是不稳定的。 是临界值。 01R ,0St 01R 证明:令 , x tStStytIt 则系统(2)可变为如下等价系统: 2 2 ee 1 1 ee 1 1 dd dd xt ytSt yt xtdxt bpyt yt tnT xt ytSt yt ytdbp yt yt xt xt tnT yt yt (4) 系统(2)的无病周期解 等价于(4)的零解,(4 )在零点处的线性系统为 ,0St ee1 ee 1 d d xtdxtStb pyt tnT ytStdbp yt xt xt tnT yt yt (5) Copyright © 2013 Hanspub 67 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 定义 ee1 0ee d d dStbp At Std bp 10 01 Bt , ,则(5)的单值矩阵为 0 0 0 d ee dee d e1e 10 e01 0e0 e T T T d d dT dT At t StdbptStdbpt MT Bt 因为不需要后面的分析,故无需计算项 的精确值。 M T有两个实特征值 11e dT 1 , 0 ee 2e TdStdbpt d 。故由 Floquet 定理,若 21 ,则系统(2)的无病周期解 ,0St 是局部渐近稳定的, 即,等价于 R 0 ee T dSt d dbp t 0 01 。若 ,则 01R ,0St 是不稳定的。 定理 2 若 ,且 01R 1bp 0 ,则系统(2)的无病周期解 ,0St 是全局渐近稳定的,即 。 lim St Stt ,lim tt I 0 证明:由条件 可知,存在足够小的 01R10 ,使得 1 0 1de T d db St t T p ,则由(2)的第一个方程 有 Stb ASt d 。 考虑脉冲比较系统 , 1, x tbAd xttn xtxt tnT T nT t (6) 对脉冲比较系统(6)的第一个方程从 积分,得解 edtnT bA bA xt xnT dd 。 由(6)的第二个方程,有 11 e dT bA bA xn TxnT dd (7) 方程(7)有唯一的正不动点 1e e1 dT dT bA x d 1 。 方程(7)可改写为如下形式: 1nT nT x ggx ,其中 11e,1e dT dT bA gg d 。 由迭代法,可得: 2 11 21 0 1100 1 1 1,00 1 nT nTnT nT nn n n xggxggggx gggx ggg ggx g ggxxx g 1 由0g1可知, 1 11e1e 1 lim 111 ee1 dT dT nT dT dT n bA bA gd x x gd 即 x 是全局渐近稳定的。因此,系统(7)的周期解 Copyright © 2013 Hanspub 68 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 ee e1e, e1 e1 dT dT dtnT dtnT dT dT bA bAbA1 x tnT TnT dd d 是全局渐近稳定的。 假设 x t SS 是满足初值条件 系统(6)的任意解,由脉冲微分方程比较定理可知,对(2)的满足初值 条件 的一个解 00xx 00 0 000 0,xII ,St It 一定存在一个非负整数,使得 ,即 1 m St t ,1xnT tn 11 ,TnTmT 11 ,1,nTtnTmT St St nT 。 由(2)的第二个方程可得: 11 e, d I tStItdbpIttnT mT 考虑脉冲比较系统 1 e, ,. d ytStytdbpyt tnT ytyttnT , (8) 由 易知 01R 1 edStd bp ,故由引理 2.3 可知 lim 0 tyt 。假设 是(2)的一个解, 满足初值,由脉冲微分方程比较定理,有 。又 ,因此 。 ,St It p limsu tt It 000 00, 00II y m 0It SS li t limsup 0yt It0 故对 20 ,必存在一个非负整数,使得 2 mm1 221 , I ttmTm T。 由(2)的第一个方程有 2222 2 e1e e1 d d d StbAStdSt bpbAAdSt bp bAAbpdSt 1 当 ,考虑如下比较系统 2 tmT 2 e1 , 1, d ztbAAbpdzttnT ztmzt tnT (9) 方法同系统(6),易知系统(9)有一个全局渐近稳定的周期解 2 e1 ee 1e1 ddTd tnT dT bAAb pm zt dm 假设 是(9)的一个解满足初值 ,则对(2)的任意解 zt 00zz 0 ,St It,满足初值 000 00,0SSz II 0 1 ,必存在一个非负整数 ,使得 32 mmm 23 ,1,StztnTtnTnTm T 故对任意的 1 和2 , e 1e, e1 dT dtnT dT bA S tnTtnT d 1 是全局吸引的,因此系统(2)的无病周期解 是全局渐近稳定的。 ,0St Copyright © 2013 Hanspub 69 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 3. 持续性 在本节中,我们将证明系统(2)的持续性。 定义 3.1 若存在正常数以及 ,使得当时,在初值条件下,系统(2)的每一个正解,mM0 t0 tt ,St It满 足 ,则称系统(2)是持续的。 ,mStMmIt M 定义 2 0 1 ed A db S p , 02 2 e1 1e 1 1 111 e ddT dT A RR A dbp A 其中 0 1 e1e ,e 11 e dT d dT d Ad R A Rdbp RA 引理 3.1[10] 考虑如下脉冲微分方程 ,, 1, uabuttnT ututtnT 其中 ,0,0ab 1 ,则该系统有唯一的全局渐近稳定正周期解 e e1 ,( 11 e bt nT bt nT bT aaa utunTtnT bbb 1) 其中 11e 11 e bT bT a ub 。 引理 3.2 若 ,则存在一个常数1R:0 1 ,使得 liminfmin, e 2 dbp I t I tm 。 证明:令 是系统(2)在初值条件下的任意一个解,对 ,定义微分函数 ,St It 0t Vt如下: 02 ed 1 t d t I Vt ItSI 则 的导数满足 Vt 00 22 00 22 00 22 02 ee 11 1 ee 11 1 ee 11 e,0 1 dd dd dd d It It Vt ItSS It It It StSSdbpIt It It It StSSdbpIt It A It St St It 由于 ,则1R0 ,对任意的 :0 1 ,有 0 11e e1 11 e dT d dT bAAb p Sd 则存在一个充分小的正常数 ,使得 Copyright © 2013 Hanspub 70 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 0 11e e1 11 e dT d dT bAAb p SS d 下面证明存在和一个充分大的 ,使得对任意的,有0 I m0 t0 tt I I tm。 首先,对所有的 0,ttIt 是不可能的。否则,对所有的 0,ttIt 。 由(2)的第一个方程,有 e1 d Stb AAbpdSt ,对 ,考虑如下脉冲比较 系统,有 0 tt e1, 1, d vtbAAbpdvttnT vtvt tnT (10) 由引理 3.1 可得,(10)存在一个全局渐近稳定的正周期解 e1 e1 e dd dtnT bAAb pbAAb p vt v dd 其中 11e e1 11 e dT d dT bAAb p vd 由比较定理,存在 以及 10 tt ,使得当 时有如下不等式成立: 1 tt 0 11e e1 . 11 e dT d dT bAAb p Stv vtvSS d (11) 则由(11),对 ,有 1 tt 00 22 ee 11 dd It It VtStSSS It It t 。 定义,则对所有 ,有 1, 1 min ttt hI 1 tt I th。否则,存在 21 tt ,使得,且 22 ,0It hIt 21 2 , I tItttt。此时 22 22 22 2 0 ee10 11 dd St ItSh S Itd bpItd bphd bph ItAS 与矛盾。因此,当,有 。故对所有的 20It 1 tt 0Ith 1 tt ,有 02 e0 1 dh VtS S A ,当 时, ,与 t Vt 0 edSA Vt A 矛盾! 由以上可知,对所有的 0,ttIt 是不可能的,即 0 , I tt t 。 因此,对于系统(2)的正解 有两种情形可被考虑: ,St It 首先,当 足够大时, t It ;第二,当 足够大时,关于 t , I t振动。 在第一种情形, It ,这是我们想要的,此处 I m 。 对于第二种情形,假设 It It 且 ,Ittt t ,因为 (2)的正解是一致有界的且 I t 不被脉冲影响, I t是一致连续的,因此,存在一个 0c t (与t 的选择独立),使得 , 2c I ttttt 。 若c t 则证明完成。若 c t ,由(2)的第二个方程,有 ,bpIttttItd ,则有 Copyright © 2013 Hanspub 71 洪凤玲 等 垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 e, dbp Ittt tt 。 若 ,则 e, dbp Ittt t dbp 。 综上可知, e,Ittt t 。 若上述结论不成立,则存在一个 3 tt ,使得 33 e, ,e dbp dbp IttttIt ,且 。当 t足够大时,不等式St 30It t,S tt 成立。 另一方面,由(2)的第二个方程,有 320 e1e 1e 1 d dbp dbp SS Itd bpdbpS Ad bp 0 与 矛盾。因此, 30It e, dbp Ittt t 。 因为 I m的选择是独立的,当充分大时,有 t I I tm。引理 3.2 得证。 定理 3 当 且时,系统(2)是持续的。 1R 1bp 0 证明:记 是系统(2)的带初值的任意一个解,由系统(2)的第一个方程可知, ,St It e111e d d StbAAd StbpAbpAAd St 考虑如下比较方程 11 e, 1, d ztbpAAdzt tnT ztzttnT 与系统(6)的证明相似,对任意充分小的 0 ,存在 (充分大),使得 0 t0 t e e e e 11 e 1 e11e 11e 11 0 e11 e d d d d Ad tnT dAdT Ad T s dAd T bpA St ztztAd bpA m Ad 令 2 ,, sI DSIRmStAmItA,由引理 3.2 且 lim s tSt m ,可知集合 在是全局吸引 的。 D2 R 4. 致谢 本论文是在闫卫平老师悉心指导和王霞同学的批评指正下完成的,在此论文发表之际向我的导师和朋友致 以深深地敬意和衷心的感谢,同时也感谢《应用数学进展》各位老师对本文提出的宝贵建议,祝愿《应用数学 进展》越办越好。 参考文献 (References) [1] H.-F. 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