垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型 Epidemic Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination and Non-Monotonic Incidence Rate

doi:10.12677/AAM.2013.22009

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 65-73

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.22009 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

Epidemic Model with Vertical Transmission and Pulse

Vaccination and Non-Monotonic Incidence Rate

Fengling Hong, Xia Wang, Weiping Yan

School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan

Email: hongfl666@163.com

Received Apr. 8th, 2013; revised Apr. 20th, 2013; accepted Apr. 30th, 2013

permits unrestricted us e, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: In this paper, we investigate an SIRS epidemic model with vertical transmission and pulse vaccina-

tion and non-monotonic incidence rate. First, we obtain the condition for which the disease-free periodic solu-

tion of the epidemic model is globally asymptotically stable when 01R



and





1bp



0 by Floquet

theorem, impulsive comparison theorem and iteration method. Second, permanence of this system is pre-

sented by comparison theorem.

Keywords: SIRS Epidemic Model; Non-Monotone Incidence Rate; Impulsive Vaccination; Vertical

Transmission; Globally Asymptotically Stable

垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型

洪凤玲，王霞，闫卫平

山西大学数学科学学院，太原

Email: hongfl666@163.com

收稿日期：2013 年4月8日；修回日期：2013 年4月20 日；录用日期：2013 年4月30 日

摘要：本文介绍了一类垂直传染带脉冲免疫以及非单调发病率的 SIRS 传染病模型，首先利用Floquet

定理，脉冲比较定理以及迭代法给出了无病周期解的全局渐近稳定的条件，得出当且

01R





1bp



0

时，无病平衡点是全局渐近稳定的结论。其次通过使用比较定理，证明了系统持续的充

分条件。

关键词：SIRS 型传染病模型；非单调发病率；脉冲免疫；垂直传染；全局渐近稳定

1. 引言

传染病动力系统的研究已经有很长的历史，许多数学模型在疾病防预和控制方面起着重要作用。几年前，

大部分学者在发病率上考虑传染病对人类的影响[1-4]。近来，许多学者开始在脉冲免疫传染病方面给出多个模型

[5-10]。例如[10]研究了一类带脉冲免疫以及非单调发病率的 SIRS 传染病模型，给出了无病周期解全局吸引以及

系统持续的充分条件。本文在前人的基础上，综合全局渐近稳定性以及系统的持续性的证明方法，给出了如下

带垂直传染、脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型：

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型

  

  

  



 







 

StIt

StbdSt bpItRt

StIt

tdI tbpIttnT

RtItdRt

St St

ItItt nT

RtRt St



 





















 













 



 

















 









(1)

其中分别为易感人群数，已感人群数和恢复人群数，分别为出生率和自然死亡率，

 

,,St It Rt,bd



为比例

常量，



为已感人群的自然恢复率，



是恢复人群失去免疫力又重新变成易感人群的比例，



是衡量传染效果

的参数，



为疾病的时滞周期，为垂直传染率，θ为疫苗免疫率。为简化模型，引入，则

。故(1)可简化为



StR A 



 

A StIt 











 

  









StIt

Stb AdStbpIt

It tnT

StIt

Itd bpIt

St St

tnT

It It



























 

















 

 





 













 (2)

考虑生态因素，设初值

 











,,0CR

 



,,









00,00,











，其中





212 1212

,0,0,RuuuuuuA

，

则模型(2)在集合





,0 ,,SISIAS IA 中是正向不变集。

本文组织如下：第二节中利用 Floquet 定理，脉冲比较定理以及迭代法给出了无病周期解的全局渐近稳定的

条件，得出当且时，无病平衡点是全局渐近稳定的结论。第三节中通过使用比较定理，证

明了系统持续的充分条件。

01R



1bp



0



2. 无病解的渐近行为

引理 2.1[9] 假设

 



tStIt是(2)的带正初值的一个解，









00,0SI



0，则有。进

一步，若，则



0, 0xt t



00SI





,00







0, 0

tt

。

下面研究(2)的无病子系统，此时，则有



0It















1,.

StbAdSt tnT

StSttnT







 



 







(3)

对此子系统，有如下引理：

引理 2.2 系统(3)存在一个正周期解 -T



 



1e,

dtnT

StnT tnT















 









1

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型

证明：由(3)的第一个方程

 





StdStb A



 

，从积分得 nT t



 



dtnT

bA bA

StSnT tnT





 





 





 1

其中表示脉冲之后的易感人群的数目。

S-nth

由(3)的第二个方程可得：



11e

bA bA



















 















记不动点为，则 S



bA bA



















 















解得



















 。

将代回到前面中，替代，有 S



St nT



 



1e,

dtnT

bA 1















 









TtnT

故系统(3)存在一个正周期解。证毕。 -T

引理 2.3[7] 考虑方程









taxtaxt





，其中 12

,, 0aa



，当 0t





 时，，则有：1) 若

，则；2) 若，则



0xt 

aa2



lim 0

txt

 12

aa





lim

txt





 。

对于给定初值的解，定义

 



00,0SI0







ddT

Rdbpd bAT





 

 



e











 





  





定理 1 若，则系统(2)的无病周期解

01R







,0St

是局部渐近稳定的。若，则是不稳定的。

是临界值。

01R





,0St





01R

证明：令

 



 

tStStytIt

则系统(2)可变为如下等价系统：

  









  

   

 







ee 1

xt ytSt yt

xtdxt bpyt

yt tnT

xt ytSt yt

ytdbp yt

xt xt

tnT

yt yt























 

 













 







 





 

















 (4)

系统(2)的无病周期解等价于(4)的零解，(4 )在零点处的线性系统为





,0St







 

 







ee1

xtdxtStb pyt

tnT

ytStdbp yt

xt xt

tnT

yt yt



 













 





































 (5)

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型

定义

  

 

ee1

0ee

dStbp

At Std bp













 



























，，则(5)的单值矩阵为











 



 

0 0

ee dee d

e1e

e01 0e0 e

T T

d d

dT dT

At t

StdbptStdbpt

MT Bt

 



 



 

 

 

 

 







 







 













因为不需要后面的分析，故无需计算项



的精确值。





T有两个实特征值



11e





 1





，

 

TdStdbpt



















d



。故由 Floquet 定理，若 21





，则系统(2)的无病周期解







,0St

是局部渐近稳定的，

即，等价于 R

 

dSt d

















dbp t



 0







。若，则

01R







,0St

是不稳定的。

定理 2 若，且

01R



1bp





，则系统(2)的无病周期解







,0St

是全局渐近稳定的，即

。

 

lim St Stt

 

,lim

 0

证明：由条件可知，存在足够小的

01R10



，使得



1de

St t

















，则由(2)的第一个方程

有

 





Stb ASt





d



 。

考虑脉冲比较系统



















tbAd xttn

xtxt tnT







 



 





T

nT t

(6)

对脉冲比较系统(6)的第一个方程从积分，得解

 

 

edtnT

bA bA

xt xnT





 





 







。

由(6)的第二个方程，有



 



11 e

bA bA

xn TxnT















 













(7)

方程(7)有唯一的正不动点

















 



。

方程(7)可改写为如下形式：



1nT

ggx

 ，其中









11e,1e

dT dT









 



 

。

由迭代法，可得：

 







1100

1,00

nTnT nT

xggxggggx gggx

ggg ggx

ggxxx









  











由0g1可知，













11e1e 1

lim 111 ee1

dT dT

nT dT dT











 

 





  







 



即

是全局渐近稳定的。因此，系统(7)的周期解

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型



 



 



e1e,

e1 e1

dT dT

dtnT dtnT

dT dT

bA bAbA1

tnT TnT

dd d



 

 





  





 

 



 

 







是全局渐近稳定的。

假设



是满足初值条件系统(6)的任意解，由脉冲微分方程比较定理可知，对(2)的满足初值

条件的一个解



00xx













000

0,xII















,St It



一定存在一个非负整数，使得

，即







 

,1xnT tn

11

,TnTmT













,1,nTtnTmT



 St St

nT 。

由(2)的第二个方程可得：

 





tStItdbpIttnT











mT

考虑脉冲比较系统

 





 



ytStytdbpyt tnT

ytyttnT





















,

(8)

由易知

01R



edStd bp











，故由引理 2.3 可知





lim 0

tyt





。假设是(2)的一个解，

满足初值，由脉冲微分方程比较定理，有。又

，因此。

 



,St It



p limsu

It 



 

000

00, 00II y







m 0It

 



limsup 0yt

 



It0

故对 20



，必存在一个非负整数，使得

mm1





221

ttmTm



T。

由(2)的第一个方程有

 







 

 

2222

e1e

d d

StbAStdSt bpbAAdSt bp

bAAbpdSt

 









 



 













 





当，考虑如下比较系统

tmT

 





e1 ,

ztbAAbpdzttnT

ztmzt tnT











 













(9)

方法同系统(6)，易知系统(9)有一个全局渐近稳定的周期解











e1 ee

1e1

ddTd tnT

bAAb pm

zt dm





 









 



























假设是(9)的一个解满足初值，则对(2)的任意解



00zz



0













,St It，满足初值

 

000

00,0SSz II



0

1

，必存在一个非负整数，使得

mmm

 





,1,StztnTtnTnTm T



 



故对任意的 1



和2



，





 



1e,

dtnT

S tnTtnT















 











是全局吸引的，因此系统(2)的无病周期解是全局渐近稳定的。





,0St



洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型

3. 持续性

在本节中，我们将证明系统(2)的持续性。

定义 3.1 若存在正常数以及，使得当时，在初值条件下，系统(2)的每一个正解,mM0

tt









,St It满

足，则称系统(2)是持续的。

 

,mStMmIt M

定义















p

，







e1 1e 1

111 e

ddT

dbp A











 













 

其中













e1e ,e

11 e

dT d

Ad R

Rdbp RA

























 









 





引理 3.1[10] 考虑如下脉冲微分方程









uabuttnT

ututtnT





 



 







其中 ,0,0ab 1



，则该系统有唯一的全局渐近稳定正周期解



 



e1 ,(

11 e

bt nT

aaa

utunTtnT

bbb











 



 



 

1)

其中



11e

11 e











 。

引理 3.2 若，则存在一个常数1R:0 1





，使得



liminfmin, e

dbp



 













。

证明：令是系统(2)在初值条件下的任意一个解，对，定义微分函数

 



,St It



0t





Vt如下：

 







Vt ItSI















 



则的导数满足



 









  









e,0

It It

Vt ItSS

It It

StSSdbpIt

It It

StSSdbpIt

It A

St St

























 





 







 











 

















由于，则1R0





，对任意的 :0 1



，有









11e

11 e

bAAb p









 













 





则存在一个充分小的正常数



，使得

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型









11e

11 e

bAAb p









 















 









下面证明存在和一个充分大的，使得对任意的，有0

m0

tt





tm。

首先，对所有的





0,ttIt







是不可能的。否则，对所有的





0,ttIt







。

由(2)的第一个方程，有















Stb AAbpdSt









 



，对，考虑如下脉冲比较

系统，有

tt

 





e1,

vtbAAbpdvttnT

vtvt tnT













 





 









(10)

由引理 3.1 可得，(10)存在一个全局渐近稳定的正周期解

  

 

e1 e1

dtnT

bAAb pbAAb p

vt v





  





 







  

















其中











11e

11 e

bAAb p









 















 







由比较定理，存在以及

tt



，使得当时有如下不等式成立：

tt

 



11e

e1 .

11 e

bAAb p

Stv vtvSS









 

 

















 



 





 (11)

则由(11)，对，有

tt

 















It It

VtStSSS

It It









 





 











。

定义，则对所有，有



1, 1

min

ttt









1

tt





th。否则，存在 21



，使得，且



,0It hIt





21 2

tItttt。此时

  



 

2 0

ee10

St ItSh S

Itd bpItd bphd bph

ItAS



 



 













 





与矛盾。因此，当，有。故对所有的



20It 

1

tt



0Ith 1



，有



VtS S













，当

时，，与

t



Vt





edSA



Vt A







 矛盾！

由以上可知，对所有的



0,ttIt







是不可能的，即









t



。

因此，对于系统(2)的正解有两种情形可被考虑：

 



,St It

首先，当足够大时，









；第二，当足够大时，关于





，





t振动。

在第一种情形，





，这是我们想要的，此处 I







。

对于第二种情形，假设



 

It It







且





,Ittt t











 

，因为 (2)的正解是一致有界的且





不被脉冲影响，



t是一致连续的，因此，存在一个 0c





(与t



的选择独立)，使得



ttttt









。

若c



则证明完成。若 c





，由(2)的第二个方程，有













,bpIttttItd







 

，则有

洪凤玲等  垂直传染脉冲免疫以及非单调发病率的传染病模型



dbp

Ittt tt







 

 





。

若





，则



dbp

Ittt t







 







dbp





。

综上可知，



e,Ittt t













 

。

若上述结论不成立，则存在一个 3





，使得





e, ,e

dbp dbp

IttttIt







 

 









，且

。当 t足够大时，不等式St



30It





t,S tt











成立。

另一方面，由(2)的第二个方程，有



320

e1e 1e

dbp dbp

Itd bpdbpS

Ad bp

 













 



 



 







与矛盾。因此，



30It





dbp

Ittt t







 







。

因为

m的选择是独立的，当充分大时，有





tm。引理 3.2 得证。

定理 3 当且时，系统(2)是持续的。 1R



1bp



0



证明：记是系统(2)的带初值的任意一个解，由系统(2)的第一个方程可知，

 



,St It

















e111e

d d

StbAAd StbpAbpAAd St

 

  

 







考虑如下比较方程

 









11 e,

ztbpAAdzt tnT

ztzttnT











 







 







与系统(6)的证明相似，对任意充分小的 0



，存在 (充分大)，使得

  



11 e

e11e

11e

11 0

e11 e

Ad tnT

dAdT

Ad T

dAd T

bpA

St ztztAd

bpA m















 



























 



















 



 





令

  





DSIRmStAmItA，由引理 3.2 且





lim

tSt m

 ，可知集合在是全局吸引

的。

R

4. 致谢

本论文是在闫卫平老师悉心指导和王霞同学的批评指正下完成的，在此论文发表之际向我的导师和朋友致

以深深地敬意和衷心的感谢，同时也感谢《应用数学进展》各位老师对本文提出的宝贵建议，祝愿《应用数学

进展》越办越好。

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