 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 83-88 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.22011 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) The Global Stability of a SEIRS Epidemic Model Xia Wang, Fengling Hong, Weiping Yan Shanxi University, Taiyuan Email: wx616711@163.com, hongfl666@163.com, yanwp@sxu.edu.cn Received Apr. 18th, 2013; revised Apr. 27th, 2013; accepted May 16th, 2013 Copyright © 2013 Xia Wang et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, a SEIRS epidemic model with generally nonlinear incidence rate, which can be in- fluenced by psychological effect, and constant recruitment and disease-caused death in epidemiology is con- sidered. It is investigated that the global dynamic is completely determined by the basic reproduction number . If holds, then the only disease-free equilibrium is global stable and the disease dies out. If holds, then the unique endemic equilibrium in its feasible region is globally stable and the disease persists at an endemic equilibrium state. 0 R 0 R 01R 1 Keywords: SEIRS Model; Global Stability; Nonlinear Incidence; Lyapunov Function; Compound Matrix 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 王 霞，洪凤玲，闫卫平 山西大学，太原 Email: wx616711@163.com, hongfl666@163.com, yanwp@sxu.edu.cn 收稿日期：2013 年4月18 日；修回日期：2013 年4月27 日；录用日期：2013 年5月16 日 摘 要：本文主要研究的 SEIRS 传染病模型中的发病率是具有人为影响的一般非线性的，出生率和死 亡率均为常数。基本再生数决定论疾病的稳定性和存在及灭亡。若R0 ≤ 1 时，则无病平衡点存在且 唯一，是全局渐进稳定的，此时疾病会灭亡。若 R0 > 1，则存在唯一的地方性平衡点，且是全局渐进 稳定的，此时疾病会一直持续下去形成地方病。 0 R 关键词：SEIRS 模型；全局稳定性；非线性发病率；Lyapunov 函数；复合矩阵 1. 引言 数学模型对传染病的研究起非常重要的作用，能够更好地理解疾病模型和在较长一段时间内的疾病控制， 对数学模型传染病研究中发病率的函数公式是一个重要的影响因素。在[1]中提出一般发病率 1 p q kI S gIS I ， 这个发病率被许多学者引用。后来在[2]中引入发病率 1 I S gIS I ，其中 I 为测量疾病的感染能力， 1 1 I 是测量易感人群行为变化或心理的抑制作用。这一发病率更接近实际意义。在[3]考虑带时滞的非线性 SIR传染 病模型。在[4]中考虑 SEIR 传染病模型。文[5]和[6]研究了两类传染病模型的性质，文[8-10]详细介绍了传染病模 型的概念和基本性质。 Copyright © 2013 Hanspub 83  王霞 等 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 本文在以上学者研究了的模型下做出一些改变，研究如下一般非线性发病率的SEIRS 模型 1 1 1 p p StIt St bdStRt It StIt EtdEt It ItEtd k dIt R tkItdRtRt (1.1) 其中分别代表了时刻 t时的易感人群数，潜伏期人群数，已感人群数和恢复人群数。参数 为人口的出生率，为人口自然死亡率， 为疾病人群恢复率，为因病死亡率， ,,,St Et It Rt d b k1 d 为接触比例常数， 为衡 量生理抑制作用常数， 为潜伏期人群变为已感人群数的比例常数， 为已感人群丧失免疫变为易感人群比例， 系统中的各系数均为正常数。由上述方程可得： 1 为潜伏期， 1 k为感染周期， 1 为免疫周期。其中所有参数 均 为非负常数， (时的模型已被许多学者研究过其全局稳定性)。 2p0, 1,2ppp 2. 模型的平衡点和基本性质 我们令 ,,,,xSyEzIwRt ddddd ，由(1.1)我们可将系统化简成如下系统(为了方便，我们仍然 用 替换,,,,SEIRt,,,, x yzw ) 0 012 1 1 1 1 1 p p St I t St AStRt It St I t Et Et It ItEtkd It RtkIt RtRt (2.1) 其中 1 01 2 2,,,,, p p d bd k Ak ddd d d d 。 令(2.1)中四个方程相加且定义 NtSt Et It Rt，可得到 2 NtANt dIt ，由文献[4] 可知 2 lim inf 1t ANtA d 。因此可得系统(2.1)等价系统如下 0 1 2 1p NEIRI Et mE I ItE I Rt kIR NtANdI (2.2) 其中 012 1,1 ,mkd1 。根据生物学意义，我们研究系统(2.2)在紧集 4 ,, ,:0,TEIRNR EIRANA 。 其中 为 的非负集，且易得是(2.2)相关的正不变集。 4 R 4 R T 和分别代表 T的边界和内部。 o T 定义基本再生数为 Copyright © 2013 Hanspub 84  王霞 等 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 2 0 0 012 11 Abd db Rmkdddd 1 kd 。 (2.3) 定理 2.1：当时，则在T内仅有无病平衡点；当时，则在T内仅有地方病平衡点 01R0 P01RP 。 证明：对于系统(2.2)的任意非负参数值，系统(2.2)始终有一个无病平衡点 00, 0, 0,PA 。求正的平衡点， 令系统(2.2)四个方程均等于 0，故可推得 0 1p m NEIRII I 。由此我们可得 或 0I 0 1 p m NEIR I 。若 成立，易推出无病平衡点0I 00, 0, 0,PA。若 0 1 p m NEIR I (2.4) 可推得 10 0 200 1 pkA mI dIm m 0 。 (2.5) 由(2.5)可知 ： 1) 若 ，则无平衡点； 01R 2) 若 ，则存在唯一正平衡点 01R ,, ,PEIRN 叫做地方病平衡点。其中 1 2 0 ,, k EIRINAdI ， I 为方程(2.5)的解(由(2.5)可得 20AdI )。 定理 2.2：若 ，系统(2.2)的无病平衡点 01R 00, 0, 0,PA I 在T内是全局渐进稳定的，若 ，则无病平 衡点是不稳定的。 01R 证明：构造一个 Lyapunov 函数0 LEm 。它沿着(2.2)的解的导数 为 01Lt mIR 。因此若01R ， 则。且仅当时，则。在 T的边界上，其中 0Lt 0I 0Lt 0I ，我们有 ，0E Rt R ，得 0eRt Rt ，当时，Rt ，t 0 Nt AN 。故 0e t ANtAN t。当时， ANt 。 因此当时，集合的最大不变集为无病平衡点。因此由Lyapunov-LaSalle 定理可 得无病平衡点 是全局渐进稳定的。 01R ,N ,,: 0T L EIR 0 P 0 P 当时，我们分析 的稳定性，系统(2.2)在点 01R0 P0 PT 的特征方程为 2 0 1mmR 10 。 (2.6) 若 ，则(2.6)有一个正根和三个负根。因此，若，则 为不稳定的。 01R01R0 P 下面，我们研究当 时，唯一的地方性平衡点 01RP 的局部渐进稳定性。我们将证明矩阵 J P 是稳定的。 即 J P 的所有特征值均有负实部(证明 Routh-Hurwitz 条件的常规做法。由于P 的确定坐标不明确，证明Routh- Hurwitz 不等式变得特别困难)。 定理 2.3：若 且 01R1 时，系统(2.2)的地方性平衡点 ,, ,PEIRN 是局部渐进稳定的。 证明：系统(2.2)在的 Jacobian 矩阵为 P 0 0 1 2 11 11 111 00 01 00 p ppp mpI II mI 0 1 I I I III k d J Copyright © 2013 Hanspub 85  王霞 等 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 则 J 的特征方程为 32 123 1aaa 0 。 (2.7) 其中 110 1p I am I ， 210 11 p pp IpmI am II ， 1 3 1 1 p p mI pI aI 。则123 0aa a 。 因此由 Routh-Hurwitz 条件可得若 且 01R1 时， P 是局部渐进稳定的。 3. 地方性平衡点的全局稳定性 考虑如下系统： , x tftx (3.1) y tyt (3.2) 其中 f 和 g 为连续的且在 n x R为满足局部 Lipschitz，对所有正时间解均存在。若对所有 n x R时，当 ， 有 t , f txg x，则系统(3.1)是与极限系统(3.2)相关的渐进自治系统。 引理 3.1[7]：令 e为系统(3.2)的一个局部渐进稳定平衡点， 是系统(3.1)的一个正向有界解 x t的 -极限集。 若 包含一个点 ，使得系统(3.2)的解满足 0 y 0 0 y y 时，当时，t y t收敛于，则e e ，即当 时， t x te。 推论 3.2：若系统(3.1)的解是有界的且系统(3.2)的平衡点 是全局渐进稳定的，则系统(3.1)的任意解 e x t满 足当 时， t x te。 下面我们先考虑系统(1.1)的极限系统，由 2 lim inflim sup 1tt ANt A d ，因此如下系统等价于系(1.1)的 极限系统为 0 p p p St I t StAStASt Et It IIt St I t AStEtIt IIt St I t Et mEt IIt ItEt It (3.3) 由[4]得集合 是与系统(3.1)相关的正不变集。故系统(3.3)是有界系统。 3 1,,:0TSEIRSEIA 注记 3.3： 为确定的常数，趋于某个常数，系统(1.1)均可化为一个类似于(3.3)的极限系统，为了计 算方便，我们设 ，此时的因病死亡率为零，疾病不影响死亡率，此时 1 d 1 d Nt 020d 此时方程(1.1)中第三个方程为 I tEtIt dk,此时得到 A NtNt ,则 0 ett 0 NtAA Nt ，可推出 0 lim t A AN t。由于 输入的人口数为常数 0 t A ，故 lim tNt A ，故此时系统(1.1)的极限系统为系统(3.3)。 由推论 3.2 知证明 只的全局稳定性的充分条件，就是证明平衡点P 在 内的全局渐近稳定性的充分条件。 1 T 定理 3.4：当且仅当 时，系统(3.1)在 的内部是一致持续的。 01R1 T 证明：由定理 2.2 可得到当 时， 是全局渐近稳定的，排除了持续性的任何可能，由[11]中定理4.3 得到 是一致持续的充分条件。当 时，令 01R0 P 1 01R0 R3 X R 且1 ET ，系统(2.2)满足[11]中定理 4.3 的所有条件。 在边界集 上的最大不变集是点集 且是孤立的。因此对系统(3.1)，[11]中的假设的 1 T 0 P 1 H 成立。[11]中的定 理4.3 的一致持续的充分必要条件等价于 是不稳定的。当且仅当时 是不稳定的，故系统(3.1)在 内 是一致持续的。 0 P01R0 P1 T Copyright © 2013 Hanspub 86  王霞 等 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 注记 3.5：系统(3.3)在有界集 内中的一致持续性等价于系统(3.3)在 内部中存在一个紧吸引子集 1 T 1 T 1 T 。 定理 3.6：若 ，则 01R 在 内是全局渐近稳定的。 1 T 证明：令 P ,,diag1, ,PSEI EIEI，则 是且在 内是非奇异的。令 1 C1 T f 代表系统(3.3)的向量域，则 1diag 1,, f PPEE IIEE II 。系统(3.3)一般解 ,, x t StEtIt的Jacobian 矩阵为 2 2 2 2 0 1 11 1 11 0 p p p p SpI I II SpI I Jm II 则矩阵 ，其中 211 12 1 21 22 BB PJ PBB B11 1 p I Bm I ， 12 22 11 11 pp pp SpI SpI II BEE II 。 0 0 E 21 B I ，22 1 1 p p EI I EI I BIEI m EI I 。 令是 中的一个向量，我们定义在 中的向量模为 ,,uvw 3 R3 R ,,max ,uvwuvw 。令 为这个模的 Lozinsk ，令 i 12 max ,Bg g。 (3.4) 其中 11 1112221122 , g BBgB B ，21 B和12 B为模下的 Lozinsk 测量值。则由上可得 1 Li 111 1 p I Bm I ， 122 EI BEI ，0 21 E B I ， 2 2 12 2 11 11 1 1 pp p p SpI pI I BESpI I 2 。 因此 1 g g (3.5) 由(3.4)和(3.5 )可得 E BE 。由于满足初始条件 0,,xStEtIt (吸引集)的系统(3.1)的每 一个 解 ,, x t StEtIt，我们均可得： 00 1 ddln 0 tt Et Es EtE 11 Bs tt 。可推得： 0 0 0 1 lim sup sup,d0 2 t tx Bxsx s t 。 故可得 是全局稳定的。由推论3.2 和定理 3.6，我们可得到： 定理 3.7：若 ，则系统(2.1)的地方性平衡点 01RP 是在 内是全局渐近稳定的。 1 T 注3.8：当 1 时，本文没有证明其地方性平衡点的局部渐近稳定性，这可作为下一步的研究。 Copyright © 2013 Hanspub 87  王霞 等 一类 SEIRS 传染病模型的全局稳定性 Copyright © 2013 Hanspub 88 参考文献 (References) [1] W. 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