 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 89-97 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.22012 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) A New Inverse Problem of Thickness Design for Bi-Layer Textile Material Xiangjie Li Department of Mathematics, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Email: 18737033838@126.com Received Mar. 4th, 2013; revised Mar. 16th, 2013; accepted Mar. 28th, 2013 Copyright © 2013 Xiangjie Li. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, dis t ribution, and reproduction in any medium, provided t h e original work is properl y cited. Abstract: This paper studies a new inverse problem of estimating bi-layer textile fabrics thickn ess based on a steady-state heat and moisture transfer model. We first present a heat and moisture transfer model for bi-layer textile materials with boundary conditions and solve them by finite difference method. According to the re- quirement of clothing’s thermal and moisture comfort, we formulate the inverse heat and moisture transfer problem that estimate the thick ness of inner fabric as a minimum norm problem with a maximum probability constraint model. We use a static penalty method to convert the constrained problem into an equivalent un- constrained minimization prob lem and obtain the solution for th e optimization problem by a stochastic search method, known as particle swarm optimization algorithm. Numerical experiments show that our new model is quiet acceptable, and the proposed numerical method’s validity and robustness. Keywords: Bi-Layer Textiles; Thickness Design; Heat and Moisture Transfer; Inverse Problem; A Minimum Norm with a Maximum Probability 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 李向杰 浙江理工大学数学系，杭州 Email: 18737033838@126.com 收稿日期：2013 年3月4日；修回日期：2013 年3月16 日；录用日期：2013 年3月28 日 摘 要：本文基于低温环境下平行圆柱孔结构的纺织材料热湿传递稳态模型，研究了一类双层纺织材 料厚度设计反问题。首先给出了一个双层纺织材料热湿传递稳态模型，并采用有限差分方法求解该问 题。然后，根据服装热湿舒适性指标，将纺织材料内层厚度看成一个未知量，提出了一类双层纺织材 料厚度设计反问题，将该反问题归结为一个最大概率最小模问题，采用罚函数法将该约束优化问题转 换为无约束的优化问题，并采用粒子群算法求解。数值结果说明了双层纺织材料厚度设计反问题提法 的合理性，以及粒子群算法的有效性和鲁棒性。 关键词：双层纺织材料；厚度设计；热湿传递；反问题；最大概率最小模 1. 引言 织物热湿传递研究是功能性服装设计中的一个重要课题，功能性服装设计是基于纺织材料热湿传递特征， 根据纺织材料的热湿舒适性要求，进行功能纺织材料的设计与选择，如易吸湿材料、在极冷环境下高保温材料、 在极热环境下高透气材料。 Copyright © 2013 Hanspub 89  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 纺织材料热湿传递正问题是给定材料的类型、厚度和结构，研究该材料的热湿舒适性，透风性，保暖性等。 近几十年来，国内外学者对纺织材料热湿传递模型的理论和计算的研究不断深入，目前有热阻模型[1]，湿阻模 型[2,3]，热阻和湿阻的混合模型[4,5]以及热湿耦合模型[6,7]等。反问题指通过测量数据，根据保暖透汗的要求给出 热湿舒适性在数学上的控制条件，决定材料的结构、类型、厚度或者同时决定类型和厚度。通过反问题的理论 与方法研究纺织材料设计，可以为纺织材料设计试验和产品研发提供理论依据和科学依据，预测并指导纺织材 料和衣着装备设计的试验。国内外关于这类反问题的研究结果[8,9]很少。 本文将纺织材料内层厚度看成一个未知量，研究了一类双层纺织材料厚度设计反问题，并用粒子群算法求 解。在文献[9]的基础上，本文主要做出了两方面的改进：第一在文献[9]中提出的反问题在数学上可归结为一个 最小二乘问题，文中采用皮肤处相对湿度值 0.5 来作为衡量舒适性指标的参考值，而该相对湿度值在 0.4 至0.6 的区间内都是舒适的，本文根据皮肤处相对湿度值落在该区间概率最大的思想，把内层织物厚度设计反问题归 结为一个最大概率最小模问题，使得反问题更符合实际情况。第二本文提出的最大概率最小模模型可能不连续， 因此不采用文献[9]中的Hooke-Jevees 算法进行求解，该算法具有局部收敛性，对初值的依赖性比较大，本文采 用粒子群算法求解，粒子群算法是一种随机的智能算法，具有全局收敛性，能得到一个全局最优解。 本文结构如下：首先提出双层纺织材料热湿传递模型并使用有限差分法求解；在第二节中根据双层纺织材 料热湿传递模型提出了双层纺织材料厚度设计反问题，并将该反问题转化为一类最大概率最小模问题；第三节 给出了求解此问题的粒子群算法，数值实验结果显示了算法的有效性，以及对微小扰动数据的稳定性，最后给 出了本文的结论。 2. 双层纺织材料设计正问题 本节给出了双层纺织材料厚度设计正问题以及数值求解过程。 2.1. 双层纺织材料热湿传递模型 图1为“人体–衣服–环境”示意图，衣服由两层不同材料组成，衣服总厚度为 ，织物内层与人体之间 的空气构成一个微气候区外层在稳定的外界环境中。 L L 1 L 2 x L = L 1 + L 2 微气 候区 Figure 1. “Human body-c lothes-environment” system 图1. “人体–衣服–环境”系统 本文采用文献[9]中的织物热湿传递稳态模型，并给出如下假设：1) 各纺织品各向同性；2) 不考虑温度和 湿度的变化对纺织材料形状的改变；3) 纺织品空隙形态结构采用“平行圆柱孔模型”；4) 假设纺织品对环境的 吸湿和放湿忽略不计。 对于服装内层有如下稳态热湿传递模型 11 11 32 1 211 11 12sat 21 dd 0, 0, dd d1 0, . d vv v v v xrx pp m kmx xxx T xrx Txxk pTpx x xT (1) Copyright © 2013 Hanspub 90  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 其中： 1 0 x L 满足的边界条件为： 0 0TT (2) 对于外层有如下稳态热湿传递模型 22 132 2 2 2 22 2 22 22 sat 2 d0, d d0, d d0, d 1 vv v v v xrx pp km xx T mx x Tx x xrx xk pTpx xT (3) 其中：并且满足下面边界条件 11 LxLLL 2 2 , , , , 1 , . R e tt vvR vvR TL T TTL TL Rh mL m pLP (4) 其中 为纺织材料的温度 Tx K； 为水蒸气压力 v px Pa ； v mx为水蒸气质量通量 2 kgm s； x 为 水蒸气凝结率 3 kgm s； 为纤维的孔半径 1 rx 2 r x, m； 21 , x x 为纤维的孔隙率 %； 2 , 1 x x 为 纤维孔的曲折系数； 为水蒸气吸收凝结热 Jkg ；12 , 分别为内外织物的热传导系数 t RwmK； 表示 外层织物的热阻 2 Km t hw； 表示织物外层表面和环境之间的对流传热系数 2 wKm；121 ,,,kk k2 k 是与分 子质量和气体常数有关的常数；0, R TT分别是人体表面与织物内层的边界温度和外界环境与织物外层的边界温 度； 为外界环境的温度；表示织物外层与外界环境边界处的水蒸气质量通量； 表示织物外层与外界 环境边界处水蒸气压力； e T,vR m,VR P T sat P是水蒸气压力。 已知常微分方程组(1)和(3) 以及边界条件(2)和(4)求纺织物内部的温度和湿度分布称为双层纺织材料热湿传 递正问题。 2.2. 双层纺织材料热湿传递正问题的数值求解 下面利用有限差分方法对正问题进行求解，对外层织物将方程组(3)解耦，得到如下两点边值问题 222sat 23 2 d, d ,. 1 v e R tt k T TAxpTxp k x TTL TLTT LRh x (5) 其中 ， 1 LxL 32 22 2 2 2332 32 212 2 d ,,, d d L vv x xrxT s T AxkmkC pkTsCs p xxkAs , , vR 2,3vR Cm k 21 eR tt TT Rh 。 将外层区间等分，令 N2 2 L hN ，利用有限差分方法对(5)中方程进行离散处理，当有 2,3, ,1iN Copyright © 2013 Hanspub 91  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 32 11 2 12 22sat ,32 23 2 222 22Njjj ii i iiivR ji j TTT TTTk TAxpTpk kh hkA x 2 Ch (6) 当时， iN 123 2sat , 22 2 2. NN N NN TTT k TAxp k h NvR Tp (7) 对于 ，则有 0,1,2,3, ,1iN 32 11 2 ,,3 2 2 22 2 Njjj vi vi ji j TTT ppk Ch h kA x 2 , (8) 1 ,42 . ii vi TT mk C h 2 (9) 由 1 2 NN N TT Tx h ，得1。由(6)和(7)依次求得 ；再由(8)和(9)式，可得 和 N T21 ,,, N TT 0 TP m ,1,1 ,0 ,, , vNv v PP ,1,1 ,0 ,, , vNv v mm ,0v m ，从而得到织物内层和织物外层边界处的温度，水蒸气压力，以及水蒸气的质量通量 。令 0 T,0v p 11 1 10 ,1,0,1,0 , ,. LvLvvvLv TTLTppLpmmLm v 对内层织物的热湿传递方程进行解耦得到如下两点边值问题 1 221sat 23 1 10 d, d ,0. v L k T TAxpTxp k x TLT TT x (10) 其中 11 11 1 0, x rx xLAx x ， 11 1 1 3311,3 32 2 31, 11 d ,, d 2d vvL x L L vv x T kmkCCmkTx x Ts pkTsCs kA s L p (11) 将外层区间 M 等分，令 1 2 L h M ，用有限差分方法对方程(10)进行离散化处理，当时有 2,3, ,1iM 32 11 2 12 21sat ,31 23 1 121 22. Mjjj ii i iiivR ji j TTT TTTk TAxpTpk kh hkA x 1 Ch 当时， iM 3 12 1sat , 221 2. MM M MM k TTT TAxp kh MvR Tp 当时有 2,3, ,1iM 32 11 2 ,,3 1 1 21 2. Mjjj vi vi ji j TTT ppk C h kA x 1 h Copyright © 2013 Hanspub 92  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 其中 1 1 1,31 MM vL TT Cm kh 。 根据边界条件 则可由插值方法分别得到 1 0 0, LM M TTTTTx 1 ,M TT 1 ，从而可以得到 进而 求得织物内层与人体表面处的相对湿度表达式为： 23 ,,, M TT 2 T 1 32 11 2,3 02 21 ,0 0 sat 0 2 4030 100exp 18.956273.16 235 Mjjj vL jj v TTT pk h kA x p RH pT T 11 Ch 3. 双层纺织材料的厚度设计反问题及数值求解 3.1. 双层纺织材料厚度设计反问题的提出 衣服内侧至皮肤表面间服装微气候区的最舒适条件可表述为温度、湿度和气流速度的组合[10]：(32 ± 1)℃， 相对湿度为50% ± 10%，气流速度为(0.25 ± 0.15) m/s。下面考虑纺织材料厚度设计反问题：在环境温度–湿度 组合 min maxminmax ,, ,TRHT TRHRH 下，已知织物的材料结构类型(即导热系数 )以及外层织物厚度，根据 皮肤处相对湿度值落在40%~60%区间的概率最大来决定内层织物的厚度。其中分别为某地某时间段 最低日平均温度，最高日平均温度； 分别表示某地某时间段的最低日平均相对湿度，最高日平均 相对湿度。 1 Lmin ,max TT min max ,RHRH 3.2. 双层纺织材料厚度设计反问题的最大概率最小模模型 根据以上反问题的描述，将环境温度–湿度组合离散为 min maxminmax ,,,,1, 2,,,1, 2,,. ij TRHT TRHRHinjm ,,0ij RH 是通过求解相应的正问题而得到内层织物与皮肤处的相对湿度。假设 1 0Pr1L 为 的概率，于是上述反问题转化为下面的最大概率最小模模型 ,,0 40% 60% ij RH 1 min s.t.PrL1 1L 。 采用罚函数法将上述带有约束条件优化问题，转化为下面的无约束条件优化问题， 11 min1 Pr. g LLK K为一个很大的正数。该优化模型可能不连续，采用不依赖于初值的随机性算法求解更好。 3.3. 反问题的数值算法 本文采用粒子群算法[11]进行求解。粒子群算法的计算步骤如下： Step 1：初始化最小误差 以及最大迭代次数，每个粒子的初始化位置和初始化速度 N 00 12 12 ,,, ,,,, iiiiDi iiiD XxxxVVV V. Step 2：根据目标函数 g 计算每个粒子的适应度值 0 i g X，找出个体极值 ，找出群体极值 0 P0 g P。 Step 3： ，根据下面公式更新速度，和位置 1kk 111 22 11 , . kk kkkk ididid idgd id kk k id idid VVcvPxcrPx xxV 其中， 表示惯性权重， 1,2,,;1,2,,dDin ； 为迭代次数；为粒子的速度；为非负的常数，为 加速因子； 是分布于 kid V12 ,cc 12 ,rr 0,1 的随机数； 是约束因子，目的是控制速度的权重。 Copyright © 2013 Hanspub 93  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 Step 4：计算更新后的适应度值 k i g X，更新个体极值 和群体极值 k Pk g P。如果 1kkk ggg PPP 且kN ， 转Step3；否则计算结束。 3.4. 数值实例 下面我们给出几个数值实验结果来验证上述双层纺织材料厚度设计反问题提法的合理性及算法的有效性。 假定人体的初始温度 ，外层织物的厚度 0305.17 KT20.002 mL ，外层织物的表面水蒸气质量通量 ，参数 ， ， 5 ,2.710 vR m 10.00005k20.00010k10.00006k ，20.00007k 。当温度低于时，凝结热0℃ 2593 kJkg ；当温度高于 0时，凝结热 ℃2260 kJkg ；将区间 min max ,TT 和 min max ,RHRH分别 50 等分， 粒子群算法的粒子规模为20，最大迭代次数为 100次，惯性权重 0.7289 ，学习因习 。 12 cc1.4692 下面考察如下三种材料组合在两组不同温度和湿度组合下的厚度设计反问题，各种材 料的结构参数和类型 参数见[9]。 材料 1：外层材料为聚丙烯，内层为羊毛； 材料 2：外层材料为涤纶，内层为羊毛； 材料 3：外层材料为羊毛，内层为涤纶。 情况 1：当环境温度min max 01TT5 ℃,℃，相对湿度为 min 30%RH ，max 85%RH ，不同类型材料的 1 Pr L 概率图如图2~图4所示： Figure 2. The probability graph of material 1 图2. 材料1的概率图 Figure 3. The probability graph of material 2 图3. 材料2的概率图 Copyright © 2013 Hanspub 94  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 Figure 4. The probability graph of material 3 图4. 材料3的概率图 情况 2：当环境温度 min max 15 0TT ℃,℃，相对湿度 min max 40%, 90%RH RH ，不同类型材料的 1 Pr L 概率图如图5~图7所示： Figure 5. The probability graph of material 1 图5. 材料1的概率图 Figure 6. The probability graph of material 2 图6. 材料2的概率图 Copyright © 2013 Hanspub 95  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 Figure 7. The probability graph of material 3 图7. 材料3的概率图 从上面的图中可得，在两组不同的温度–湿度组合下确实存在最小的织物厚度使得落 在舒适度区间的概率 最大且能达到1。利用粒子群算法分别计算情况1和情况 2的三种类型的厚度，结果见表 1和表2。 Table 1. The numerical results for the three materials: case 1 表1. 情况1的三种类型材料的数值结果 服装厚度(毫米)/mm 随机扰动% 材料 1 材料 2 材料 3 δ = 0 3.540 3.561 3.483 δ = 1 3.521 3.523 3.461 δ = 3 3.190 3.244 3.361 Table 2. The numerical results for the thre e materials: case 2 表2. 情况2的三种类型材料的数值结果 服装厚度(毫米)/mm 随机扰动% 材料 1 材料 2 材料 3 δ = 0 3.866 3.887 3.785 δ = 1 3.842 3.863 3.761 δ = 3 3.821 3.847 3.680 4. 结论 本文研究了稳态热湿传递模型下双层织物材料的类型设计反问题。首先我们使用有限 差分来求解相应的正 问题；其次将反问题归结为最大概率最小模问题，数值结果显示，在一定气候下，着 装的厚度在一定范围内都 可以满足织物热湿传递舒适性，而取厚度最小是合理的，数值结果表明我们的反问题 的构造是合理的。通过对 结果的分析可以得到粒子群算法能用来求解纺织类型设计反问题，对微小的扰动结果 是稳定的。基于纺织材料 动态热湿传递模型来设计反问题将是下一步的研究方向。 参考文献 (References) [1] A. P. Gagge, A. C. Burton and H. C. Bazett. A practical system of units for the description of the heat exchange of man with his environment. Copyright © 2013 Hanspub 96  李向杰 一类新的双层纺织材料厚度设计反问题 Copyright © 2013 Hanspub 97 Science, 1941, 94(2445): 428-430. [2] A. H. Woodcock. Moisture t ran sf er in textile systems, Part I. Textile Research Journal, 1962, 32(8): 628-633. [3] A. H. Woodcock. Moisture t ran sf er in textile systems, Part II. Textile Research Journal, 1962, 32(9): 719-723. [4] B. Farnworth. 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