 Hans Journal of Civil Engineering 土木工程, 2013, 2, 126-134 http://dx.doi.org/10.12677/hjce.2013.22022 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/hjce.html) Determination of Deck Arch Bridge Arch Rib Internal Load and Preliminary Design of Arch Axis* Wen-Jie Niu College of Mechanics and Engineering Department, Liaoning Technical University, Fuxin Email: nwj1982@sohu.com Received: Jan. 16th, 2013; revised: Feb. 22nd, 2013; accepted: Mar. 3rd, 2013 Copyright © 2013 Wen-Jie Niu. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre- stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: For final purpose to analyse of hingeless arch which two springs are fastened in the elastic foundation by Finite Element Method, the first preliminary task is to determine internal loads at the springs of the hingeless arch in- duced by the foundation bearing slope angle when the hingeless arch spring is assumed as rigidly fixed in the rigid foundation. Flexibility method and elastic center method were both used to determine the internal load acted on the arch spring induced by the slope angle of the foundation bearing assumed as rigid in a same example. Results indicate that the two methods give the almost same result. Preliminary design of arch axis was discussed. Keywords: Fastened in Elastic Foundation; Hingeless Arch; Flexibility Method; Elastic Center Method; Preliminary Arch Axis 上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法* 牛文杰 辽宁工程技术大学力学与工程学院，阜新 Email: nwj1982@sohu.com 收稿日期：2013 年1月16 日；修回日期：2013年2月22 日；录用日期：2013 年3月3日 摘 要：为了对主拱拱脚位置处弹性固定在地基上的无铰拱结构进行有限元分析，需要首先确定拱固端支座发 生转角位移时内力的计算公式。应用力法和弹性中心法得到了拱固端支座发生转角位移时内力的计算公式。两 种计算结果基本完全一致。最后讨论了初始拱轴线的确定方法。 关键词：弹性固定；无铰拱；力法；弹性中心法；初始拱轴线 1. 引言 拱结构常被作为拱桥的主要承重结构[1-3]。跨越连 接美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的上承式混凝 土拱桥长323 m，是世界第四，美国第一的混凝土拱 桥[4]，如图 1，2所示。图1，2的简化分析模型可先 隔离出主拱圈进行近似分析。如果对上承式拱桥进行 整体有限元分析，并且如果认为主拱拱脚位置处是弹 性固定在地基上，那么需要先建立主拱单元固端支座 发生转角位移时杆端内力的计算公式。 对于图 3对应的不考虑拱上建筑联合作用的连拱 Figure 1. Deck arch bridge *资助信息：辽宁工程技术大学科研启动基金资助(11-415)。 图1. 上承式拱桥[4] Copyright © 2013 Hanspub 126  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 Figure 2. Deck arch bridge composed of two arch ribs and frames 图2. 双肋框架拱桥[4] 0 1 1 1 2 2 2 P n n θ 1 θ 2 Δ 1 Δ 2 (a) (b) Figure 3. Multi-arch bridge arch rib analysis scheme 图3. 连拱桥主拱的计算简图[5] 桥计算模型，一般需要借助于有限元电算建模来解 决。有限元电算建模的基本单元是桥墩以上的主拱拱 圈和桥墩直杆单元。图 3的连拱桥在荷载作用下各拱 墩和主拱结点会产生水平位移和竖直位移以及转角。 采用位移法计算图 3的连拱结构时，需要先建立各拱 墩结点发生转角位移时杆端内力的计算公式。 在隧道衬砌结构中，拱结构也经常使用[6]。半衬 砌及厚拱薄墙衬砌常常简化为拱脚弹性固定的无铰 拱进行计算[7]。当使用位移法计算拱脚弹性固定的无 铰拱时，需要先建立主拱单元固端支座发生转角位移 时杆端内力的计算公式。 从上述分析可见，固定无铰拱的固端支座发生转 角位移时杆端内力的计算非常重要。虽然直梁的转角 位移法发展的很完善[8]，但曲梁或拱的的转角位移基 本方程仍需要进行深入研究。 下面分析当忽略拱的切向变形和轴向变形时，分 别通过传统力法和弹性中心法计算固定端支承 B发生 转角时，杆端B的内力 B H 、 B V和 B M ，并通过算例 比较了两种方法的计算结果。最后讨论了初始拱轴线 的确定方法。 2. 无铰拱的固端支座发生转角位移时杆端 内力的计算 2.1. 传统力法 图4是圆的一半，也就是半圆。 用下发生水平 位移 当图 4中的支座B因为在外荷载作 和竖直位移是 0，转角为 时，AB 杆末端必然 也在图 5所示的 B H 、 B V和 B M 杆端力作用下发生了 水平位移和竖直位移是0， 为转角 的位移。 下面计算 B H 、 B V和 B M 杆端力作用下AB 杆末 端的平 竖 以顺时针为正， 逆时 5中 转角以及水 位移和 直位移。 规定杆件截面末端的内力中弯矩 针为负。 首先计算图 B H 、 B V和 B M 杆端力作用下， 极坐标角度为 的截面上的弯矩。 过对隔离体进行 分析得到： 通 sin cos BB B M MHR VRR (1) 为了计算 AB 杆端的位移，在 AB杆端施加 所示 位弯矩作用下，极坐标角度为 图6 的单位荷载。 在图 6所示的单 的截 (2) 面上的弯矩是： M11 M A B α Figure 4. Computation scheme when arch bearingtates ro 图4. 拱支座发生转动角位移时的计算示意图 A B θ O H B M B V B Figure 5. Fundamental system to analyse the internal load of the hingeless arch with flexibility method 图5. 力法分析固定无铰拱内力的基本体系 1 M M1 M H1 M V1 1 1 OOO θ θ θ Figure 6. Unit-load acted on the end of the curved bar AB 图6. 单位荷载施加在 AB 曲杆末端 Copyright © 2013 Hanspub 127  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 在图 6所示 单位水平荷用下，极坐标角度的载作 的截面上的弯矩是： 1H M 为 sinR (3) 在图 6所示的单位竖直荷载 为 作用下，极坐标角度 的截面上的弯矩是： 1Vcos M RR (4) 因为图 5所示的 B H 、 B V和 B M 杆端力作用下发 生了转角为 的位移，所以 ： π1 1 0d M M MR EI (5) 代入公式(1)和(2)，得: πsin BB 0 1 cos d B M HRVR RR EI (6) (6)化简后得： π2π BBB EI M HR VR R (7) 因为图 5所示的 B H 、 B V和 B M 杆端 生的 以 力作用下发 水平位移是0，所 π 0 H1 0 1d M MR EI (8) 代入公式(1)和(3)，得: π 0 0sin BB MHR cos 1 sin d B VRR RR EI (9) (9)化简后得: 220.5π B B 0 B M VR HR (10) 因为图 5所示的 B H 、 B V和 B M 杆端力 生的竖直 移： 作用下发 位是 0，所以 π 0 V1 0 1d M M R EI (11) 代入公式(1)和(4)，得: π 0 0sin BB MHR cos 1 cos d B VRR RR R EI (12) (12)化简后得: (13) 0)和(13)，得： π1.5 π20 BB B MVRHR 联立方程(7)、(1 2 ππ B BB HR EI MRV R (14) π0 4 BB B MRV RH (15) 320 2π BB B R MRV H (16) 联立方程(14)、(15)和(16)，得： 4 π 2π8π B R HRRRRπ π4 EI EI R R (17) 2 2 3π16 π8π B EI MR (18) 2 2 π B EI VR 2.2. 算例 根据参考文献[5]，对图 4的计算参数取值如下： (19) 2 4833.92 NmEI ， 。 5mR 现取图 4的B端发生了图示 0.1 的转角，得 到图 4的两端固定拱结构在 B位置处的内力如下图 7所示，具体数值如下： 端 224.001 Nm B M 41.369 N B H 12.309 N B V 2.3. 弹性中心法[5,8-10] 为了对图 4按 心法进行支座转动引起的 图8所示的设置刚域的计算 示意图。 照弹性中 内力计算，把图 4转化为 A 和B 分别是刚域末端的连接节点。 A B θ O H B = −41.369 N M B = 224.001 N *m V B = 12.309 N Figure 7. Internal load acted on the arch end induced by the bear- ing rotation 图7. 支座转动角位移引起的拱杆端内力 Copyright © 2013 Hanspub 128  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 B A A' B ' 图8. 弹性中心法设置刚域后的基本结构 当支座发生如图 4所示的支座转角位移时 Figure 8. Determinate structural system from the original inde- terminate hingeless arch when rigid zone is set according to elastic center method ，B 会 发生相应的转角位移 、水平位移和垂直位移 ，通过静定结 计算公式，可得： 1c 构的位移 2c 3c 1c (20) 2cs fy (21 3cR ) (22) 为了应用力法对对图 4按照弹性中心法进行支座 转动 按照图 10 所示的基本体系 引起的内力计算，选取图 8对应的基本体系如图 9所示。 选取图 9基本体系的坐标系如图 10所示。 ，可得 弹性中心的位置： π 2 0 π 2 0 d21cosd 0.36338 (23) 1d2d s ysRR EI yR sR EI 1 cos0.36338 s yy RR (24) 0.63662 cosRR π 21π 2d R s 11 0(25) EI EI 2 π 2 22 0 2 π3 2 0 2d 0.63662 cos 2d 0.29757 s yy s EI RR R s EI EI (26) 2 π 23 2 33 0 sin π d2 d2 R x R ss EIEI EI 弹性中心法的未知力计算公式 (27) 是： 1 1 11 c X (28) 2 2 22 c X A X 1 =1 X 2 = 1 X B 3 = 1 Figch when rigid 图9. 弹性中心法设置刚域后的基 ure 9. Fundamental system of the hingeless ar zone is set with elastic center method 本体系 A x O B A 'B' y θ Figure 10. Coordinate System of the Fundamental System 图10. 基本体系的坐标系 3 3 33 c X (30) 根据(20)、(21)、(22)、(25)、(26)和(27)，代 入 (28)、 (29)和(30)，得： 1 πRπ EI XR EI (31) 233 2 0.36338 0.29757 (29) 0.29757 2.13940 s fy EI RR XRR EI EI R 2) (3 332 2EI ππ R XRR 2EI (33) 发生图 4方向的转动角位移时，图 9中刚域末端假定的内力，包括单 平力 X2，单位竖直力 X3都是与图 4刚域末端实际的 受力方向相反的。 根据(31)、(32)和(33)，得 B处杆端力 这说明拱支座 位弯矩X1，单位水 B H 、 B V和 B M 。其中 B M 如下： Copyright © 2013 Hanspub 129  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 22 2 2.13940 ππ 31.36198 π Bs EI EIEI M fy R RRR EI R (34) 经计算可得： 力。本文在拱支座 B点切开拱截 面， 种 算结 完全 如图11 所示。两种计算方法 忽略了剪切变形和轴向变形。 3. 上承式混凝土拱桥的初始设计 3.1. 跨越连接美国亚利桑那州和内华达州黑峡 凝土拱桥按跨径大小的分类 按照单孔跨径L0 > 150 米是特大桥[11]，跨越连接 美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的上承式混凝土 拱桥长 323 m (图12)属于特大桥。 223.995 Nm B M 41.367N B H 12.309 N B V 2.4. 两种算法计算结果的比较 弹性中心法在拱顶端的对称位置设置刚域来计 算超静定无铰拱的内 作为基本体系进行计算。计算结果表明，两 计 果基本 一致， 谷的上承式混 和图 Figure 11. Comparison of the results by flexibility method and elastic center method respectively 图11. 力法和弹性中心法的计算结果的比较 3.2. 拱轴线的选择原则[12] 拱轴线的选择原则是：尽可能降低荷载作用下主 拱的弯矩值[12]，最好使主拱仅受压，或者弯曲应力与 压缩应力相比非常小[13]。 3.3. 三种拱轴线形[12] 拱轴通常有三种线形[12]： 1) 圆弧线——15 m~20 m石拱桥、拱上腹拱； 2) 抛物线——轻型拱桥，或中承式拱桥； 3) 悬链线——最常用的拱轴线。 3.4. 合理拱轴线的微分方程 例如主拱如果恰好处处截面仅受压，则受力分析 简图就可简化为上图 12 的三铰拱。图 12 中gx是任意 分布在主拱拱轴上的竖向荷载。图12 中拱桥的跨径 的 拱轴 一半记为L，L的具体说明见图 13。 任意截面斜率为： d tany d x ，任意截面需 要满足恒载压力线 0 tan x g Q H ，才能保证拱截面上只 有轴力。 根据 y方向合力为 0， 。 0d L xg x x QV gx 任意 分布在主拱拱轴上 的荷载 g x φ H g x V O g H g y φ ' 拱轴线 0 x Q 三铰拱恒载压力线 Figurload thrust line andional is[14] 图12. 三铰拱恒载压力线和合理拱轴线[14] e 12. Three-hinged arch dead rat arch ax Copyright © 2013 Hanspub 130  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 tan tan ，所以： 0 d d x g Q y x H 因为 。微分一次， 得合理拱轴微分方程： 2 2 d d x g g y H x。 3.5. 实腹拱合理拱轴线的微分方程 实腹拱在拱桥拱圈上腹部两侧填实土壤或粒料 后铺装路面。在图 13 中，假定 d g 代表铺装路面和拱 圈的恒载集度，γ代表拱圈上腹部两侧填实土壤或粒 料的重度。则γ可表示为 j d g g f [14]。 图13的拱轴线应该满足图 12 推导的合理拱轴线 微分方程[14]。图 12中的 x g 在图 13中是xd g gy 。 把 x g 代入合理拱轴微分方程，得到图 13实腹拱 在恒载下的控制微分方程 2 d11 d g yy m 2 dg H f x [14] 。 学逻辑推导 的物理 求解控制微分方程，得到图13的拱圈应该满足悬链 下[14]： 根据数以及图 13 边界条件， 线拱轴线方程，方程形式如 1 1 f ychK (35) 式中[15]：f是矢高。g是拱脚恒载集度。g是拱顶恒 载集 m j d 度。m是拱轴系数，且 j d mgg。 2 ln 1Kmm ，2 x L 。拱顶坐标原点是 O。 L是跨径的一半。 方程(35)的具体形式是： 2 2ln 1 1 fx ych m L 6) 1m L m (3 Figure 13. Dead Load on spandrel-filled arch axis and analysis Ox坐标系 x坐标。 在拱桥的初始具体设计中， 筑需要确定。拱轴系数m需要根据主拱上的 合压力线来确定。这样可以使 主拱仅受 力相比非常小， 达到安全经济的设计拱桥的目的。 .6. 大中跨径的拱桥的拱轴线形 目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱轴线 形，采用悬链线拱轴线对空腹式拱桥主拱受力是有利 的[12]。 3.7. 跨越连接美国亚利桑那州和内华达州黑峡 谷的上承式混凝土拱桥的拱轴线初始设计 跨越连接美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的 上 因为目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱轴线 的 华达州黑峡 谷的上承式混凝土拱桥的材料选择 造材料主 要 从石材，混凝土和钢材中选取。此 后钢材逐渐成为大跨度拱桥的较经济的制造材料[16]。 和内华达州黑峡谷的上承式混凝土拱桥的 线三铰拱计算简图的基础上，反复调整方程 (36)的[14] 或者弯曲应力与压缩应力相比非常小 。 前文说明，跨越连接美国亚利桑那州和内华达州 scheme to obtain rational arch axis 图13. 实腹拱的恒载分布和合理拱轴的计算图 式中[15]：x是图 13 中主拱在 中的 方程(36)的f和L一 般根据建 荷载以及拱轴线尽量吻 压，或者弯曲应力与压缩应 3 承式混凝土拱桥长 323 m (图1和图 2)属于特大桥。 形，采用悬链线拱轴线对空腹式拱桥主拱受力是有利 [12]。 跨越连接美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的 上承式混凝土拱桥长 323 m (图1和图 2)明显属于空 腹拱桥，因此此桥如果采用悬链线拱轴线形是比较合 理的。 3.8. 跨越连接美国亚利桑那州和内 1900 年以前，拱桥主要采用石材。1900 年以后， 拱桥的制 3.9. “五点重合法”(跨越连接美国亚利桑那州 悬链线拱轴线形的具体设计)与恒载下的初 始拱轴线确定 对于图 14 的上承式混凝土拱桥主拱，可以在对 应的悬链 拱轴系数 m，使图14 的上承式混凝土拱桥主 拱在尽可能多的几个关键点位置处仅有轴压力，这样 就可以近似保证图 14 的上承式混凝土拱桥主拱主拱 仅受压， [13] Copyright © 2013 Hanspub 131  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 2L o x L/2 4 1 y e 14. Structural Analysis Scheme for the arch axis of the new O’Callaghan Pat Tillman Memorial Bridge at Hoover Dam ad load including arch Figur mike (de rib selfweight and load transmitted through posts from the deck) 图1 土拱 线拱 的具体参数。“五点重合法”就是使悬链线拱轴线接 近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有 5点(拱顶， 拱脚和 1/4 点)与其三铰拱恒载压力线重合。这里的三 铰拱恒载压力线(图12) 是根据全拱只有轴力(没有弯 矩和剪力)的情况下得出的拱轴线。需要注意的是：如 果图 14 的拱轴线就是恒载压力线，那么图14 就可按 照三铰拱进行分析计算。 3.10. [14] 承式混凝土拱桥的初始拱轴线的确定为例) 峡谷的上承式混凝土拱桥的所受恒载的图示。假设 4. 跨越连接美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的上承式混凝 桥主拱的计算简图(包括自重恒载和桥面板通过立柱传来的恒 载) 黑峡谷的上承式混凝土拱桥采用悬链线拱轴线形是 比较合理的(图1和图2)。如果跨越连接美国亚利桑那 州和内华达州黑峡谷的上承式混凝土拱桥采用悬链 轴，可以使用“五点重合法”来确定拱轴悬链线 “五点重合法”的具体计算过程(以跨越连 接美国亚利桑那州和内华达州黑峡谷的上 图15(a)是跨越连接美国亚利桑那州和内华达州 黑 主拱的受力和几何形状对称。 因为假设图15(a)主拱在恒载作用下各个截面仅 承受轴压荷载，所以拱顶–拱脚主拱段的受力分析如 图15(b)所示。其中 Ng垂直于截面。Hg垂直于截面。 图15(c)是拱顶−1/4 点主拱段的受力分析图，类似于 图(b)，杆端力是轴力，垂直于截面。 根据参考文献[14]： 2 1 4 121 2 f my (37) (a) H g H g N g V g (b) L/2 H g H g Q x (c) Figure 15. Five-point coincidence method to obtain the rational arch axis (Take the New Mike O’Callaghan Pat Tillman Memorial Bridge at Hoover Dam as an example): (a) Dead load on the arch axis; (b) Structural analysis for from-Arch-Crown-to-Arch-spring- ing segment of the arch axis; (c) Structural analysis for from-arch- crown-to-one-fourth-of-the-arch-span-point segment 图15. “五点重合法”的具体计算过程(以跨越连接美国亚利桑那 州和内华达州黑峡谷的上承式 土拱桥的初始拱轴线的确定为 例)：(a) 主拱所受恒载；(b) 拱顶-拱脚主拱段的受力分析；(c) 拱 顶−1/4点主拱段的受力分析 方程(37)中f是矢高。 混凝 1 4 y是图 12和图 14 中Ox坐标系 2 x L 坐标位置处也就是拱跨径四分之一长度位置 处与 Ox坐标轴的竖向距离。 根据参考文献[14]，对图 15(b)和(c)分别列出力偶 平衡方程 0M ，可以得到： 1 M j H 1 1 44 4 1 4 g g j f M Hy M y f M (38) 1 4 M 和 j M 分别是跨径的 1/4段和 1/2 段内的作 用在主拱上的竖向恒载产生的力矩。 在拱桥的初始具体设计中，方程(36)的f和L一 Copyright © 2013 Hanspub 132  上承式拱桥主拱的内力计算和初始拱轴线确定方法 般根据建筑需要 确定方程(36) 。 下面假定 f和L根据建筑需要已经确定，下面讨 论如何确 学考虑，可以随机选择 一个 就可以确定。但是最终 还需要确定拱轴系数mm 决定悬链拱轴线的陡缓[14]。 定m值。 根据建筑使用要求或者美 1 4 y值，根据方程(37)可计算出一个拱轴系数 m0。 但是从结构安全经济的目的出发，拱轴系数 m需 要根据主拱上的荷载以及拱轴线尽量吻合压力线来 修正 m0，以便确定最终合理mF值。 修正 m0的方法就是根据最 定初始拱轴线的位置，然后根据图15 中作用在主拱 上的竖向恒载以及方程(38)来确定 初选定的 m0值完全确 1 4 y，再根据确定的 1 4 y值和方程(37)来确定新的m值，不断迭代，直到 迭代前 m值和 3.11 应验 [ 4. 讨 4.1. 进行无铰拱的固端支座发生转角位移时杆 角 时杆端内力的 计算是为 [5,17] 就 角位移或者水平位移或者竖直位移时，地基也会随同 拱 力[7,18,19]。 桥的初始拱轴线的 上承式混凝土拱桥的初 关键问题， 初始拱轴 非常小[13]。 点重合法”的应用范围和局限性 始拱 恒荷载下实腹拱桥主拱 拱圈处处 算或者通过电测法来测量。 拱脚位置处弹性固定在地基上的无 铰拱结构 。两种计算结果基本完全 一致。 ， 初始拱轴 。以跨越连接美国亚利桑那州和内 华达州黑 得到 了汉斯出版社(Hans Publishers)《土木工程 期刊编辑 持，在此表示诚挚的谢意。 rs. An analytical model of the Hanger Arrangement in Arch Bridges. ARCH’07, 5th In- tional Conference on Arch Bridges, Madeira: Multicomp, [3] [4] D. Goodyear, R. Turton. The new Mike O’Callaghan Pat Tillman 的迭代计算后的 m值不再有差异，最 后得到合理的mF值。 . 初始设计和最终设计拱桥所受荷载 初涉设计主拱仅受恒载(dead load)，最终设计时 算拱桥在恒载，活载，温度应力，地震等荷载下 的安全系数 13,15]。 论 端内力的计算的意义 无铰拱的固端支座发生转 位移 了最终对图 1或者图 3的结构进行有限元分 析。如果实际无铰拱结构的拱 脚认为是 弹性固 定 在地基上，那么弹性固定的意思也 是当拱脚发生转 脚发生相应的变形，并且施加给拱脚相应的弹性抗 4.2. 上承式混凝土拱 设计原则 始设计是一个 线的选择原则是：尽可能降低恒载作用下主 拱的弯矩值[12]，最好使主拱仅受压，或者弯曲应力与 压缩应力相比 4.3. “五 方程(36)源于对图 13 所示的实腹拱桥的合理的初 轴线的设计[14]，可以保证 受压。 但对于空腹拱桥(例如跨越连接美国亚利桑那州 和内华达州黑峡谷的上承式混凝土拱桥)直接就使用 悬链线[12]方程(36)以及使用五点重合法[14]来设计合理 的初始拱轴线，在恒载作用下仅能保证空腹拱桥的主 拱在五点位置处受压，其他截面的内力分布情况还需 进行进一步计 5. 结论 为了对主拱 进行有限元分析，需要首先确定拱固端支座 发生转角位移时内力的计算公式。 应用力法和弹性中心法得到了拱固端支座发生 转角位移时内力的计算公式 上承式混凝土拱桥的初始设计是一个关键问题 线的选择原则是：尽可能降低荷载作用下主 拱的弯矩值，最好使主拱仅受压，或者弯曲应力与压 缩应力相比非常小 峡谷的上承式混凝土拱桥为例，通过“五点 重合法”分析了如何合理的设计初始拱轴线。 6. 致谢 论文得到了辽宁工程技术大学科研启动基金资 助(11-415)，在此表示诚挚的谢意。论文的发表 》 部的大力支 参考文献 (References) [1] A. Audenaert, H. 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