 Applied Physics 应用物理, 2013, 3, 61-67 http://dx.doi.org/10.12677/app.2013.33012 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/app.html) The Beam-Width Spread and Directionality of Partially Coherent Hermite-Ganssian Beams Propagating through Non-Kolmogorov Atmospheric Turbulence* Yanyan Peng, Jinhong Li#, Jilin W ei, We i wei Wa ng School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan Email: yan_peng860401@163.com, #lijinhong@tyust.edu.cn Received: Apr. 8th, 2013; revised: Apr. 19th, 2013; accepted: Apr. 27th, 2013 Copyright © 2013 Yanyan Peng et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre- stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: Based on the extended Huygens-Fresnel principle and non-Kolmogorov spectrum, analytical expressions for the beam-width spread of partially coherent Hermite-Ganssian (H-G) beams propagating through non-Kolmogorov at- mospheric turbulence are derived, and used to study the beam-width spreading and directionality of partially coherent H-G beams propagating through non-Kolmogorov atmospheric turbulence. The relative width is introduced to quantita- tively describe the resistance of a beam to atmospheric turbulence. It is shown that the smaller the spatial correlation length σ0, and the larger the beam order m, n, and the less the beam-width spreading of partially coherent H-G beams is affected by non-Kolmogorov atmospheric turbulence. The influence of turbulence on beam-width spreading depends on the waist width ω0 and propagation distance z, when the propagation distance is sufficiently long, the smaller the waist width ω0, the less the beam-width spreading of partially coherent H-G beams is affected by non-Kolmogorov atmos- pheric turbulence. The beam width of partially coherent H-G beams through non-Kolmogorov atmospheric turbulence increase with the increasing exponent parameter α, then decrease with increasing α. There exist equivalent partially co- herent and fully coherent H-G beams, GSM beams, which have the same directionality as a fully coherent Gaussian laser beam in free space and in non-Kolmogorov atmospheric turbulence. The results are interpreted physically. Keywords: Partially Coherent Hermite-Gaussion Beam; Non-Kolmogorov Atmospheric Turbulence; Beam-Width Spreading; Directionality 部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的 束宽扩展和方向性* 彭艳艳，李晋红#，魏计林，王伟伟 太原科技大学应用科学学院，太原 Email: yan_peng860401@163.com, #lijinhong@tyust.edu.cn 收稿日期：2013 年4月8日；修回日期：2013年4月19 日；录用日期：2013 年4月27 日 摘 要：基于广义惠更斯–菲涅耳原理和非 Kolmogorov 谱，推导出了部分相干厄米–高斯(H-G)光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输中束宽扩展的解析表达式，并用以研究了部分相干H-G 光束通过大气湍流的束宽扩展 和方向性。引入相对束宽来定量的描述光束抗拒大气湍流的能力。结果表明，空间相干长度 σ0越小，光束阶束 m，n越大，部分相干H-G 光束的束宽扩展受大气湍流影响越小；而束腰宽度ω0受大气湍流影响与传输距离 z 有关，当传输距离足够远时，束腰宽度 ω0越小，部分相干 H-G 光束的束宽扩展受大气湍流影响越小。部分相 *基金项目：国家自然科学基金(61178067 和11247278)、山西省青年科技研究基金(2012021016)资助课题。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 61  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 Copyright © 2013 Hanspub 62 干H-G光束相对束宽随 Kolmogorov 大气湍流广义指数参量 α增加先增加后减小。另外，存在等价部分相干H-G 光束、等价完全相干H-G光束、等价高斯–谢尔模型(GSM)光束与相应的完全相干高斯光束在非 Kolmogorov 大气湍流和自由空间中分别具有相同的方向性，并对所得结果做了物理解释。 关键词：部分相干厄米–高斯光束；非 Kolmogorov大气湍流；束宽扩展；方向性 1. 引言 激光大气传输因与激光通信、激光武器、卫星遥 感、光学雷达、远距测量等方面的应用有关而引起学 者长期的研究兴趣[1,2]。因广义惠更斯–菲涅耳原理的 应用，Rytov 位相结构函数平方近似和折射率起伏空 间谱密度函数等的引入，用解析或半解析方法对大气 湍流中光传输的研究取得不少进展。Wolf 研究组对这 一问题做了进一步研究与分析[3-5]。近年来，激光束通 过大气湍流的束宽扩展和角扩展成为研究热点[6-11]， 李晋红及其合作者比较研究了部分相干厄米双曲正 弦高斯光束通过大气湍流光束扩展的问题，分析了一 般部分相干光在大气湍流中的角扩展和方向性[7,8]， Wang 和Pu对涡旋光束在大气湍流中的束宽扩展进行 了研究[9]，Dou 及其合作者报道了部分相干环状光束 在大气湍流中远场和近场扩展[10]，郑宇龙和季小玲研 究了大气湍流对多色高斯–谢尔模型光束扩展的影 响，指出源光谱带宽越大、光束截断参数和光束相干 参数越小，大气湍流对受光阑限制的多色GSM 光束 扩展的影响就越小[11] 。在前述研究中，广泛采用 Kolmogorov 功率谱模型描述大气湍流，然而，最近的 实验研究表明：在实际大气中，并不是所有的大气湍 流都能采用上述模型描述，而且，当光束沿着垂直方 向传输时，湍流展现出很强的非 Kolmogorov 特征 [12,13]。Toselli 等利用广义指数和广义幅度因子，引入 了非 Kolmogorov 功率谱来描述大气湍流模型，当指 数α = 11/3时，该功率谱与Kolmogorov 功率谱等价 [13]。基于非 Kolmogorov 功率谱模型的光束传输研究 表明，光束在非 Kolmogorov 湍流中传输的特性不同 于Kolmogorov 湍流中的传输特性[14,15]。本文，基于 广义惠更斯–菲涅耳原理，推导了部分相干厄米–高 斯光束在非 Kolmogonov 湍流传输中束宽扩展的解析 表达式。通过数值模拟，研究了空间相干长度σ0、束 腰宽度 ω0、光束阶束 m，n和非Kolmogonov 湍流广 义指数参量 α对束宽扩展和方向性的影响，并给出合 理的物理解释。 2. 理论模型 H-G 光束在入射面z = 0 处的场分布为[8] 22 y 2 00 0 ,0 22 exp x mxny Uz s s HsHs s , (1) 式中 ω0为高斯部分的束腰宽度， , x y s ss为z = 0 面的二维位置矢量， m H，分别为 m和n阶 厄米多项式。 n H 引入谢尔相关项[16]，由(1) 式得到部分相干 H-G 光束在 z = 0 平面内的交叉谱密度函数为 12 22 11 11 2 00 0 22 22 22 2 00 0 2 2 12 12 22 00 ,, 0 22 exp 22 exp exp exp, 22 xy mxny xy mxny yy xx Wz ss HsHs s s HsHs ss ss ss (2) 其中 σ0为部分相干 H-G光束在 z = 0 平面的空间相关 长度，s1，s2分别是z = 0 平面两点坐标矢量。 根据广义的惠更斯–菲涅尔原理[2]，部分相干 H-G 光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的交叉谱 密度函数为 2 22 1212 12 22 112 2 112 2 ,,dd,, 0 2π exp 2 exp,, , k Wz Wz z ik z ss ss ss (3)  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 式中 ρ1，ρ2分别为传输中两点坐标矢量， *表示复共轭， k = 2π/λ；λ为波长；z为传播距离； 112 2 exp ,, ss 是湍流介质扰动而引起 的相位起伏，其表达式为 112 2 1 22 00 01212 22 3 0 22 121212 12 2 12 1212 2 12 exp ,, exp 4πdd , 11 π exp, d 3 exp , , n n kz Jk kz Tz ss ss ss ss ss ss (4) 其中 22 3 0 π ,, 3n kz Tz d, (5) 式中 J0是零阶贝塞尔函数，Φn(κ)为大气湍流的折射率 起伏谱密度函数，对非Kolmogorov谱来说，Φn(κ)[17] 可表示为 22 2 /2 22 0 exp ,, 0,34, m nn kAC (6) 式中， 0 0 2π L ，L0为湍流的外尺度， 0 m c l ，l0 为湍流的内尺度， 15 52π 23 cA , Γ(·)为伽马函数， 2 11cos 2 4 A , α为广义指数参量，是广义湍流折射率起伏结构常 量，单位是 2 n C 3 m ，当 11 3 2 22 2 24 0 02 2 22 0 02 (,) 2exp 62 22 2,., 2 nm m m m Tz kz AC (7) 式(7)表明大气湍流量 00 ,,TlL 与内尺度 l0、外尺度 L0、指数 α有关， 00 ,,TlL 值越大表明湍流越强。 为了方便计算，作坐标变换 12 21 , 2 , ss u vs s (8) 令(3)式中的12 ，将(2)式和(4)式代入到(3) 式，得到 z处部分相干H-G 光束通过非 Kolmogorov 大气湍流的平均光强表达式为 2 22 0 0 2 2 00 0 2 2 ,,, 2 dd 2π2 2 2 22 exp 22 exp expexp, x mx y ny y x mx ny IzW z v kuvH u z v Hu v v Hu Hu vik ik zz 2 u uv v (9) 其中 222 00 11 1,z. 22 T (10) 光束的均方根束宽定义为[3] 22 2 0 ,d , ,d Iz F wz F Iz (11) 将(9)式代入(11)式，利用积分公式[18] 2 2 exp d 2! 2, mn nnmnm n x yHxHxx my Ly (12) 时， 11 30.033A， ，即为常规的 Kolmogorov 谱。把(6)式代入(5) 式可以得 2 n CC 2 exp d 2! 2, mn nnmnmnm n x HxyHxzx mzy Lyz (13) 2 n Copyright © 2013 Hanspub 63  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 和δ函数的基本性质，经积分得到 F和F0的表达 式为 21 0 ,d 2!! mn FIzmn 2 0 , (14) 22 22 2 12 0 0 22 22 00 ,d 2!!2 22 14,, mn FIz k zmnm n kz mn Taz 1 (15) 将(14)和(15)式代入(11)式，得到部分相干 H-G光 束在非 Kolmogorov 大气湍流中的均方根束宽为 12 2 2 12 2 4, turb z wzP PzTzk , (16) 其中 2 0 11 2 Pmn , (17) 2 222 00 22 1Pmn k . (18) (16)式右边的P1和P2z2项表示光束在自由空间衍射引 起的束宽扩宽，而第三项是由非Kolmogorov 大气湍 流引起的光束扩展，第一项不随传播距离 z变化，第 二项与传播距离z2成正比，第三项与传播距离z3成正 比。 当T(α, z) = 0时，由(16)式得到部分相干 H-G光 束在自由空间的束宽公式 12 2 12 . free wzP Pz (19) 当z = 0 时，由(16)式得到部分相干 H-G光束在光 源平面处的束宽 1 0w.P (20) 3. 厄米–高斯(H-G)光束在非 Kolmogorov 大气湍流中的束宽扩展 为了便于直观和定量描述光束抗拒非 Kolmogorov 大气湍流的能力，我们引入相对束宽[19]，相对束宽是 指同一部分相干H-G 光束在非 Kolmogorov 大气湍流 中传输的束宽与在自由空间中传输的束宽之比，即 22 turb 2 12 free 4, 1, wz Tzkz wz PPz (21) 显然，相对束宽 w(z)turb/w(z)free越小，光束扩展受 非Kolmogorov 大气湍流影响越小。 图1是在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处部分 相干 H-G 光束的相对束宽随空间相干长度 σ0的变化。 其中 ω0 = 0.03 cm，λ = 1.06 µm，α = 3.5，l0 = 0.01 m， m = 1，n = 1，L0 = 20 m， = 10−14 m3−α。从图中我 们可以看出，随着空间相干长度σ0的增大，相对束宽 增大，也就是说，空间相干长度 σ0越大，部分相干 H-G 光束受非 Kolmogorov 大气湍流影响越大。 2 n C 图2是在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处部分 0.02 0.040.06 1.00 1.02 1.04 0.02 0.04 0.06 1 2 3 4 5 0.02 0.040.06 1.2 1.6 2.0 relative width w(z)turb/w(z)free the spatial correlation length /m z=1km z=5km z=30km Figure 1. Relative width w(z)turb/w(z)free of parti ally coherent H-G beams versus spatial correlation lengthσ0: z = 1 km, z = 5 km, z = 30 km 图1. 部分相干 H-G光束在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处相对 束宽随空间相干长度 σ0的变化 051015 20 1.2 1.6 2.0 2.4 0510 15 20 1 2 3 4 5 6 7 05101520 1.00 1.04 1.08 1.12 relative width w(z)turb/w(z)free the beam orders m=n z=1km z=5km z=30km Figure 2. Relative width w(z)turb/w(z)free of partially coherent H-G beams versus the beam orders m, n: z = 1 km, z = 5 km , z = 30 km 图2. 部分相干 H-G光束在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处相对 束宽随光束阶数 m, n 的变化 Copyright © 2013 Hanspub 64  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 相干 H-G 光束的相对束宽随光束阶数 m，n的变化。 其中 ω0 = 0.03 cm，λ = 1.06 µm，α = 3.5，l0 = 0.01 m， L0 = 20 m，σ0 = 0.04 cm， = 10−14 m3−α。从图中我 们可以看到，相对束宽是随着m，n的增加而减小， 也就是说，部分相干H-G 光束受非Kolmogorov大气 湍流的影响随光束阶数m，n的增加而减小。 2 n C 图3是在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处部分 相干 H-G 光束的相对束宽随束腰宽度 ω0的变化。其 中σ0 = 0.04 cm，λ = 1.06 µm，m = 1，n = 1，α = 3.5， l0 = 0.01 m，L0 =20 m， = 10−14 m3−α。从图中我们 可以看到，当传播距离较小时(如z = 1 km，z = 5 km)， 相对束宽随 ω0的增加不是单调变化，而是先增加后 减小。物理原因是：由于P1是随ω0的增加而增大的， P2z2随ω0的增大而单调减小的，相对束宽 2 n C 22 2 12 4, 1Tzkz PPz 由P1和P2z2共同决定，即，相对 束宽随 ω0的增大先增加后减小。相对束宽受大气湍 流影响最大时的ω0值是由 22 2 012 4, 1 Tzkz PPz 0 决定的。从图 3可以看 出，在 1 km 和5 km 处，当束腰宽度ω0为1.84 cm和 4.1 cm时相对束宽分别取得最大值1.064，1.972。当 传播距离足够大时(如z ≥ 30 km)，相对束宽随ω0的增 加而增加，原因是传播距离足够大时(如z ≥ 30 km)， P2z2相对于 P1来说起主要作用，相对束宽 0.02 0.040.06 0.08 2 4 6 8 0.02 0.04 0.060.08 1.2 1.5 1.8 2.1 0.02 0.04 0.060.08 1.00 1.02 1.04 1.06 z=30km the waist width 0/m relative width w(z)turb/w(z)free z=1km z=5km Figure 3. Relative width w(z)turb/w(z)free of partially coherent H-G beams versus the waist width ω0: z = 1 km, z = 5 km, z = 30 km 图3. 部分相干H-G 光束在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处相对 束宽随束腰宽度 ω0的变化 22 2 12 4, 1Tzkz PPz 主要由 P2z2决定，即，相对束宽 随ω0的增大而增大。传播距离足够远时，束腰宽度 ω0 越小，部分相干H-G 光束受非 Kolmogorov 大气湍流 影响越小。 图4是在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处部分 相干 H-G 光束的相对束宽随广义指数参量 α的变化。 其中 σ0 = 0.04 cm，λ = 1.06 µm，m = 1，n = 1，ω0 = 0.03 cm，l0 = 0.01 m，L0 = 20 m， m 3 − α。我们 从图中可以看出，在 3 < α < 4范围，在 α = 3.112处 相对束宽达到最大值，且与传输距离无关。其物理原 因：由式(21)和(7)可知，随 α的增大相对束宽w(z)turb/ w(z)free变化趋势与 T(α, z)变化趋势一致，T(α, z)随α 2 10 n C 14 增加先增大后减小，由 ,0 Tz 得，在α = 3.112 处T(α, z)值最大。由此可见，在传输过程中光束受大 气湍流影响随广义指数参量α增加先增大后减小。 4. 部分相干 H-G光束传播的方向性 依据[5,8]文献，一个部分相干光束和完全相干高 斯光束具有相同的角扩展，这个光束被称为等效光 束，部分相干等效光束满足条件为 G PP, (22) 22 0 2 G Pk 为完全相干高斯光束的角扩展。 由(16)式和角扩展[19]的定义得到部分相干 H-G 光 3.0 3.23.43.6 3.8 4.0 1.00 1.04 1.08 1.12 3.0 3.2 3.43.63.84.0 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.03.23.43.6 3.8 4.0 2 3 4 5 6 7 relative width w(z)turb/w(z)free generalized exponent factor a z=30km z=5km z=1km Figure 4. Relative width w(z)turb/w(z)free of partially coherent H-G beams versus generalized exponent factor α: z = 1 km, z = 5 km, z = 30 km 图4. 部分相干H-G 光束在 z = 1 km，z = 5 km，z = 30 km处相对 束宽随广义指数 α的变化 Copyright © 2013 Hanspub 65  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 束在非 Kolmogorov 大气湍流中的角扩展公式 2 24, sp z wz PTzk z , (23) (23)式说明部分相干H-G 光束的角扩展不仅与光束参 数m，n，ω0，σ0决定，而且还与大气湍流量 T(α, l0, L0) 有关。 当m = n = 0时，由(23)式得到 GSM 光束在非 Kolmogorov 大气湍流中的角扩展公式 2 34, sp zPTzk , (24) 其中 2 322 00 22 P k . (25) 当σ0→∞时，由(23)式得到完全相干的 H-G 光束 在非 Kolmogorov 大气湍流中角扩展公式 2 44, sp zPTzk , (26) 其中 422 0 21mn Pk . (27) 当m = n = 0，σ0→∞时，由(23)式得到完全高斯光 束在非 Kolmogorov 大气湍流中的角扩展公式 2 54, sp zPTzk , (28) 其中 522 0 2 Pk . (29) 当P2 = P3 = P4 = P5 = PG时，在自由空间和非 Kolmogorov 大气湍流中部分相干H-G 光束、完全相 干H-G光束、GSM光束与完全相干高斯光束有相同 的角扩展，因此，这些光束被称作等效部分相干 H-G 光束、等效完全相干 H-G 光束、等效 GSM 光束。图 5是等效光束在非 Kolmogorov 大气湍流和自由空间 中均方根束宽随传播距离的变化规律。其中，a代表 等效的完全相干的高斯光束，b代表等效的 GSM 光 束，c代表等效完全相干 H-G 光束，d代表等效的部 分相干的H-G 光束，λ = 1.06 µm，α = 3.5，l0 = 0.01 m， L0 = 20 m， m 3−α，表1给出了其它计算参 2 10 n C 0500010000 15000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 the beam widths w(z)/m the propagation distance z/m abcd in turbuelence in free space Figure 5. Beam width w(z) of equivalent fully coherent and par- tially coherent H-G, GSM beams and the corresponding fully co- herent Gaussian laser beam as a function of the propagation dis- tance 图5. 等效的部分相干H-G光束，等效GSM光束，等效完全相干 H-G 光束与完全相干高斯光束束宽随传播距离 z的变化 Table 1. Parameters relating to Figure 4 表1. 图4中相关的参数 光束 m n ω0/cm σ0/cm a 完全相干高斯光束 0 0 1 ∞ b 高斯谢尔模型光束 0 0 2.8 1.07 c 完全相干 H-G 光束 2 2 2.24 ∞ d 部分相干 H-G 光束 2 1 3.5 1.22 数值。在非 Kolmogorov大气湍流和自由空间中，选 择适当的光束参数 m，n，ω0，σ0，等效部分相干 H-G 光束、等效完全相干H-G 光束、等效GSM 光束与完 全相干高斯光束具有相同的方向性。 5. 结论 本文以 H-G光束为例，对非 Kolmogorov大气湍 流中光束束宽扩展和方向性做了详细的研究，与文献 [3,4,19]不同，本文中用相对束宽，比较研究光束抗拒 大气湍流影响的能力，其主要优点是从相对束宽变化 的曲线可直观和定量地比较，光束参数变化时束宽受 湍流影响的灵敏程度，特别是相对束宽随光束参数非 单调变化时，使用相对束宽来研究问题更显示出其优 点。数值计算和分析表明：部分相干H-G 光束较小的 空间相干长度 σ0，较大光束阶数 m，n，受非 Kolmogorov 大气湍流影响较小。在传播距离足够远时，部分相干 14 Copyright © 2013 Hanspub 66  部分相干厄米–高斯光束通过非 Kolmogorov 大气湍流传输的束宽扩展和方向性 Copyright © 2013 Hanspub 67 H-G 光束较小的 ω0受非 Kolmogorov大气湍流的影响 小。在 3 < α < 4范围内，部分相干H-G 光束受大气 湍流广义指数参量 α增加先增大后减小，在 α = 3.112 处影响达到最大值，且与传输距离无关。通过对等效 光束的研究，选择适当的光束参数 m，n，ω0，σ0，等 效部分相干 H-G 光束、等效完全相干的 H-G 光束， 等效 GSM光束与完全相干的高斯光束具有相同的方 向性。本文所得到的结论对存在非Kolmogorov 结构 大气湍流的自由空间光通信有潜在的应用价值。 6. 致谢 本论文感谢国家自然科学基金(61178067 和 11247278)项目的支持、感谢山西省青年科技研究基金 (2012021016)的支持。 参考文献 (References) [1] V. I. 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