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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 223-227
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33033 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
Global Attractor for Semi-Discrete
Kuramoto-Sivashinsky Equation
Shengnan Dong, Chaosheng Zhu
School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing
Email: ShengnanDongswu@163.com, zcs@swu.edu.cn
Received: Mar. 27th, 2013; revised: Apr. 12th, 2013; accepted: Apr. 21st, 2013
Copyright © 2013 Shengnan Dong, Chaosheng Zhu. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution
License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract: We study the long-time behaviour with a periodical boundary condition of semi-discrete Kuramoto-
Sivashinsk y equation in . First, we use the Crank-Nicolson scheme to discrete this equation to prove that
such a semi-discrete equation possesses a global arrtactor in
1



1
H
R, then we also show that this global at-
tractor is actually a compact set of and
2
L1
H
.
Keywords: Kuramoto-Sivashinsky Equation; Crank-Nicolson Scheme; Global Attractor
半离散 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全局吸引子
董胜楠，朱朝生
西南大学数学与统计学院，重庆
Email: ShengnanDongswu@163.com, zcs@swu.edu.cn
收稿日期：2013 年3月27 日；修回日期：2013 年4月12 日；录用日期：2013 年4月21 日
摘 要：本文研究在上具有周期边界条件的半离散 Kuramoto-Sivashinsky 型方程解的长时间行为。
首先利用 Crank-Nicolson 格式对其进行离散，然后证明了该方程在 和
1

2
L1
H
上紧的全局吸引子的存在。
关键词：Kuramoto-Sivashinsky方程；Crank-Nicolson 格式；全局吸引子
1. 引言
本文研究在上具有周期边界条件的 Kuramoto-Sivashinsky 型方程解的长时间行为：
1

tx xx xxxx
uuuu uuf


 ， (1.1)







0
,0 ,.uxuxux Tux (1.2)
其中， 0

是耗散参数， 是不依赖于时间的外力项函数，

2
fL


0
ux是初始函数，T是周期。
由于 Kuramoto-Sivashinsky 方程自身的复杂性以及其描述物理现象的能力（例如降膜朝向的稳定性以及火
焰前锋的不稳定性等），有很多学者对 Kuramoto-Sivashinsky 方程做了大量的研究，参见文[1-7]。
很多学者对于 方程的全局吸引子做了大量研究，文[8,9]对非线性方程的吸引子的正则性做了一
定的研究，文[10]证明了非线性的弱耗散方程的全局吸引子的存在。文[11]证明了弱耗散的双曲方程的吸引子的
存在。但是在本文中我们采用的的不是传统的证明吸引子存在的方法，这里我们采用的是文[12]中的方法。用
Crank-Nicolson 格式对 Kuramoto-Sivashinsky方程进行离散，再利用一致先念估计的方法证明离散全局吸引子的
Schr dingerö
Copyright © 2013 Hanspub 223
董胜楠，朱朝生  半离散 Kuramoto-Sivashinsky方程的全局吸引子
存在性。
下面，我们介绍一种与(1.1)相关的Crank-Nicolson 格式：首先对于给定的 ，存在唯一的解
，(1.1)等价于：

1
uH






11 1
0, ,0, ,uCH CH

 



 



2
24
2
1
eeee
2
t
tt
txxx
utututut f



 


 e
tt

。 (1.3)
对于给定的时间离散 0

，我们考虑定义为nn


的时间一致子列


n
n
t，并且将(1.3)在时间区间 1
,
nn
tt





上积分，有：
 
 



1 1
1
2
124
2
1
eee eede
2
n n
nn
n n
t
t t
tn tnttt
xxx
t t
ututututut tft

 
 



 






d

。 (1.4)
利用梯形面积法则知：



11
d2
n
n
tn
t

n
g
s sgtgt


， (1.5)
上式的估计误差为：




13
1
d21
n
n
tnn
tgs sgtgtg

2






。 (1.6)
令子列，这里 是(1.4)的解的连续形式。在(1.4)中使用(1.5)的法则有：

n
uutnu





2
11
22
11
(1) 1
1
214
1
11e
ee
22
1e
ee
22
ee
2
nn
nn
nnnn x
nn nn
nnnn
xx
nn
uu
uu
uu
uu
f


 
 
 
 
















 




e
e

， (1.7)
上式乘以

1
en


，有：
 
2
1
11
2
1214
11 11
2222 2
nn nn
nn nn
xxx
uu uu
uuuu f





 




 



， (1.8)
其中， e




。因为 1


，为了得到相同的连续估计，我们用

来代替
1
2

。同时为了简化运算，我们用
f
来代替 1
2
f

。因此，有：
 
2
11
1214
11 1
222 2
nn nn
nn nn
xxx
uu uu
uu uu





 

 
 
 
f
。 (1.9)
现在我们陈述本文的主要结果：
定理 1.1 若满足，

2
fL22
2
8L
f
c


，方程(1.9)有一个离散的半群 ，时满足：
n
S1n0
uE

，
是(1.9)的解。
1nn
uSuS


1
0
n
u

定理 1.2 定理 1.1 中的离散的半群即：，在S1:
nn
Su SuE E




4
H上有一个紧的全局吸引子。
定理 1.1 的证明有以下几个步骤：首先证明离散以后的方程的格式在


2
L上是稳定的，然后证明
1
2
nn
uu


Copyright © 2013 Hanspub
224
董胜楠，朱朝生  半离散 Kuramoto-Sivashinsky方程的全局吸引子
在上的范数有界，最后证明半群在

4
HS


3
H存在并且 有一个紧的全局吸引子。 S
2. 主要结果的证明
假设 1


，我们证明这个格式在 上


2
L

是一致稳定的。
引理 2.1 设


是充分小的，那么：

2
2
22
02
8
1n
2
2
nn
L
Lf



L
uu 。 (2.1)
证明：方程(1.9)与1nn
uu

在 上作内积，有：

2
L
22
2
222
22
12 1
222
21
,
2
44
nnnn
LL
nnn
L
22
L
LL
uufuu
uf uu

 




 





，
所以：
2
22
22
2
12
2
11
44
nn
L
LL
uu
 


 
 
 
 f
。


是充分小的，我们有： 由于
1
11
44
 



1




，
所以：
2
22
222
14
nn
L
LL
uu


f。
由离散的 Growall引理，有：


2
2
2
222
02
4
11
nn n
L
L
L
uu



f。
引理 2.1 得证。
下面我们引入集合



2
2
2;L
EvLv c

 

。
显然满足引理 2.1，即若 且
0
uE


2
fL，它满足 22
2
8L
f
c


，那么对于所有的，NN

n
uE

。
我们把(1.9)改写成：
1
2
111
24
21
222 2
2
nn
n
nnnn nn
xxx
uu
uuuuu uu
f










 


。 (2.2)
如果都能在 中得到，利用不动点定理我们只需要寻找
01 nE
,,,uu u
1
2
nn
uu

，而不是 。为此考虑泛
函：
1n
u

2
24
nx
wRuRfRw


，
其中，
1
42
122
xx
R






。
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我们对步长

作一些限制，当

足够小时，我们有下面的引理：
引理 2.2 存在一个正常数 ，使得 c
1)

2,s
LL H



4
2,0 4
s
Rs
 
；



12
,
xLL L
c
R

2) 。
[13]中引理 1的证方法可得引理 2.2此时，由文 明
1
2
nn
uu

比解更正则。
引理 存在一个正常数
n
u
2.3 2
2
0LL



1,,KK uf

，使得：

3
1
2
nn
H
uu K





。
证明：由(2.2)，引理 2.1 和引理 2.2有：
4
2H
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
21 24
22
4
1
2
111
13 31
11 11
22 22
1
12
0
11
22
2
11
22 22
11
,, 2
nn
nn nnnn
nn
x
LL
LL
Lx
L
L
nnnnnnnn
n n
L L
L L
LH LH
nn
LL H
uu
uu uuuu
uf ufc
uuuu uuuu
ufcufc
uu
cf u



 






 


 


 
 

 






22
4
1
0
111
,,22
nn
LL H
uu
cf u












。
由此得引理 2.3。
定理 1.1 的证明：我们通过 Banach 不动点定理来证明(1.9)的解的唯一性。
上的一个定点，令 u若存在 n
u，w是12
nn
uw



。

2nx
wRuRwRf


， (2.3)
42
 
22221
4
3c
。
:2
n
LL
L
Fv
LTvRuf



 



由引理 2.2有：
  
22 2
2
L
Pw 
22
111
224
223
1
24 2424
nn
LLL
LL
cccc
R
u fwu fRR



 
。
若
1
4
31
42
cc R


，则是
F
F
上的映射。下面证明是压缩映射： 到
 
12 121

wwRwww


2
4xw




 ，
 
22
2
11
24
1 21212
3
L
L
L
wwcRwwccww

 

 。
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226
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若

1
4
31cc


，则是压缩映射。证毕。
定理 1.2 的证 的(1.9)的解 可以分解成：

明：任意 n
u
,
nnn
uvwnN


， (2.4)
和 分别
且 满足：
n
vn
w
11
4
nn nn
vv vv



1
2
00
0
2
nn
xx
vv
vu





 




2

(2.5)
2
11 11
42
0
1
222 2
0,
nnnnnn nn
xxx
wwvvww ww
f
w
 

 

 
 




问题(2.5)、(2.6)是适定的，由引理 2.1和引理 2.3 知， 和满足：

， (2.6)
n
vn
w
2
lim 0
n
L
nv


，
并且存在一个正整数
(2.7)
22
0
1,,
LL
ccf u




，使得：
2
4n
xL
c
w


。
n
可分解为一个和一个收敛到零的有界集。定理 1.2 得证。
目前研究连续性方程长时间行为的文献已经有很多，采用对空间离散的半离散方法研究方程长时间行为的
文献也不少，但是采用对时间离散的半离散方法研究方程长
面正好是一个很好的尝试。
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-1661.
(2.8)
由此可知半群 紧的映射
0
nn
Suv w
时间行为的文献几乎没有。我们的这篇论文在这方
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