一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法 An Implicit Finite Difference Scheme for Space-Time Fractional Partial Differential Equation

doi:10.12677/ORF.2013.32002

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Operations Research and Fuzziolgy 运筹与模糊学, 2013, 3, 7-14

http://dx.doi.org/10.12677/orf.2013.32002 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/orf.html)

An Implicit Finite Difference Scheme for Space-Time

Fractional Partial Differential Equation*

Yang Zhang1, Ruiyi Wang2

1School of Mathematical Science, Nankai University, Tianjin

2School of Science, Hebei University of Technology, Tianjin

Email: zhangyang@nankai.edu.cn

Received: Apr. 6th, 2013; revised: Apr. 10th, 2013; a cc e p te d : M ay 1 0th, 2013

which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: Fractional order differential equations are generalizations of classical differential equations. They

are widely used in the fields of diffusive transport, finance, nonlinear dynamics, signal processing and others.

In this paper, an implicit finite difference method for a class of initial-boundary value space-time fractional

two-sided space partial differential equatio ns with variable coefficients on a finite domain is established. The

stability and convergence order are analyzed for the resulted implicit scheme. With mathematical induction

skills, the scheme is proved to be unconditionally stable and convergent.

Keywords: Fractional Derivative; Implicit Methods; Stability; Convergence; Error Estimate

一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法*

张阳1，王瑞怡 2

1南开大学数学科学学院，天津

2河北工业大学理学院，天津

Email: zhangyang@nankai.edu.cn

收稿日期：2013 年4月6日；修回日期：2013 年4月10 日；录用日期：2013 年5月10 日

摘要：分数阶导数微分方程作为通常微分方程的推广，被广泛地应用于工程，物理，信息处理，金

融，水文等领域。本文给出了数值求解一类时间空间分数阶导数的双边空间微分方程的一种隐式差分

格式，并对其稳定性和收敛性进行了理论分析，证明了格式的无条件稳定性并给出了收敛阶估计。

关键词：分数阶导数；隐格式；稳定性；收敛性；误差估计

1. 引言

分数阶导数方程是指方程中含有非整数阶的导数，在反常扩散，粘弹性本构建模，信号处理，控制，流体

力学，图像处理，软物质研究、金融、水文等领域中利用它们来建立数学模型，可以精确地描述这些现象。近

年来，越来越多的学者关注分数阶导数。分数阶导数微分方程，是传统的整数阶微分方程的推广[1-8]。分数阶导

数微积分的研究与兴起，伴随着数字计算机计算技术的提高而迅速发展。双边空间分数阶对流–扩散方程是一

种反常扩散，在地下水溶质运移方面，它可描述含水层中溶质运移过程中的反常扩散现象。关于这类问题的数

值解法 Meerschaert 等人分别对单边对流–扩散方程和双边扩散方程，进行差分求解，如文献[9]针对变系数反应

扩散方程

*资助信息：该工作由中国国家自然科学基金资助(11171168，11071132)。

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法

 









,,,

crtcrt crt

vrdrf rt





 





建立显式和隐式两种差分解法，文献[10,11]建立了双边空间分数阶导数微分方程

 









,,,

uxtuxtuxt

cxt csxt

txx













数值解法并进行了稳定性分析，文献[12]针对二维分数阶扩散方程













,,,, ,,

uxytuxyt uxyt

dxyexyqxyt

txy



 





建立了交替方向隐式差分解法；文献[13]对一维时间分数阶对流–弥散方程











,,cxt cxt cxt





 





给出了差分算法；文献[14,15]用另一种方法对这个问题进行离散计算。文献[16]中针对二维分数阶对流–弥散方程

 













,,,, ,,,,,,c xytc xytc xytc xytc xyt







 









建立了数值解法。文献[17]则对时间空间分数阶导数微分方程

 













,,,,

uxtuxtuxt uxt

b xtcxtcs xt

txxx







 



的显式差分解法进行了研究。目前，关于带时间分数阶导数的双边空间分数阶导数微分方程的隐式解法尚未见

到，本文针对文献[17]中的问题(1



情形)建立了相应的隐式数值解法并进行理论分析，得到了很好的理论结果。

采用隐式差分解法可以有效地增加稳定性能，本文得到的计算格式是无条件稳定的，并且给出了收敛阶的估计，

这些结论拓广了该领域的研究成果。

本文结构如下：第二节针对研究的对象进行了描述，并给出了两个常见的引理；第三节建立了所描述方程

的隐式差分解法并进行了方法的稳定性分析；第四节给出了方法的收敛性分析和收敛阶的估计；第五节总结了

结论与展望。

2. 问题描述

本文针对带分数阶时间空间导数的双边空间微分方程建立隐式差分解法并进行理论分析，研究如下方程：

 













uxtuxtuxt uxt

bxtc xtcsxt





 

 











(1)

这里，0。其中LxR tT 01



，12





，





,bxt，





,cxt

，





,cxt

均为非负有界函数，并且假定

初始条件：，以及边界条件



,0t f



xuxL x R









,,Rt 0ux Ltux



 。

方程(1)右端的左边(+)以及右边(–)的分数阶导数为 Riemann-Liouville 分数阶导数。按如下方式定义[10]：









d1d d

fx f

















 

 (2)

和















nnR

fx f

















 

 (3)

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法

这里是正整数，并且满足

n1nn



 。

方程(1)左端的



,uxt





由Caputo 分数阶导数给出定义[18]：







uxt ux















 

 (4)

这里是 Gamma 函数。





根据 Grünwald 估计，为了得到稳定的数值方法[9]，定义左右两边分数阶导数分别按如下形式近似(Shifted

Grünwald)：

 

lim 1

fx kh







 













 (5)

和



d() 1

lim 1

fx kh







 













 (6)

这里

，

均为正整数，





，Rx



，











1,1, 1,2,

gg k

 



 



。

引理 1. 上式定义的 k

满足如下条件：

1) ，2)

01g10g



  ，3)











 



 

, 2

。

对于引理 1，结论(1)、(2)是显然的，下面只说明结论(3)。

因为1



，所以 0



，10



 ，0k





，。从而有 2k

  















 

11 121

111

12 1

kkk

gkk



 

 



 

 

 

 







0 

引理成立。对于，根据二项式定理，有











 1z











1z。令，有





。由引

理1知

10, 1

, 1,2,,



 

m (7)

3. 隐格式的建立及稳定性分析

先建立方程(1)在前文所述初边值条件下的隐格式并通过圆盘定理证明该差分格式是无条件稳定的，并将采

用另一种方法来证明格式的稳定性及收敛性，并给出收敛阶的估计。

引入步长 h，时间步长



，则有 , 0; ,0, 0,1,,, 0,1,,

LjhhtnjmnK



 

。其中

TRL





 

。因此 i

Lx R



。记为逼近





uxt



的近似解。类似地，记







iinii

bbxtc cxt



及



sxt。对于



uxt





，







t，用 shifted Gr ünwald形式的逼近，有如下表达式[9]：



,11,

nki n

uxt

ux khth















(8)

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法



,11,

nki n

uxt

ux khth















(9)













1111

jnjnj n

uxtuxtux th



 





(10)

对于时间分数阶导数有如下估计[18]：



















 

1111

in i

ij ij

ninjinj

uxt ux

uxt uxt

uxtuxt jj





















 















 







 







 



















(11)

故可对方程(1)建立如下的隐格式：

 

111

11 11

1111

1,1 ,1

nj nj

nii

nn imi

nnnn

ikiikki

bgcugcu









 





 

















 









iki



(12)

易知，该方法是相容的，其舍入误差为









。若记













11 1

22 2

nn n

ii i

iii

cc b























 

 

 







则有



11111

11 1

000

nimi

nj njnnnnn

iiiiii kiikkiik

jkk

uujjrurugugu s









 

 





 





(13)

记



cj j





 ，则当时有 0n



021 1120

1101

iii iiiiiiii

imi

kiikkiikii



gurggu rggu

guguu s

 









 



 

 

 (14)

当时有 0n





021 11201

11 1

111

11 1

33 1

iii iiiiiiii

imi n

nn nnj

kiikkiikij inii

kk j

ggurggu rggu

ugu uducu



 







 

 

 

 

 

 

 





(15)

其中

 

dj jj









，。方程(14)，(15)又可改写成 12j n

10 1

1110

nnn n

DU US

DUdUdUdUcUSn



 



 







 (16)

其中，，

,,,

nnn n

Uuuu





T

0, ,,,0

nnn

Sss











0,, ,,0

ffxfx













。

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法

而具有以下形式：



1, ,1;1, ,1;

Dim jm

iii

iji i

iji

ji i

rg gji

Dggji











 









  

















当

当

其中，，；

00 1D00

D1,2,,jm1



，0



，0,1, ,1jm



。

定理 1. 逼近方程(1)的隐格式(16)在01



，12





时是无条件稳定的。

证明. 根据Gerschgorin定理，以及引理1，知当 10g





 。时，矩阵的特征值位于个圆

的并集，圆心为

0, 1

gk Dm

,ii









iiiiiii i

Dr gr





  



而半径

 



0,0, 10, 1

mimi

iikikikiiiiii

kkikkkk

Dggrrggr

 





  

  



利用(7)，矩阵的特征值满足

Diii ii



，因此





112 2

ii r





 ，的谱半径不小于

1，因而的谱半径不超过1，从而稳定性得证。

D

下面用另一种方法给出隐格式关于最大模的稳定性分析。

引理 2. 上面所定义的



cj j





 满足以下条件

1) ， 0, 0,1,

cj 

2) ，

1,0,1,

cc j





3) ，即。



22 1

jj k

cc c









 

1

22 1









 



对于(1)，(3)是显然的，(2)利用单调性也可以得到。令











11 1

10211120

nn n

iiii iiiiiii

imi

kiikkiik

Luggurgg urggu

gu gu

 



 1









 



 

 





210

22 0

innj

ijini

Lu uducun





























当

当

(14)，(15)可以改写为 11

12 ,0,1,2,,

nnn

iii

LuLusnK











K

。

设是由(14)，(15)计算的近似值，则误差(扰动)

满足



121 12

iimj

u



121 12

uimj  









0121 121

LLnKi m





记，则可导出下面的定理

12 1

kkk k















定理 2. 误差满足

E1001 ,1

EEn K





，其中 11

max



 

。

证明. 用数学归纳法。

1) 当时，0n1

max



 

，利用引理1，我们得到

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法



 

111 11

021112011

1111

021 1120111

lml

lllllllllllllk lklk lk

lml

llll lllllllkllkkllk

ggrggrgggg

ggrgg rgggg

 



















 

  

 













2) 假设 0012

EEk



n成立，则 11

max





 





，利用引理 1，有



 

11111

021112011

1111

021 1120111

lml

nnnnn

lllllllllllllklklk lk

nnnn

lllllllllll kllkkllk

ggrgg rgggg

 

 



 









 





 













11 0

12 1

100

nnn nj

ll ljlnl

LL dc

dcE E



 

















 



 







定理得证。

由上述定理知格式(16)无条件稳定。

4. 隐格式的收敛性分析与收敛阶估计

下面进行收敛性分析。令是方程(1)在相应初边值条件下于点





,1,2,,1;1,2,

uxtim kK









t的

精确解。定义



,1,2,,1;1,2,

iiki

euxtuimkK 并且T

12 1

,,,

kkk k

Yee e













，则有如下表达式

LeLe R













其中。记为局部截断误差，则存在常数，使得 1, 2,,1;0,1, 2,imkK

R0C



1, 1,2,,1;0,1,2,1

RC himkK





 

定理 3. 误差满足



11kk

YCch0,1,2, ,1k







 K，



。这里 11

max

 

，C为正常数。

证明. 用数学归纳法。

1˚ 当时，令 0k1

max

 

1

e，利用引理1，有



 

111 11

021 112011

1111

021 1120111

lml

llllllllllll lklklklk

lml

lllllllllll kllkkllk

eggergg erggegege

ggerggerggegege

Le Le

 

 















  

 











RRC h





 

注意到，因此

01c



YCc







h。

2˚ 假设



0,1,2,

YCc hn







k成立，下面估计

max





 



利用引理1，有

张阳，王瑞怡  一类分数阶导数微分方程的隐式差分解法



 

11 111

021 1120111

11111

021 1120111

lml

kk kkk

llll llll llllslslsls

kkkkk

llllllll lllsllsslls

gerggerggege ge

ggergge rggegege







 

 











 

 













kkk

lll

kkj

ljlkl

kkj

LeLe R

edeceC h

YdYCh



























 

 



利用引理2，，因此









1,1,2,

YCc hj







k，由上面表达式可得



 

11k

ed Cch









 

1 1

22 k

ijkkk

cCch







 





 







故



11kk

YCc







h定理得证。

根据定理 3，并注意到



lim lim

ckk



lim 1

kk k

kkk







 











 







，因此存在常数 C

，使得



11kk

YCc h









，因

为kT



，进而





YCT







h，从而有下述定理。

定理方程(1)在相应初边值条件下在点4. 假设 ,1;1,2,m kK 是



,1,2,

uxt i



t处的精确解。

是

u隐格式(16)所得到的数值解，则存在正常数 C



，使得







,, 1,

ik i

uxtuCh i





 2,, 1; 1,2,m kK 

注：由定理4知该数值方法的误差估计达到最优阶。

5. 结

分数阶导数微分方程的时间导数推广到分数阶，建立了一种隐式差分求解格式并进行了相

应的

论与展望

本文将双边空间

理论分析，得到了格式的无条件稳定性及丰满的一阶时间和空间的收敛阶逼近。所得结论亦可推广到方程

右端项包含更为复杂的情形，如











  

xt uxt uxt

cxtcxtdxy uxtsxt

txx







  







所采用的方法也适用于高维空间情形，至于高维问题如何进行算子分裂尚有待探讨。最后，作者对审稿人对稿

参考文献 (References)

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uxt u

b xt



 



件提出的修改意见表示感谢。

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