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Smart Grid 智能电网, 2013, 3, 85-90
http://dx.doi.org/10.12677/sg.2013.33015 Published Online June 2013 (http://www.hanspub.org/journal/sg.html)
Nonlinear Robust Excitation Control Based on
ESO-Backstepping Method
Zhihan Zhang
School of Control and Computer Engineering, North China Electric Power University, Baoding
Email: 125615140@qq.com
Received: Mar. 1st, 2013; revised: Apr. 2nd, 2013; accepted: Apr. 14th, 2013
Copyright © 2013 Zhihan Zhang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre-
stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract: In this paper, the nonlinear robust excitation control of synchronous generator based on the ESO and back-
stepping method is proposed. The model uncertainties are compensated by constructed ESO, and the nonlinear parts of
the model are retained for using back-stepping design method. Stability control of compensated system is designed us-
ing the method of back-stepping. The whole system problem is resolved into low order subsystems design. A simulation
case study has carried out on one single machine infinitive bus system by using the Matlab/Simulink software platform.
The proposed method has strong robustness, its parameters are easy to select, and static and dynamic characteristics
have been verified.
Keywords: Extended State Observer (ESO); Back-Stepping Method; Nonlinear; Excitation Control
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制
张之涵
华北电力大学控制与计算机工程学院,保定
Email: 125612140@qq.com
收稿日期:2013 年3月1日;修回日期:2013年4月2日;录用日期:2013 年4月14 日
摘 要:本文提出了一种基于 ESO和逆推法相结合的同步发电机非线性鲁棒励磁控制方法。通过构造 ESO 对
模型不确定部分进行补偿,并保留了模型中有利于运用逆推法设计的非线性部分。利用逆推法对补偿后的系统
进行严格的稳定控制律设计。整个系统的设计问题转化为若干低阶子系统的设计,逐步利用李亚普诺夫函数得
到使整个系统渐进稳定的反馈控制律。通过仿真验证,该方法鲁棒性强,参数易于选取,具有良好的静、动态
品质。
关键词:扩张状态观测器;逆推法;非线性;励磁控制
1. 引言
发电机励磁控制是影响电力系统的稳定性的一
个重要因素。由于电力系统本质上是一个非线性系
统,为克服基于线性化的励磁控制方法的缺陷,人们
相继引入了基于微分几何理论的直接反馈线性化[1]和
逆系统[2,3]等方法。但是,以上方法均建立在对象模型
是精确的基础上,不具备参数鲁棒性。扩张状态观测
器(extended state observer, ESO)的出现为人们寻求具
有鲁棒性较强的控制规律提供了一条新的思路。近年
来,ESO已被广泛地应用于电力系统的各个领域[4-6]。
文献[7] 提出了一种基于微分几何理论设计的自抗扰
励磁控制器。由于对系统非线性部分进行了完全补
Copyright © 2013 Hanspub 85
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制
偿,不但未充分利用系统的信息,而且加大了ESO的
补偿负担,从而降低了控制器的动态品质。此外,通
过逆推构造李雅普诺夫函数与其他方法相结合设计
的具有强鲁棒性的非线性控制器在电力系统中的应
用亦越来越受到人们的重视[8-10]。文献[11]通过引入自
适应参数,运用含有滑模函数的扩展李亚普诺夫函数
设计了具有较强鲁棒性的控制规律。但该方法推导过
于繁杂,且自适应参数不易选取,不便于推广到工程
实践中。本文提出了一种ESO和逆推法相结合的非线
性鲁棒励磁控制方法。逆推法又称回推法或反演法,
它通常把李亚普诺夫函数的选择和反馈控制律的设
计结合在一起,得到使整个闭环系统渐进稳定的控制
输入[8]。本文通过构造ESO对模型不确定部分进行补
偿,并保留了模型中有利于运用逆推法设计的非线性
部分。利用逆推法对补偿后的系统进行严格的稳定控
制律设计。该方法可以将整个系统的设计问题转化为
若干低阶子系统的设计,逐步利用李亚普诺夫函数得
到使整个系统渐进稳定的反馈控制律。仿真表明,该
方法鲁棒性强,参数易于选取,比基于微分几何理论
设计的自抗扰励磁控制器具有更好静、动态品质。
2. 单输入单输出系统的扩张观测器构造
2.1. HHT基本原理
受到未知外扰作用的非线性单输入单输出系统
表达式为:
 

 
1
,, ,
nn
x
fxxtwt btut

 (1)
式中:


1
,, ,
n

f
xx t

为系统非线性部分,w(t)为未
知外扰,u(t)为系统输入。若 b0为在系统稳态时的取
值,则式(1)可以改写为:
 




 
1
00
,, ,
nn
x
fxxt wt
btb utbut


 

(2)
记
 




0
atfwtbtb ut
 

12
23
010
1
1
nn
n
xx
xx
x
a tbu txbu t
xt
yx









 










(3)
令v = b0u为系统的虚拟控制输入,构造扩张状态
观测器为:




1
1211
2322
1
111
nn nn
nnn
zy
zz g
zz g
zz g
zg















v










(4)
则




10n
utvzb

 (5)
3. ESO-逆推非线性鲁棒控制法
考虑如下非线性单输入单输出系统:


x
fxbu d


 (6)
式中:x为n维状态向量;f(x)为非线性部分;u为控
制输入;
d为未知外扰;f(x),b,d均为n维匹配向量。
对上述系统建立如下模型:


ˆll

x
fx buxfxbu
 (7)
其中,

 

T
23
T
11 21212
,,,0
ˆˆ ˆ
,,,,,,,
l
ln
xxx
ffxfxxfxxx



n









(8)
于是式(6)可写成如下形式:


ˆl
xfxbud


 (9)
式中:




ˆ
l
f
xfx 为式(6)的模型误差。式(9)可
以进一写成:
为式(1)的总
扰动,它表示系统的内扰和外扰总和。令


1
x
xt



00
0
ˆ
ˆ
l
xfxbubbud
fx bu


 



(10)
,

2
x
xt


1n
n
,…,
x
xt



,并将 a(t)扩张为第 n +
1个状态变量,有


1n
x
tat
,并令



t

at
,
则系统的扩张状态方程为:
式中:,为系统稳定运行时的b(t)

T
0
0, 0,,n
b

l
d

00
b
b
值;

为扰动总和,且 各分量 有界,即
i

Copyright © 2013 Hanspub
86
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制

2 ,
in ,i
1,
i
i



为常数。
对式(10)分两步进行控制设计。首先,对于已建
模部分:
 
0ll l
x
xf bufxv 

x
入。
(11)
式中:v为虚拟控制输 对任一子系统

112
,,,
ii ii
x
xfxx x


引入适当的虚拟反
拟控制量 1ii
x
馈

1, 2,,1
iin

,若

虚

,则
渐近稳定。一般 统不满足
1ii
x
系统
的前 i个状态 xi能够 地,系

。因而,定义跟踪误差 11iii
ex


,通 过 控
,迫使xi+1 与虚拟反馈制的作用 i

渐进稳定,最终使
得整个系统渐近稳定。
其次,对于式(10)中的不确定扰动总和

的各分
量i,分别构造二阶 ESO,得到其估计值 ,在虚
拟控制量中 i
ˆi


计入 ˆi
,分通道进行实时补偿[11]。二
阶ESO 取 下形式:
zx



如


(12)
其中,
(13)
取非线性校正函数 为:


1
12 11
222
ˆ,
iii
iiii iii
iii
zz fxx g
zg


 





12
,,
i
x
,1
,i
pi


1
0
1
i
i
n
xin
vbun







1, 2
i
gp




1,
p
sign ,
p
i
i
pi i
iii
g














(14)
则 的估计值为。
为:



T
21 2
ˆ,,,
n
z 
22
zz
控制输入最后,系统的 u

20nnn
uvz b (15)
4.
励磁系统数学模型
单机无穷大系 型取为:
非线性鲁棒励磁控制器设计的方法
统励磁模

4.1.

0
m
1
00
1
11
1e
2
qqf
dd
PP
H
EEEd













(16)
其中,
22
11
D
HH
TT


e
sin
qs
d
EV
Px


2




式中:
(17)
为模型误差;d为未知外扰; 1

1

,2

、2

及d均有界。令


10
2
3
1
e
x
x
xP
0








式中:
(18)
0rad314 s


。
联立式(16)、式(17)及式(18)有:


12
2m23
3023 010
11
222
xx
D
xPxx
HHH
x
cotxxxv wt












(19)
其中,


0
0
0
0
0
00
1
22
sin
sin sinsin
sin cotsin
s
dd
f
qs
s
f
dd dd
ss
dd
vbu
V
bTx
uE
EV
V
wt E
Tx Tx
VdV
xx

 

 












 







(20)
由于


1

、2

及d为有界量,故w(t)为有界量。
4.2. 励磁系统非线性鲁棒控制器设计
定义跟踪误差 1
111r
exx x

。取李亚普诺夫 函
数2
11
12Ve,则:第一式代入 中,
。
111
Vee
。把式(19) 1
V

有112
Vex若



2111
0xkek

,则: 11
1
Vke
2
不一定满足
0
x2
1
,
中,闭环误差e1渐进稳定。但实际系统
上述关系,故引入虚拟控制量 ke
11

 ,定义跟踪误
差2
e21
x


,则
2
1112
eee (21)
除e李亚普诺
1
Vk

为了消对 的影响,取夫函数
21
V

2
2
212
14
22
bb ac
VV ea
 
 ,则
Copyright © 2013 Hanspub 87
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制

22
211 22111222
keee keeeex
12
V ee1

  


 (22)
把式(19)中第二式入 中,有
,2
ˆ
wz

2
V

211D
keeePx x
21
1122 m231
22
2
V e
HHH


 




(23)
若


0
3m 211222
222xPDxHHeHkek

 

22
21122
0Vkeke 。闭环误差 e1,e2渐进稳定。
拟控制量
21122
222PDxHHeHke
则
但


实
2m
际系统中与上述同理,故引入虚


 
,定义跟踪误差
332
ex

,则
22
21122 2
1
2
Vkeke e
3
e
H
 
 (24)
同理,取 2
32 3
12e,则 VV

22
31122 2333
2
e
2
11 2 22 3332
1
2
1
2
Vkeke eee
H
kek eeeex
H

 
 



(25)
把式(19)中第三式代入 中,有

3
V




22
31122 23
302301 02
1
2
cot
Vkekeee
H
exx xvwt

 
 
 


(26)
取


0231 0
cotvxx x
0 2
233 3
1ˆ0
2ek
ew k
H



 

(27)
则
(28)
式中: 是的实时估计值。
对于 可以运用式(12),通过构造二阶
进行实时观测:
其中
 

222
31122333 ˆ
V kekekeeww 

ˆ
ww
ˆ
wESO 对w



13
1202301011
cot
zx
zz xxxg
zg




 




0
bu
(29)
22
2

,
 
1,
sign ,
i
i
i
g















1, 2i


(30)
式中:。显然,只要适当的选取ESO
的参数 12
,,
12
,,


31
V k

22
122
ekek
,就能使 快速收敛于
而使
2
zw,从
2
33
0e

  
。系统式(19) 环误
差方程为
1
2
的闭
111
22
33
r
exx
ex
ex










(31)
渐近稳定,最终收敛于原点。致使系统式(19)在
后,
(27)可以得到 的
:
遭受扰动 最终能稳定在平衡状态。
由式 单机无穷大系统式(16) 励磁
控制律





30 e
1
032220
0
e222
,, , , ,fP z
  

由2m 211
222PDxHHeHk
1
1c
ot 1
2
2
f
Ek P
H
kkz
H
 
 


 





2
b



 (32)

2
e



 
,可知式
(32)中包含的虚拟控制量

2m
,,gP


。因此,
构成 Ef的各自变量易于测取,而 2

则采用非线性微
分跟踪器TD 来提取。
5. 仿真分析
本文发电机采用六阶详细模型进行模拟。
经变压器及两回输电线接入无穷大系统。系统接线如
图1所示。
仿真系统参数具体如下:xd=1.035,
发电机
d0.296x


,
d0.252x



,x=0.474 , ,
qqd0
0.243x 4.45 s

T

,
d0 0.06sT



,q0 0.1 sT



,H = 3.2 s,D ,
xL = 0.13。
运行状态:Pe0 = 0.75,δ0 = 19.4˚。
i 取2~5,本文中 k1 = 2,k2 = 2,k3 = 3,
ESO < 1,本文中
= 0 s,xT = 0.16
发电机稳定
由于采用详细的汽轮发电机模型,根据文献[12],
发电机的机械阻尼一般 D取为 0 s。逆推法中的参数
ki(= 1,2,3)建议
中的参数 αi(I = 1,2)一般满足0 ≤ αi
Figure 1. Sing l e line diagram of the studied power system
图1. 单机无穷大系统连接示意图
Copyright © 2013 Hanspub
88
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制
取α1 = 0.5,α2 = 0.25。β1、β2及ε参考文献[13],取β1
= 100,β2 = 300,ε = 0.01;TD 参数:r = 100。
本文考虑以下两种扰动形式,并分别和装设有
PSS 的PID 励磁控制器及基于微分几何设计的自抗扰
励磁控制器的系统进行比较。
1) 系统在稳态运行时,原动机输入功率Pm突然
升高 20%,1s 后功率恢复初始水平;发电机机端电压
U,2
至图 5所示。
功角 δ,转速 ω,输出功率 Pe的响应曲线如图
在图 2至图 5中,装设有PSS 的PID 励磁控制器
01 23 4 5
0
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1
1. 2
1
.
4
t/
U/p u
PID+PSS
DG-ADRC
ESO-BS
Figure 2. Voltage response curve for generator
图2. 发电机机端电压响应曲线
0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
20
25
30
t/s
δ/(°)
PID+PSS
DG-ADRC
ESO-BS
Figure 3. Power-angle response curve for generator
图3. 发电机功角响应曲线
012 3 4 5
0.997
0.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
t/s
ω/pu
PID+PSS
DG-A DRC
ESO-BS
Figure 4. Speed response curve for generator
图4. 发电机转速响应曲线
的响应曲线用细虚线表示,标注为 PID+PSS;基于微
分几何设计的自抗扰励磁控制器的响应曲线用粗虚
线表示,标注为 DG-ADRC;本文设计的励磁控制器
的响应曲线用实线表示,标注为ESO-BS。以下同。
2) t = 1.1 s 时,发电机变 压器出口处发生三相对地
短路,故障时间持续 0.1 s。发电机机端电压 U,功角 δ,
转速 ω,输出功率 Pe的响应曲线如图 6至图 9所示。
0 123 4 5
0.
1
.
1
7
0. 8
0. 9
1
t/s
Pe/pu
PID+PSS
DG-ADRC
ESO-BS
Figure 5. Power response curve for generator
图5. 发电机输出功率响应曲线
00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t/s
U/p u
PID+PSS
DG- ADR C
ESO-BS
Figure 6. Voltage response curve for generator
图6. 发电机机端电压响应曲线
40
00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 5
0
5
10
15
20
25
30
PID+PSS
DG-A DRC
35 ESO-BS
δ/(°)
t/s
Figure 7. Power-angle response curve for generator
图7. 发电机功角响应曲线
Copyright © 2013 Hanspub 89
基于 ESO-逆推法的非线性鲁棒励磁控制
Copyright © 2013 Hanspub
90
00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 5
0. 985
0. 99
0. 995
1
1. 005
1. 01
1. 015
t/s
ω/pu
PID+PSS
DG-ADRC
ESO-BS
Figure 8. Speed response curve for generator
图8. 发电机转速响应曲线
00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 5
-1
-0. 5
0
0. 5
1
1. 5
2
2. 5
t/s
Pe/pu
PID+PSS
DG-A DRC
ESO-BS
Figure 9. Pow
图9. 发电机输出功率响应曲线
上述仿真结果表明,无论是系统在遭受到小扰动
还是大扰动,在扰动消失后,逆推自抗扰励磁控制
和基于微分几何理论设计的励磁控制器均能使系统
快速进入稳定运行状态。在小扰动下,本文研究的
制律与基于微分几何提出的励磁控制律相比,发电机
机端电压、功角、转速和输出功率具有更小的超调量
和更短的调节时间。与装设有 PSS的PID 励磁控制
相比较,电压的调节效果稍差。其原因为,PID 中存
在电压反 文的方
仅对功角、转速和输出功率进行约束,电压的稳
则是
有利于系
统的
决了以往自适应逆推法推导繁杂
数不易选取的问题,得到鲁棒性较强,动
非线性励磁控制律。仿真表明了该方法
的有
控制方法[J]. 中国电机工程学报, 2004, 24(7):
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er response curve for g en e ra t or
器机控
控
40
器技术
馈回路,能直接抑制电压波动;而本
法定 [1
依赖这三个量的稳定来间接实现的。
在三相故障的大扰动下,本文研究的控制律明显
优于装设有PSS 的PID 励磁控制器。与基于微分几何
理论提出的励磁控制律相比,系统各个状态量的超调
量基本相同,但本文的方法有更短的调节时间,而且
故障消失后,机端电压恢复时间为0.1 秒,比基于微
分几何理论提出的励磁控制律要短得多,更
暂态稳定性。
6. 结论
本章研究的非线性励磁控制器设计方法结合了
ESO 和逆推法的优点,构造 ESO 对模型误差及未知
扰动进行补偿,充分利用了模型的部分信息,减轻了
ESO 的估计负担,解
及自适应参
态品质更优的
效性。
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