 Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2013, 3, 165-172 http://dx.doi.org/10.12677/csa.2013.33029 Published Online June 2013 (http://www.hanspub.org/journal/csa.html) Design Deformable Pyramid Transform via SVD Approach* Chuntao W ang1,2, Dong Zhang2 1College of Information, South China Agricultural University, Guangzhou 2School of Information and Science Technology, Sun Yat-Sen University, Guangzhou Email: wct2006@gmail.com Received: Mar. 2nd, 2013; revised: Mar. 17th, 2013; accepted: Apr. 9th, 2013 Copyright © 2013 Chuntao Wang, Dong Zhang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: This paper presents a deformable pyramid transform (DPT) with shift-invariance, steerability, and scalability. This DPT is extended from a numerical steerable pyramid transform (SPT). We take each steerable basis filter of the SPT as the kernel. For each kernel, we employ the singular value decomposition (SVD) approach to construct scalable basis filters and their corresponding interpolation functions. These scalable basis filters are used as analysis filters of the DPT. Its synthesis filters are then theoretically derived under the constraint of perfect reconstruction for analysis and synthesis filters. In addition, we theoretically derive the interpolation function for steerability, and quantitatively ana- lyze the relationship between the number of scalable basis filters and the reconstruction performance. Numerical simu- lations demonstrate that the proposed scalable basis filters satisfy the constraint of perfect reconstruction. Also, it is ob- served that merely using half of the number of scalable basis filters can approximate the optimum reconstruction per- formance at a cost of reconstruction error within 1 dB. Keywords: Wavelet; Pyramid Transform; Steerability; Deformability; Perfect Reconstruction 基于 SVD 方法设计几何变形可控的 金字塔变换* 王春桃 1,2，张 东2 1华南农业大学信息学院，广州 2中山大学信息科学与技术学院，广州 Email: wct2006@gmail.com 收稿日期：2013 年3月2日；修回日期：2013年3月17 日；录用日期：2013年4月9日 摘 要：本文设计了一种具有平移不变性、方向和尺度联合可控特性的金字塔变换，称为几何变形可控金字塔 变换(DPT)。此 DPT 从一种数值形式表示的方向可控金字塔变换(SPT)发展而来。我们以 SPT 的每一个方向可控 基滤波器作为核函数，并通过奇异值分解(SVD)设计针对该方向的尺度可控基滤波器和插值函数。我们以此尺度 可控基滤波器作为DPT 的分析滤波器，进而在理想重构约束下通过理论推导得到DPT 的综合滤波器。另外， 我们还通过理论推导获得了实现方向可控特性的插值函数，并通过定量表达式分析了采用不同数量的尺度可控 基滤波器时对DPT 重构性能的影响。数值仿真表明，本文设计的尺度可控基滤波器能满足理想重构约束，且能 在误差不超过1 dB 的情况下以一半数量的尺度可控基滤波器逼近最优重构性能。 关键词：小波；金字塔变换；方向可控；几何变形可控；理想重构 *资助信息：国家自然科学基金(61202467 和61100170)、教育部留学回国人员科研启动基金、华南农业大学校长基金、中央高校基本科研业 务费中山大学青年教师培养项目(12lgpy37)。 Copyright © 2013 Hanspub 165  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 Copyright © 2013 Hanspub 166 1. 引言 自从上世纪八十年代小波(wavelet)问世以来，由 于其良好的时频局部性，得到了广泛深入的研究[1]。 尽管小波基函数是由核函数的平移和缩放得到的，它 们却对平移非常敏感[2]。 为解决这个问题，很多研究人员提出了传统小波 的变种。如文献[3]中，Freeman 和Adelson首次基于 高斯核函数的n阶偏导数构造了方向可控(steerable) 滤波器。利用这些滤波器，通过简单的线性插值便可 得到任意方向的滤波器，使得信号旋转前后生成的滤 波器响应系数间能构成简单的线性关系，从而解决了 传统小波对几何操作敏感的问题。Freeman 和Adelson 将这种特性称为方向可控特性(steerability)。他们还进 一步研究了方向可控特性的充分必要条件，并展示了 它们的具体应用。方向可控滤波器在文献[4]和[5]进行 了理论分析和证明。 随后，Perona 构造了尺度可控(scalable)滤波器[6]， 用于生成一定尺度范围内的任意滤波器。类似于方向 可控特性，他将此称为尺度可控特性(scalability)。此 外，Perona 还将方向可控和尺度可控特性结合起来， 提出了几何变形可控(deformable)滤波器，以通过线性 插值生成任意方向和某一给定范围内任意尺度的滤 波器。 文献[2]中，Simoncelli 等人构造了更为一般化的 几何变形可控滤波器。他们首先展示了传统小波变换 对平移的敏感性，然后提出了位移可控(shiftable)的滤 波器，使得通过线性插值能获得任意平移位置的滤波 器。他们将此特性命名为位移可控特性(shiftability)。 类似地，他们发展了方向可控和尺度可控滤波器，以 解决传统小波对旋转和缩放敏感的问题。对于这些位 移、方向和尺度可控特性，他们统一用“shiftability” 来表征。为便于区别引用，本文称为几何可控特性。 其中，在方向和尺度上的几何可控特性分别等同于文 献[3] 和[6]中提出的方向可控特性和尺度可控特性。 Simoncelli 等人进一步指出，除了可以在位移、方向 和尺度方面独立地获得几何可控特性外，还可以在这 三个方面的部分组合(如位移和方向)中同时获得可控 特性，即获得联合可控特性。为对这些概念和理论进 行示例，他们设计了一种具有平移不变性和方向可控 的金字塔变换(steerable pyramid transform, SPT)。 除了上述介绍的概念和理论外，尚有为数不少的 研究人员致力于几何可控滤波器的具体设计与实现。 文献[7]中，Karasaridis 和Simoncelli 首先分析了理想 重构和方向可控约束下SPT 所需满足的条件，然后基 于这些约束用数值优化方法设计了一类具有平移不 变性和方向可控特性的SPT。此外，文献[8 -12] 根据 各自的实际应用需求设计了不同的SPT。文献[13-16] 则对几何可变形滤波器的优化设计与实施展开了大 量的研究。 由于方向可控、尺度可控、几何可控滤波器的良 好几何特性，使得它们得到了广泛的应用。如根据文 献[3,6,10,12,13]，方向可控滤波器可用于局部方向分 析、角度自适应滤波、轮廓检测、基本视觉结构特征 (如特征点、线、边缘 、纹理 等)的提取。此外，文献 [2]利用 SPT 进行三维视觉匹配、图像增强等。除此之 外，SPT还被应用于鲁棒数字水印领域以抵抗旋转攻 击，如文献[17]所示。尽管文献[17]能鲁棒地抵抗几何 攻击，但它采用的 SPT 不具备尺度可控特性，因此无 法抵抗缩放攻击。 旋转和缩放攻击是鲁棒数字水印的常见攻击，而 且如何鲁棒地抵抗包括旋转、缩放、平移等在内的几 何攻击仍然是鲁棒数字水印领域具有挑战性的问题 之一。而若要同时抵抗旋转和缩放攻击，则所采用的 可控金字塔变换必须同时具备方向和尺度可控特性， 且需同时具备分析和综合滤波器。根据上面的文献简 述可知，方向可控滤波器只具备方向可控性，但不具 备尺度可控性。虽然文献[6,13-16]中设计的几何变形 可控滤波器同时具备方向和尺度可控性，但它们并不 没有综合滤波器，因此不适合用于鲁棒数字水印等需 要综合滤波器的场合。据我们对文献尽可能多的了解 和掌握，在相关文献中并没有同时具备方向和尺度可 控性的金字塔变换。出于抵抗鲁棒数字水印中旋转和 缩放攻击的目的，我们设计同时具备方向和尺度可控 性的金字塔变换，即为几何变形可控金字塔变换 (deformable pyramid transform, DPT)。虽然我们的出发 点是着力于解决鲁棒数字水印中的旋转和缩放攻击， 但所设计的DPT 将同样适用于图像去噪、图像增强等 领域中。 如前所述，文献[7]中设计的 SPT具备平移不变性 和方向可控性。受此启发，我们以该 SPT 作为 DPT  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 设计的基础，即我们需要在SPT 的基础上进一步设计 尺度可控基滤波器。为此，我们借鉴[6]中构建尺度可 控基滤波器的思想，将SPT 中对应方向 k 0, 1,k k 的方向可控基滤波器 拓展为尺度可控基 滤波器，并将它们用作 DPT 的分 析滤波器。这样，我们可以利用 插值出方向 ,1K kj i B C 0,1, ,1Cj J kj 下 某一尺度 0 的滤波器 , k C 。进一步利用方向可 控特性，我们可以将各不同方向的 , k C 经由线性插值 得到任一方向 和尺度 的滤波器 , C ，从而获得方 向和尺度联合可控特性。其次，根据已设计得到的尺 度可控滤波器 ，我们分析理想重构所需满足的约 束，并经理论推导得到DPT 的综合滤波器。综上可知， 我们设计的 DPT 继承了 SPT 的非亚抽样结构，即不 对高频子带和尺度子带(即尺度可控基滤波器的响应) 进行亚抽样，因而具有平移不变性。综上可知，我们 设计得到的DPT 具有平移不变性、方向和尺度联合可 控性。 kj C 鉴于 的数量不少，有可能需要较多的插值运 算量。为了能在重构性能和运算量之间得到较好的折 衷，我们进一步定量地分析尺度可控基滤波器数量与 重构性能之间的关系，以便能在一定的误差范围内选 择合适的基滤波器数量。 kj C 为了评估所设计DPT 的合理性，我们进行了数值 仿真。仿真结果表明，基于 DPT的重构性能等同于所 采用的 SPT 的重构性能，即尺度可控基滤波器能满足 理想重构约束。此外，仿真结果也表明，在采用一半 数量的尺度可控基滤波器情况下，仍然能以不超过 1dB 的误差而逼近最优重构性能。 2. SPT的约束与设计 本节简要回顾文献[7]中给出的SPT 所需满足的 约束及其设计实现。文献[7]中，Karasaridis 和 Simoncelli 考察了图1所示的 SPT 结构。其中， 0 H 和 0 L 为高通和低通滤波器； , x y 1K 1 L 代表频域 坐标向量。 和 0, , k Bk 分别代表方 向可控滤波器和窄带低通滤波器。为实现理想重构， SPT 需满足下列约束[7]： 1 222 2 001 0 1 K k k HLL B (1) 2 1 22 11 1 0 2 K k k LLB L H 0 L 0 H 0 L 0 B 0 B 0 B K-1 B K-1 L 1 L 1 2,2 2,2 Figure 1. Illustration of SPT[7]: Recursively insert the sub-system in the dashed box at the location of the filled circle results in a multi-layer pyramid transform. 图1. SPT示意图[7]：将虚线框内的子系统反复代入小圆黑点内， 可实现 SPT 的多层金字塔变换 1 π 0, 2 L (3) 为实现方向可控特性，SPT尚需满足下列条件： 1 cos . K kk BBj (4) 其中， 2 1 0 arg ,π,K kk k kKB B 。 由图 1可知，SPT 对高频子带和方向子带都没有 进行亚抽样，保持了相应子带的冗余性，因此具有平 移不变性[2,7]。此外， k B 满足约束式(4)，因 此 具有 方向可控性。也就是说，文献[7]中的 SPT 具备平移不 变性和方向可控特性。 在分析了 SPT 所需满足的约束后，Karasaridis 和 Simoncelli 采用数值优化方法来设计 SPT。为简化设 计，他们进一步设置 2，然后采用 BFGS 方法来优化设计数值方式表示的 SPT。他们设 01 LL 计了 1, 2KK 4和K 这三种具有不同方向选择性 的SPT，它们的滤波器频谱详见文献[7]。 3. DPT设计 本节设计具有平移不变性、方向和尺度联合可控 性的 DPT。如引言所述，我们可以基于数值形式的 SPT[7]来设计 DPT，如图2所示。具体设计如下。 3.1. 分析滤波器的设计 2 2 (2) 如引言所述，DPT 的分析滤波器 实际上是以 SPT 的方向可控基滤波器 为核 函数设计得到的一组尺度可控基滤波器。根据文献[2] 和[6]，不同尺度的滤波器实质上就是核函数的不同缩 放版本。因此，设计尺度可控基滤波器，本质上也就 kj C 0, , 1 k Bk K Copyright © 2013 Hanspub 167  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 H 0 L 0 H 0 L 0 C 00 D 00 C 01 C 0,J-1 D 01 D 0,J-1 L 1 L 1 2,2 2,2 C K-1,0 D K-1,0 C K-1,1 C K-1,J-1 D K-1,1 D K-1, J- 1 Figure 2. Illustration of DPT: Recursively insert the sub-system in the dashed box at the location of the filled circle results in a multi-layer pyramid transform 图2. DPT示意图：将虚线框内的子系统反复代入小圆黑点内，则 可以生成多层的金字塔变换 是设计一组不同尺度的滤波器，以便任意尺度的滤波 器都能通过这组基滤波器的线性插值而得到。因此， 设计的关键在于确定尺度滤波器的个数。虽然文献[2] 的理论中提供了确定基滤波器的个数的方法，但核函 数 k B 是以数值形式而不是封闭表达式表征的，因 此无法直接根据文献[2]的理论来确定基滤波器的个 数。对于以数值形式表示的核，文献[6]提供了一种通 过SVD 来获得基滤波器的方法。本文借鉴此法来设 计 ，具体如下所述。 kj C 根据 MatlabPyrTools[18]，文 献 [7]设计的 SPT 滤波 器最终表现形式为空域的数值滤波器，记为 , k bxy 0, ,1kK , k bx , kj cxy 。相应地，我们基于空域的方向可控 基滤波器 设计空域的尺度可控基滤波器 ，方法如下： y 1) 假定实际应用中所需的尺度范围为 12 , 12 0 。为使得尺度可控滤波器具有相同的倍 频程关系，对 12 , 先求对数得到 12 loglog , ， 再将其进行 等分并进行还原，得到对数步长为 1n 21 log log 1n的尺度集 1 log 2, i 。考虑到集合 0, ,1in 中并不必然包含 1 ， 为避免进行 1 的插值(如插值方向可控基滤波器 的情形)时引起不必要的误差，我们在集合 , k bxy 中强制加入 1 ，即 1 log 2,0,,1 iin 1； 2) 对 ，将 , k bxy进行如下的缩放： , kk bxybxy , (5) 3) 设 , k bxy L 的大小为 ，则 的大小 也为 LL , k bxy L 。将 ,y k bx 处理成 的向量，记为 21L T 1,1,,1,,,,1,,, kk kkk bbLbLbLL b 。 其中，“ ”代表矩阵的转置操作； T 4) 将k b放入矩阵 的第列，其中 为 k Z 0, ,ii n k Z 21Ln 的矩阵。重复步骤 2和3，直至所有 的 都处理完毕； 5) 对矩阵 进行 SVD分解，得到： k Z TT kk kkkkkk k ZUVWVWU (6) 其中， k 是 21Ln 的对角阵， 和分别是 k Uk V 2 LL 2 和 1nn1 的矩阵， ； k WU kk 6) 假定 k 中有 0min,1JJ Ln 2个非零 的奇异值，则尺度可控基滤波器可如下构建。首先 获得这 J 个非零奇异值的行列下标，记为 IND ,c ind i r nd ，然后次第取矩阵中对应的那一 列，接着将该列变成 k W L c ind L 的矩阵，最后将此矩阵作为 尺度可控基滤波器 yj ,1,0,J kj cx 。与此同 时， 中对应的那一行，就成为长度为 k Vr ind 11n 的插值函数 1J0,j, kj 。 对每个 , k bxy都执行上述的步骤，得到它们对 应的尺度可控基滤波器 和插值函数 , kj cxy kj 。 3.2. 方向插值函数及尺度/方向可控特性推导 我们首先根据几何变形可控特性的理论框架[2]推 导针对方向可控特性的插值函数 0, , k hk 1K 。根据该理论框架，插值函数只取决于核函数 的非零幅度的傅立叶频率分量，与其幅度大小无关。 由(4)式可知， ,1,, k bxykK1 均可由 0,bxy cosBj 1K 旋转一定角度得到，因此 0,bxy 可以作为方向可控基滤波器的核函数。此核函数的指 数傅立叶形式为： 1 π 2 0 π 1 1 2 12 1 1 ee ,e 2 e2 e ee e K jj j jjK K jKmjK mjm K bxy B B C (7) Copyright © 2013 Hanspub 168  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 其中， 为组合函数。因此，此核函数具有非零幅 度的傅立叶频率分量为 1 m K C 1,2, , K Kv。当 为奇数 时，v为0；否则，v为1。根据文献[2]，插值函数 K k h 满足下列的方程： 1π π 0 22π21π 1 33π31π 2 11π11π1 e1e e e1e e e1ee e1e e jv KK jv jvK jv jvKjv KK jK jKKjK KKK jK jKKjK KKK h h h h (8) 令(8)式左右两端的实部和虚部相等，解(8)式即可 获得方向插值函数 k h 。例 如 ，当2 K 时，可解得 0cosh 和 sin 1 h 。 利用尺度和方向插值函数，我们可以用公式表达 尺度和方向可控特性。首先考虑尺度可控特性。它表 现为利用 和 , kj cxy kj 进行线性插值得到任一尺 度 12 , 的方向滤波器 ，即有： , k bxy ,, kkjkj j bxy cxy (9) 相似地，对应方向可控特性的插值公式为： ,,, , kk k kkjkj kj bxyh bxy hc xy , (10) 公式(10)第一个等式体现了方向可控特性，第二 个等式则体现了方向和尺度联合可控特性。 若设 为DPT 第层的尺度基子带，则任一尺度 ,1,2,;0,,1;0, l kj qxylkK j l 1J 1 ,2 和方向 的子带可经 由方向和尺度联合可控特性得到，即 0, 2π ,, , l qxy ,, ,, l kkjkj kj bxy hqxy l . (11) 3.3. 综合滤波器的设计 对比图 1和2可知，DPT 实现理想重构所需满足 的约束如下： 12 0 J kj kjk j CD B . (12) 考虑到 3.1节中 kj C 及 k B 实际上都采用了 空域的表现形式，即和，因此综合滤 波器 , kj cxy , k bx y kj D 也采用空域的表现形式 。为此， 对(12)进行逆傅立叶变换得到： , kj dxy 1 0 ,, kj kj k cxydxybxy2 , J j 1 . (13) 令 ，则根据式(9)有 1 ,, 1, kkj kj j yb xyc xy . k bx 1 0 J kj j kj dx (14) 将(14)代入(13)，即得 11 00 ,, 1,1, kj JJ kj kjkm km jm cxydxy cxyc xy (15) 因此，DPT 的综合滤波器 可以设计如下： , kj dxy 1 0 ,1 1, J kjkm km m yc xy . (16) 4. 尺度可控基滤波器的数量与重构性能 如3.1 节所述，我们假定SVD 分解后得到 J 个非 零的奇异值，并全取这 J 个奇异值及其对应的 子 矩阵设计尺度可控基滤波器。利用这 k U J 个尺度可控基 滤波器，可以无误地恢复矩阵 。虽然这时的恢复性 能很好， 但当 k Z J 比较大时，无论是 DPT 的分解和重构 还是线性插值，运算量都将会比较大。为了降低运算 量，可以在适当牺牲恢复性能的基础上，减少尺度可 控基滤波器的数量[6]。为此，我们分析尺度可控基滤 波器的数量与 恢复性能的关系。 k Z 设将 SVD分解后的 J 个非零奇异值 j g 按降序排 列，即 01 1 J g gg ，则排序后的对角阵为 01 , ,,0,gg k Uk V diag k ,0 J 。依据 的排序下标， 相应地调整 和的行列顺序，以便和 k j g 一一对 应。现假定取其中 J0PP 个最大的奇异值及其 对应的 子矩阵来设计尺度可控基滤波器 k U ,cxy kj (参考 3.1 节)。由于SVD 分解后的和为 单位阵，因此利用 k Uk V yj ,0 ,, ,,P1 kj cx 1 恢复 时 的误差 ，实质源自于 k Z err P J g g 的误差，即 12 err J j jP g (17) 所以采用个尺度可控基滤波器时，的恢复误差 与其总能量的比值为[6]： Pk Z Copyright © 2013 Hanspub 169  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 Copyright © 2013 Hanspub 170 2 err ratiok k Z (18) 在采用 3.1 节的方法设计 DPT 时，我们设置 12 0.1,4.0,1000n 16J 。经 SVD 分解后，每一个 均有 k Z 个非零的奇异值。为获得良好的插值性能， 我们全取这16 个奇异值，因此针对每一个 y, k bx 得 到尺度可控基滤波器 ,0,,yj15 kj cx 。为评 估所 设计的 DPT 的重构性能，我们以前述的Lena作为测 试图像。在数值仿真中，我们对Lena 进行了 3 层的 DPT 变换，然后再进行3层的逆变换。我们在图 4(a) 和(b)中给出了 Lena的原图像及其重构图像，在图4(c) 和(d)中分别给出了高通和低通子带，并在图4(e)-(l)、 (m)-(t)和(u)-(II)中分别画出了 3层DPT分解后第 1、2 因此，我们可以利用(1 8)式得到不同 对应的 。基于此曲线图，我们就能在 可接受的误差 范 围内选取合适的 ，从而在恢复误差性能和计算复杂 度间取得良好的折衷。 P ratiok P 5. 数值仿真结果与分析 为评估本文所设计的DPT 的合理性，我们进行数 值仿真。在数值仿真时，我们以 MatlabPyrTools[18]中 提供的个方向的空域 SPT 作为 DPT 设计的基 础。此SPT 是用数值优化方式实现的，不能达到理想 重构[7]。为此，在评估 DPT 重构性能之前，我们首先 评估 SPT的重构性能。我们以 的灰度图像 Lena为例，利用文献[18]提供的 SPT 工具箱将其分解 为3层，然后再进行重构。Lena原图像和恢复图像分 别如图 3(a)和(b)所示。由图可知，原始图像和恢复图 像肉眼难于分出差别，但重构 图像的信噪比 (SNR) 为 38.99 dB，峰值信噪比(PSNR)为 44.64 dB。 2K 512 512 (a) (b) Figure 3. Illustration of reconstruction of the SPT[7]: (a) Original image; (b) SPT reconstructed image 图3. SPT[7]重构示意图：(a) 原始图像；(b) SPT重构图像 (a) (b)(c) (d) (e)(f)(g) (h) (i)(j)(k) (l) (m) (n)(o)(p) (q)(r)(s) (t) (u) (v)(w) (x) (y) (z) (I) (II) Figure 4. DPT decomposition and reconstruction 图4. DPT分解及重构示意图  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 和3层的部分子带 ,1,2,3;0,1; 0,5, ljk qxylk j 。由图 4(a)和(b)可知，虽然原始图像和重构图 像肉眼难分差别，但重构图像的SNR 为38.99 dB， PSNR为44.64 dB。对比 SPT 的重构性能可知，DPT 和SPT的重构性能相同。也就是说，采用 16 个尺度 可控基滤波器，可以满足理想重构约束，可以无误地 恢复方向可控基滤波器 10,15 , k bxy或者对应的方向子 带。但是DPT 的重构并不理想(即SNR/PSNR 并非无 穷大)，主要原因在于设计 DPT 时所采用的SPT 是非 理想重构的。 在前述的 DPT 设计中，我们取全部16 个非零奇 异值，得到了 个尺度可控基滤波器。相对于给 定范围 16J 0.1,4.0内的所有尺度总数来说，16 是一个相当小的数。然而，若每个方向可控基滤波器 都对应设计 16个尺度可控基滤波器，则DPT 分解和 重构以及线性插值时所需的运算量仍然不小。为了能 在DPT 重构性能与插值运算量之间获得较好的折衷， 下面我们评估不同尺度可控基滤波器数量(参见第 4节)与DPT 重构性能之间的关系。我们首先根据公 式(18)，计算 1001n P 0PPJ 取不同值时 0, 1 kkZ P 的 恢复误差与其总能量的比值曲线图。图5给出 了不同 值时对应的。由图可知随着 的增加， 呈指数下降。 也有相同的结果，不再赘述。 ratiok P0 ratio 1 tio 0 ratio ra 进一步，我们将尺度可控基滤波器的数量设置 为1至16 间的数(虽然的取值是 1-15 间，但为方便 比较，增加了值16)，然后考察重构图像的 PSNR。图 P P 2 4 6 81012141 6 10 −7 10 −6 10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 Number of scalable basis filters Error ratio Figure 5. The performance of ratio0 between Z0’s reconstruction error and its total energy 6给出了不同值时对应的 SNR 和PSNR。 P 由图可知，当等于 10时，重构图像的 SNR 和 PSNR最大，分别为 39.11 dB和44.76 dB。当从1 逐渐增到 10时，SNR/PSNR 逐渐增大，这表明增加 是有利于提高重构性能的。但当大于 10时， SNR/PSNR值反而不如 P P P P 10P 时的(约0.3 dB的差距)。 这主要是因为当 时，对应的非零奇异值幅度相 对较小，其中隐含的、由核函数插值及 SVD 分解引 入的误差不可忽略，因此继续增大反而会降低重构 性能。此外，从图6中也可以看到，当 10P P 4P 时，重 构图像的 SNR 和PSNR 值分别为 37.62 dB和42.94 dB，与最优的 SNR/PSNR 值相差不超过 2dB；当 8P (即一半数量)时，重构图像的 SNR 和PSNR值 分别为 38.45 dB 和44.09 dB，与最大 SNR/PSNR 值相 差不超过 1 dB。这表明，我们若采用 2PJ的尺度 可控基滤波器，即在较大幅度降低运算量的同时，能 获得与最佳重构性能相当接近的性能。 6. 总结 本文中，我们设计了一种具有平移不变性、方向 和尺度联合可控的 DPT。此 DPT 由一种数值形式的 空域 SPT发展而来。其中，平移不变特性通过保持 DPT的高通子带和尺度子带的非亚抽样结构而得到， 方向和尺度联合可控特性则通过SVD 方法将 SPT 的 每一个方向可控基滤波器作为核函数来设计一组尺 度可控基滤波器而得到。我们将此尺度可控基滤波器 024681012 14 1 6 15 20 25 30 35 40 45 Number of scalable basis filers Reconstruction Performance(dB) SNR PSNR Figure 6. Relationship between the number of scalable basis filters and the DPT’s reconstruction performance 图5. 矩阵 Z0的恢复误差与其总能量比值 ratio0的曲线图 图6. 尺度可控基滤波器个数与 DPT 重构性能关系曲线 Copyright © 2013 Hanspub 171  基于 SVD 方法设计方向和尺度可控的金字塔变换 作为 DPT 的分析滤波器；对于综合滤波器，我们则在 构建理想重构约束的基础上通过理论推导而得到。此 外，我们推导了方向插值函数，并结合尺度插值函数 推导出了表征方向和尺度联合可控性的插值公式。我 们也定量分析了不同尺度可控基滤波器数量与重构 性能之间的关系，以便在 DPT重构性能和 DPT 分解、 重构、插值所需运算量之间获得良好的折衷。数值仿 真表明，本文所设计的 DPT 能满足理想重构约束。不 同尺度可控基滤波器数量与重构性能关系仿真结果 也表明， SVD 分解后只需要取一半数量的尺度可控基 滤波器，即能以不超过 1dB的误差而逼近最优的重构 性能。 参考文献 (References) [1] 多布著, 李建平, 杨万年, 译. 小波十讲[M]. 北京: 国防工 业出版社, 2004. [2] E. P. Simoncelli, W. T. Freeman, E. H. Adelson and D. J. Heeger. Shiftable multi-scale transform. IEEE Transactions on Informa- tion Theory, 1992, 38(2): 587-607. [3] W. T. Freeman, E. H. Adelson. The design and use of steerable filters. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine In- telligence (PAMI), 1991, 13(9): 891-906. [4] R. Lenz. 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