 International Journal of Fluid Dynamics 流体动力学, 2013, 1, 26-33 http://dx.doi.org/10.12677/ijfd.2013.12005 Published Online June 2013 (http://www.hanspub.org/journal/ijfd.html) A Stabilized Crank-Nicolson Finite Volume Element Formulation for Non-Stationary Stokes Equation* Hong Li1, Zhihui Zhao1, Zhendong Luo2 1School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Huhhot 2School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing Email: malhong@imu.edu.cn, zhaozhihui2328@sina.com, zhdluo@ncepu.edu.cn Received: Mar. 18th, 2013; revised: Apr. 2nd, 2013; accepted: Apr. 18th, 2013 Copyright © 2013 Hong Li et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre- stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: A stabilized Crank-Nicolson (CN) finite volume element formulation with time second-order accuracy is established for two-dimensional non-stationary Stokes equation. The error estimates of its numerical solutions are pro- vided. Some numerical experiments are presented illustrating that the stabilized CN finite volume element formulation with time second-order accuracy is far more advantageous than that with time first-order accuracy, thus validating that the stabilized CN finite volume element formulation is feasible and efficient for finding the numerical solutions for two- dimensional non-stationary Stokes equation. Keywords: Stokes Equation; Stabilized Crank-Nicolson Finite Volume Element Formulation; Error Estimate 非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式* 李 宏1, 赵智慧 1, 罗振东 2 1内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 2华北电力大学数理学院，北京 Email: malhong@imu.edu.cn, zhaozhihui2328@sina.com, zhdluo@ncepu.edu.cn 收稿日期：2013 年3月18 日；修回日期：2013年4月2日； 录用日期：2013 年4月18 日 摘 要：建立二维非定常 Stokes 方程的时间二阶精度的稳定化 Crank-Nicolson (CN)有限体积元格式, 并给出其 稳定化 CN 有限体积元解的误差估计。数值实验说明时间二阶精度的稳定化CN 有限体积元格式比时间一阶精 度格式更优越, 从而表明稳定化 CN 有限体积元格式对于求解非定常Stokes 方程的数值解是有效可行的。 关键词：Stokes 方程；稳定化Crank-Nicolson 有限体积元格式；误差估计 1. 引言 设 是有界的连通凸多边形区域。考虑流体 动力学中的二维不可压的非定常Stokes方程 2 R tp uu f ，在 中 (1.1) 0,T div 0u，在 中 (1.2) 0,T ,, x ytu ，在 上 (1.3) 0,T ,,0 , x yxu y ，在 中 (1.4) 其中是未知的流体速度向量， 是压力， T是总体时间， 12 ,T uuup 1Re ，是 Reynolds 数， 是 已知的源函数， Re f ,, x yt 和 , x y 分别是已知的边值 函数和初值函数。为了便于理论分析而且不失一般 性，不妨在下面的理论分析中假定 ,, x yt 和 , x y *资助信息：国家自然科学基金(批准号：11271127 和11061021)和 内蒙古自然科学基金(批准号：2012MS0106)。 Copyright © 2013 Hanspub 26  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 均为零向量。 非定常 Stokes 方程是流体力学的重要方程，已广 泛和成功地用于许多实际工程领域[1-5]。然而当实际问 题的计算域不规则或问题本身比较复杂时，要求出其 解析解是很困难的，有效的方法是求其数值解。由于 有限体积元法[6-8]能保持局部的质量或能量守恒，其精 度比有限差分法高而且能适应边界复杂的计算域，并 与有限元方法有同样精度但要比有限元方法便于计 算，因此有限体积元法被公认是最有效的数值计算方 法之一。有限体积元法也称为盒子法[8]或广义差分方 法[10]，已经广泛应用于求解各种类型的偏微分方程(例 如，二阶椭圆方程、抛物型方程、Stokes 方程等)的数 值解[6-13]。但是求解非定常Stokes 方程的有限体积元 法的流速和压力的试验空间要求满足离散的 Babuska- Brezzi (BB)条件[12]，这对理论分析和实际应用都会产 生很多困难。为了避开离散 BB条件对 Stokes方程有 限体积元法的限制，一些基于两局部高斯积分或自由 参数的时间一阶精度的有限体积元格式已被提出 [13-15]。然而，据我们所知，到目前为止还没有非定常 Stokes 方程基于两局部高斯积分的时间二阶精度全离 散稳定化 Crank-Nicolson (CN)有限体积元格式及其误 差分析报道。因此，本文给出非定常 Stokes 方程的时 间二阶精度的全离散稳定化CN 有限体积元格式及误 差分析，并用数值例子说明时间二阶精度的稳定化 CN 有限体积元格式比时间一阶精度格式更优越，从 而表明用稳定化 CN 有限体积元格式去求解非定常 Stokes 方程的数值解是更有效可行。 本文的安排如下，第 2节建立非定常的Stokes方 程关于时间的 CN半离散格式。第3节直接从时间的 CN 半离散格式出发, 建立非定常的 Stokes 方程的基 于两局部高斯积分的全离散稳定化CN 有限体积元格 式，并做误差分析，这样可以避开关于空间变量的半 离散化 CN 有限体积元格式的讨论，使得论证过程更 简便。第 4节给出数值例子说明时间二阶精度的稳定 化CN 有限体积元格式比时间一阶精度格式更优越， 从而表明用稳定化 CN有限体积元格式去求解非定常 Stokes方程的数值解是更有效可行。第 5节是主要的 结论和讨论。 2. 关于时间半离散化 CN 格式 本文用到的 Sobolev 空间[16]都是标准的。设 2 12 0,;dUHM qLqxy d0 。则 非定 常 Stokes 方程的变分形式为： 问题 1. 求 ,pUM u使得对于任意 0,tT 满足 ,,,,, tabp U uvuvvfv v (2.1) ,0,bqq Mu (2.2) ,,0 ,xy 0u在 中 (2.3) 其中 ， ,,,,,diabq uvu vvv v q , 为 2 L 或 2 2 L 或 中的内积。 22 2 L 注意到双线性型 ,bqv满足 BB条件[1-5]： 0 0 , sup , U bq qqM v v v (2.4) 其中 是正常数。双线性型和 满足有界 性 ,auv ,bqv 00 ,,aU , uvuv uv (2.5) 00 ,,bqCqUqMvvv, (2.6) 其中 C是正常数。双线性型 还满足正定性 ,auv 2 0 ,,a U vvv v (2.7) 归咎于(2.4)~(2.7)，当 时，问题1的 解是存在唯一的[1-5]。 2 1 H f 设 为正整数，时间步长为NkTN，n tnk ， 为 在 n uu 0,1, , n tn N点关于时间的半离散化逼 近。则问题1关于时间 t的半离散化 CN格式为 问题 2. 求 , nn pUM u 1, 2,,nN满足 12 11 2,, 2, 2,2, ,, nn n nnn kakb p kka U uv uvv fv uvuvv (2.8) ,0, n bqq Mu (2.9) 0 0u，在 中 (2.10) 其中 12 12 nn t ff。 利用[2,15]中类似的方法可以证明问题 2存在唯 一的解 ,1,2 nn pUMnN u,,满足 2 22 11 00 0 11 nn niin ii kpCk uuu f 2 0 i (2.11) Copyright © 2013 Hanspub 27  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 而且当问题1的解 2 12 ,0,;0,;pHTUL TMu 时，有下面的误差估计 0 12 2 0 0 n n nn nn t kt ptp uu uu Ck (2.12) 其中是与k无关的常数。 C 3. 稳定化的全离散 CN 有限体积元格式及 误差分析 3.1. 有限体积元原理 为了获得问题2的有限体积元解，需要对计算域 做下面的三角形剖分和对偶剖分。 设 h K 是具有最大直径 max h K K hh 的 拟一致三角形剖分,其中 K h是三角形 的直径 [4,5]。为了刻画有限体积元方法，我们还要引入基于 h K h 的对偶剖分 ，它的单元称为控制元，控制元的构造 与[10]中的构造相同。设 h K z是单元 的重心，将 h K K z与三角形 K的各边中点连结，把K剖分成三个小 四边形 z K (如图 1的左图)。记 h Z K为K的顶点，则 h hh K Z ZK 为 的顶点集合。对于每个 h h zZ ， 由所有享有顶点 z的小四边形构成控制元 z V(如图1 的右图)。所有的控制元覆盖 ，构成 的重心型对 偶剖分 。用 h h h Z 表示剖分 的顶点集合 h h Z 的内部顶 点集合。 重心型对偶剖分 称为是拟一致的，如果存在两 个不依赖于h的正数 和使得 h 1 C2 C Z k K Z K V Z Z Z Figure 1. Left chart is a triangle K partitioned into three sub-regions Kz. Right chart is a sample region with dotted lines indicating the corresponding control volume Vz 图1. 左图是将三角形 K剖分成三个子四边形 Kz。右图是用虚线连 成顶点为 Z的控制元 Vz的样本 22 12 , z zh Chm VChV 其中 z mV 表示 z V的测度。若三角剖分 是拟一致 剖分，则相应的对偶剖分 也是拟一致的[10]。 h h 定义 U和M的试验空间分别为 22 1 1 ;, ;, hh hh K hh hh K UCUPKK MqMq PKK vv 其中 1 PK是h K 上的线性多项式构成的空间(可 由K的顶点唯一确定)。 设h 为U到上的插值算子。则由 Sobolev空 间的插值理论[4,5]知，当 时，有 h U 2 2 Hu 2 2 π,0, m hmCh m uuu 1 (3.1) 其中 C及后面出现 C均表示与空间网格尺寸 h和时间 步长 k无关的正数，不同的出现可能不等。 速度的检验函数空间 取为 h U 2 2 0 ;, 0, z z hhhz zhh VV zzh UL PVV VV vvv 事实上， 可由下面的基函数 h U 1, ,, ,0, ,, z z h z xy V x yz xy V Z 张成。从而对于每个向量 有 hh U v , h hhz zZ zxy vv 对于 U w，设是在上的插值，即 πh wwh U π, h hz zZ zxy ww 则由插值理论[4,5]有 1 0 πhCh ww w (3.2) 3.2. 稳定化全离散 CN 有限体积元格式 由于 hh UUU ，所以需要双线性型 ,auv 和 ,bqv做修改。利用对偶元 z V上的分部积分有 Copyright © 2013 Hanspub 28  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 Copyright © 2013 Hanspub 29 d 2 00 , hpppL (3.10) dd dd dd zz zh zz zh zh VV V VV VV xy xy s xy vu vu vunvu dd h (3.3) 1 10 , h ppChppH (3.11) ,, , hhhhhh hhhhhh Dpq ppq ppqq (3.12) dd dd ddiv zz zh zz zh zh VV V VV VV pxy pxy psp xy vv vnv (3.4) 则问题 2的稳定化全离散 CN有限体积元格式为： 问题 3. 求 ,1, nn hhh h pUMn N u2,,满足 当但 时，定义 hh Uuh U v ,d z zh hhhh h V V as uvv un (3.5) 121 1 2,π,, 2, ,2,π, nnn hhhhh hh nnn hhhhh hh kakb p kka U uv uvv h f vuvuv v (3.13) , z zh hhh hh V V bpp s vdvn U d (3.6) ,,, n hhhhh h bqDp qqMu (3.14) 利用 Green 格式可以证明下面两式成立[13-15] 0, h 0u在 中 (3.15) ,π,,, hh hhhhhhh aa u vuvuv (3.7) 3.3. 全离散 CN 有限体积元解的误差分析 ,π,, , hhhhhhhh hh bpbpUp M vvv (3.8) 为了证明问题 3的解的存在唯一性及做误差分 析，需要引进下面两引理。 为了定义稳定化格式，引进基于两局部高斯积分 和自由参数的双线性型 引理 1 [13-15]. 有下面的对称性成立 ,2 ,1 , dd dd h hh hh hh KK K Dpq pq xypq xy ,π,π, , hhh hhh hh h U uv vu uv (3.16) 对于任意 都有 20, 1 m Hm u 其中表示在 K上精度为 i的 , ,,d hh hhh Ki pq Mpqxy ,,π, 0, 1 mn hhh h mn Ch n uvu vuv (3.17) 高斯积分， ,hh g xy pq是次数不超过 次的 多项式。于是，对于所有的检验函数 ，当 1, 2ii hh qM1i 时，试验函数必须是分片常数。再定义 投 影算子 如下 hh pM 2 hh LW 2 L : 定义 12 0,π hhhh uuu，则 0 与0 等价，即 存在两个与时间步长 k及h无关的正常数 和 使 得 1 C2 C 2 ,, , hhh hh qq qq qLq W , (3.9) 1 00 0, hh h hh CC U uu u u 2 (3.18) 其中 表示相应于 2 h WL h 的分片常数空间，即 在每个 是常数的空间。那么，投影算子 h K h 有 下面的性质[4,5] 引理 2. 有下面上下确界不等式成立[13-15] 00 , 000 sup2 ,π,2,2, 2, ,, hhh h hhhhhh hhhhhhh qUM hh hhhh kabqbp Dpqq kppUM vuv uvuvv uu  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 归咎于引理 2，由 Lax-Milgram 定理[4,5]可得问题 3存在唯一的解 ，并 有 ,1, nn hhh h pUMn Nu2,, 2 21 00 0 1 2 12 0 1 n nii hhh i ni i kp Ck uuu f i h ,2,, (3.19) 利用 Stokes 方程的经典有限元方法[2-5]容易得到 下一引理。 引理 3. 设 是一个 Stokes 投影对，即对于 存在唯一的序 列对 满足 ,: hhhh SQU MUM , nn up UM ,1 nnhh pUMn N hh SQu ,,,2, ,,, ,, nn n hh hhhh nn hhhhhh A SQpqkDQpq A pq qU uv uv vM h (3.20) 其中 1 1 ,,, ,2,2, 2, nn hh nn n hh nn h Apq kabq bp uv uuvu v uuv ， 并满足 00 0 nn n hh SQpC p uu 0 n (3.21) 而且当 有 2 21 , nn up HH 2 22 4 00 0 1 n nnnnii hh h i SkpQpk S uu uuCh (3.22) 分析问题 3解的误差，还需要用到下面的离散 Gronwall 引理。 引理 4 (离散 Gronwall 引理[1,5,15]). 如果 和 及 是三个正的数列，且 是单调的，并满足 n an b n cn c 1 00 0 0 ;, n nn ni i abcabcan 1,0 那么有 exp, 0 nn n abcnn 对于问题3的解，有下面的收敛性结果。 定理 5. 如果问题 I的 ， 2 21 ,pH Hu 而且 kOh充分小和 或，则 00 0 h pp00 hh pQp 1,2,N, nn hh h pU , h Mnu有下面的误差估计 12 00 0 1 22 n nn nhnhnh i kptpktt Ck h uuuu n (3.23) 证明. 在问题 2中取 ,, hh qqvv 并与问题3相 减可得到下面的误差方程 11 1212 ,,,2, 2π,π2π,π 2π,π, , nnnn n hhhh hh nn nn h hhhhhhhhhhh nn hhhh hhhh AppqkDpq k qUM uuv uuvvuuvv ffvv v (3.24) 令 1 ,2,enn h Qp p nnnnnn hh S Euuuuu n h 。则 由(3.20)和误差方程(3.24)有 22 00 1 11 11 11212 1 2 ,, 1 ,,, 2 ,, ,π,π π,π, 1,π,π 2 nn nnn nnn hh nnnnnnn n hh nnnnnn hh nnnnnnn hhhh h nnnnnnn hhh hh nnnnnn hh k SkaS ka SkbQpp kbp p k EE uuEuuE uuEuuE EE uuEE EuuEE uuEEuuE EEffEE 12121 1 11 1 π,π, 2 π,π, nnnnnn hh nnnnnnnn hh hhhh k kb e ffEEEE uuuuEEE (3.25) 由引理 1、Hölder 不等式和 Cauchy 不等式，当 kOh时，有 1212 22 212412 10 1 π,π 4 nnnn hh nn n k k Ckh Ckh ffEE fE fE 0 n (3.26) 由逆估计定理[4,5]和Taylor 公式，有 Copyright © 2013 Hanspub 30  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 1 11 21 10 2 2 33 00 22 31 00 22 332 0 22 31 00 π,π 4 4 nnnnnn hh hhhh nn n hh nn hh nn ntLH nn Ch ChChSS k Ch ChCh k k Ch uuuuEE uuE Eu EE Eu EE 1n u (3.27) 由(3.9)和(3.14) 及Hölder 不等式和Cauchy不等式 有 11 22 11 00 ,, 2 , 2 44 nnn nn n hh nnn h nn nn hh be eeee eeee ee ee n h E (3.28) 结合(3.25)~(3.28)得 1 22 2 11 00 0 22 412 32 1 222 11 000 44 nnnnn h ntLH nnn kk keee CkhCh k Ch Ch 2 0 n h e EE fu EEE (3.29) 对上式从 1到n求和，当 h充分小使得 12Ch 和 或 时，有 00 0 h pp0 hh pQp0 22 00 1 12 4 0 0 n nin h i ni i kke Ch Ch EE E 2 0 n e (3.30) 对上式用离散Gronwall 引理 4可得到 22 00 1 44 exp n nin h i kke ChChn Ch EE 2 0 n e (3.31) 注意到 2 2 11 nn ii ii aan 及abab 由 上式 12 00 2 0 1 nnn n hh h nii hh i Ske kS Ch uu uu 若0 nnn hh eQpp ，则 ，则由(3.22) 有 n h Qp pn h 12 122 0 nnnn hh kppkpQp Ch 0 (3.33) 若0 nnn hh eQpp ，则 22 00 0 nn h ee 。因 此存在常数 01 使得 00 n h ee n 。于是，有 00 0 1nn nnn h ee eee 0 h (3.34) 取 2 1 ，由(3.32)和(3.34)及引理 3得 12 2 001 1 n nnnnii hhh i kpp kCh uuuu (3.35) 把(3.33)和(3.35)与结合(2.12)得(3.23)。定理 5证 毕。 4. 数值实验 下面给出数值例子，验证非定常 Stokes 的时间二 阶精度的稳定化 CN 有限体积元格式比时间一阶精度 格式更优越，从而表明用稳定化 CN有限体积元格式 去求解非定常Stokes 方程的数值解是更有效可行。 计算域取为 1, 20,10,11, 0 (如图 2所示)，源函数 0f，Re = 1000，2T ，初 始函数和边值函数取为：左入口 ,, x yt = (x, y) = 0, 1yy，右出口为 0,2,, ,t xy xy ，其 他的边界的速度均 。 0 将计算域 1, 20,10,11, 0 剖分 为边长 0.01xy 小正方形，然后在同一方向连结 其对角线将每个小正方形剖分成为两个小三角形构 成20.01h的三角形剖分 。对偶剖分取为重心 h e (3.32) Figure 2. Computational field 图2. 计算域 Copyright © 2013 Hanspub 31  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 型对偶剖分 。时间步长 h 0.01k 。 用[15]中的时间一阶精度的有限体积元格式算出 t = 2 时的速度和压力分别解画在图3和图 5中。 利用时间二阶精度的稳定化CN 有限体积元格式 问题 3算出 t = 2时的速度和压力分别解画在图 4和图 6。 Figure 3. Time first-order accuracy finite volume element solution of velocity at t = 2 图3. 在t = 2处的时间一阶精度的速度有限体积元解 Figure 4. Time second-order accuracy CN finite volume element solution of velocity at t = 2 图4. 在t = 2处时间二阶精度的速度 CN有限体积元解 Figure 5. Time first-order accuracy finite volume element solution of pressure at t = 2 图5. 在t = 2处的时间一阶精度的压力有限体积元解 Figure 6. Time second-order accuracy CN finite volume element solution of pressure at t = 2 图6. 在t = 2处时间二阶精度的压力 CN有限体积元解 比较图 3和图 4以及图5和图6可看出，时间二 阶精度的稳定化 CN有限体积元格式的速度(见图4) 和压力(见图6)的数值结果明显比时间一阶精度的有 限体积元格式的速度(见图 3)和压力(见图 5)的数值结 果要好。这也说明了用稳定化 CN有限体积元格式问 题3求解非定常 Stokes 方程的数值解更有效可行。 在用时间一阶精度的有限体积元格式[15]求非定 常Stokes 方程的数值解时，为了得到 的精度， 时间步长取为 4 10O 4 10 。这样，当用时间一阶精度的有限 体积元格式[15]计算 t = 2 的解时，要计算 步。而 用稳定化的 CN有限体积元降格式问题 3只要计算 200步，计算步数减少 100 倍，从而能减少计算过程 中截断误差的积累。因此利用稳定化 CN 有限体积元 格式问题 3求解非定常 Stokes 方程的数值解可以极大 地减少计算量，从而能减少计算过程中截断误差的积 累。所以非定常Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元 格式问题 3比时间一阶精度的有限体积元格式[15]更优 越。 4 210 5. 结论和讨论 本文建立了二维非定常 Stokes 方程的时间二阶精 度的稳定化 CN 有限体积元格式、分析了稳定化 CN 有限体积元解的误差。并用数值实验了二维非定常 Stokes 方程的时间二阶精度的稳定化 CN 有限体积元 格式在求解二维非定常Stokes 方程的数值解时，比时 间一阶精度的有限体积元格式 更有效。 ]15[ 特别是，利用时间二阶精度的稳定化 CN 有限体 积元格式问题3求解非定常 Stokes 方程的数值解时， 至少要比时间一阶精度的有限体积元降格式节省100 Copyright © 2013 Hanspub 32  非定常 Stokes 方程的稳定化 CN 有限体积元格式 Copyright © 2013 Hanspub 33 [7] E. Suli. Convergence of finite volume schemes for Poisson’s equation on no-nuniform meshes. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1991, 28 (5): 1419-1430. 倍的计算量(当 时)，从而能减少计算过程中截 断误差的积累，提高数值解的计算精度。因此，非定 常Stokes 方程的时间二阶精度的稳定化CN 有限体积 元格式问题 3比时间一阶精度的有限体积元格式[15] 更优越。 0.01k [8] W. P. Jones, K. R. Menziest. Analysis of the cell-centered finite volume method for the diffusion equation. Journal of Computa- tional Physics, 2000, 165: 45-68. [9] R. E. Bank, D. J. Rose. Some error estimates for the box methods. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1987, 24(4): 777-787. [10] R. H. Li, Z. Y. Chen and W. Wu. Generalized difference methods for differential equations-numerical analysis of finite volume methods. New York: Marcel Dekker Inc., 2000. [11] P. Chatzipantelidis, R. D. Lazarrov and V. Thomee. Error esti- mates for a finite volume element method for parabolic equa- tions in convex in polygonal domains. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2004, 20: 650-674. 参考文献 (References) [1] V. 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