 International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2013, 2, 27-29 http://dx.doi.org/10.12677/ijm.2013.22005 Published Online June 2013 (http://www.hanspub.org/journal/ijm.html) Effect of Size and Strength Grade on the Concrete Modulus of Rupture* Shengping Chen, Zhimin Yi College of Civil Engineering and Architecture, Hubei University of Technology, Wuhan Email: csp1965@126.com, 30793756@qq.com Received: Mar. 22nd, 2013; revised: Mar. 26th, 2013; accepted: Apr. 10th, 2013 Copyright © 2013 Shengping Chen, Zhimin Yi. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, the flexural strength of plain concrete beams subjected to three-point bending was numerically studied using the finite element program DIANA. Instead of using a discrete crack model, a smeared crack model is adopted in the numerical simulatio n. A non-linear tension so ftening curve was used to model the gradually diminishing tensile strength of concrete upon further crack opening. The factors influencing the flexural strength of plain concrete beams considered in this paper are the concrete strength grade and the beam depth. These two factors can be combined into one material parameter and the brittleness index. A relationship between the ratio of flexural strength to the tens ile strength and the brittleness ind e x was proposed based on the numerical results. Keywords: Concrete; Modulus of Rupture; Brittleness Index; Smeared Crack Model 混凝土断裂模量的尺寸与强度效应* 陈升平，易治民 湖北工业大学土木工程与建筑学院，武汉 Email: csp1965@126.com, 30793756@qq.com 收稿日期：2013 年3月22 日；修回日期：2013 年3月26 日；录用日期：2013 年4月10 日 摘 要：本文用有限元数值模拟的方法研究了混凝土的断裂模量，建立了断裂模量与试件尺寸以及混凝土强度 等级的关系。数值试件采用了不同尺寸的三点弯曲混凝土简支梁。在数值模拟中采用弥散裂缝模型模拟混凝土 开裂，用非线性拉应力与开裂应变软化曲线模拟混凝土裂缝的进一步扩展。数值试验中考虑影响混凝土断裂模 量的因素为混凝土强度等级和梁的高度，最后在数值结果的基础上建立了混凝土断裂模量与脆性指标之间的关 系。 关键词：混凝土；断裂模量；脆性指标；弥散裂缝模型 1. 引言 混凝土断裂模量(modulus of rupture)是路面、机场 跑道等方面设计的一个重要材料参数。由于水泥基复 合材料的直接拉伸强度较难测定，如能通过数值模拟 方法建立其弯曲强度和拉伸强度的关系，就可以通过 简单易行的弯曲试验得出水泥基复合材料的直接拉 伸强度。一般认为水泥基复合材料的弯曲强度比它的 单轴拉伸强度更大，且依赖于试件尺寸。早先尺寸效 应在混凝土结构失效上的解释用的是 Weibull 的统计 理论[1]。后来 Bazant 用非线性断裂力学系统地研究了 混凝土的尺寸效应[2]。断裂力学应用于混凝土材料主 *基金项目：湖北省住房与城乡建设厅资助。 Copyright © 2013 Hanspub 27  混凝土断裂模量的尺寸与强度效应 要归功于 Hillerborg 提出的虚拟裂缝模型[3]和Bazant 提出的弥散裂缝模型[4]。Rokogo 基于虚拟裂缝模型建 立了混凝土断裂模量的尺寸效应关系[5]。本文采用有 限元软件 DIANA 数值研究三点弯曲混凝土简支梁的 弯曲强度，在数值模拟中采用弥散裂缝模型，用非线 性拉应力软化曲线模拟混凝土裂缝中逐渐降低的拉 应力。文中考虑影响混凝土梁弯曲强度的因素是混凝 土强度等级和梁的高度，这两个因素能被统一成混凝 土材料的脆性指标。最后在数值结果的基础上建立了 混凝土断裂模量与脆性指标之间的关系。 2. 数值模拟 数值模拟试件三点弯曲梁几何尺寸如图 1所示， 梁宽 100 mm，高度在 50 mm和400 mm之间变化， 梁跨度与高度的比值等于 4。在有限元分析中，所有 梁都采用 400 个有限元软件 DIANA 提供的 8节点四 边形等参单元离散[6]。梁受拉区采用非线性的弥散裂 缝模型，受压区采用线弹性应力–应变关系。梁的网 格划分如图 2所示。 3. 弥散裂纹模型 已有研究表明，弥散裂缝模型中拉应力与开裂应 变曲线的形状影响梁的弯曲强度。DIANA 有限元软 件提供了四种形式的拉应力与开裂应变关系。本文采 用以下的拉应力与开裂应变关系[7](图3)。 1,0 0, c cr crcrcr nnnn ultnnnn ult nn cr cr tnn ultnn f (1) Figure 1. Beam dimensions 图1. 梁尺寸 Figure 2. Beam mesh 图2. 梁网格划分 该拉应力与开裂应变关系是对线性的拉应力与 开裂应变关系的修正，参数取值 0.31，极限开裂应 变为 c 4.226 cr F nn ultt G hf (2) 式中 F G为混凝土断裂能；h是裂缝带的宽度，由 A 确定， A 是单元的面积。由于极限开裂应变与单元尺 寸有关，所以计算结果与有限元网络划分的单元尺寸 无关。 数值模拟中材料参数取值根据 CEB-FIP(1999)推 荐的经验公式[8]： 13 4 2.15 1010MPa ccm Ef (3) 23 8 1.4 MPa 10 cm tf f (4) 0.7 3010 MPa Fcm Gf t (5) 式中 和 cF EGf，， cm f 分别为混凝土弹性模量、断裂 能、抗拉强度和抗压强度。 4. 断裂模量与脆性指标关系 典型的梁跨中荷载与中点挠度曲线如图 4所示。 不同尺寸和混凝土强度梁的数值计算结果如表 1所 nn cr nn t f hGF/ cr ultnn. Figure 3. Non-linear tension softening model 图3. 非线性拉应力与开裂应变关系 Figure 4. Load/mid-point deflexion curve 图4. 荷载与中点挠度曲线 Copyright © 2013 Hanspub 28  混凝土断裂模量的尺寸与强度效应 Copyright © 2013 Hanspub 29 Table 1. FEM results 表1. 有限元计算结果 梁高度 D/mm 抗压强度 cm f /Mpa 拉伸强度 t f /Mpa 杨氏模 /Mpa E 断裂能 /N/m F G 特征长度 2 chF t lEGf/mm 脆性指数 ch BDl 断裂模量 b f /Mpa bt f f 50 20 40 60 80 1.58 3.04 4.20 5.22 27.0 34.1 39.1 43.0 48.7 79.1 105.0 129.0 527 292 233 204 0.095 0.170 0.215 0.245 2.610 4.625 6.167 7.510 1.62 1.52 1.47 1.44 100 20 40 60 80 1.58 3.04 4.20 5.22 27.0 34.1 39.1 43.0 48.7 79.1 105.0 129.0 527 292 233 204 0.19 0.34 0.43 0.49 2.363 4.161 5.555 6.768 1.50 1.39 1.32 1.30 200 20 40 60 80 1.58 3.04 4.20 5.22 27.0 34.1 39.1 43.0 48.7 79.1 105.0 129.0 527 292 233 204 0.38 0.68 0.86 0.96 2.121 3.723 4.980 6.060 1.34 1.22 1.19 1.16 400 20 40 60 80 1.58 3.04 4.20 5.22 27.0 34.1 39.1 43.0 48.7 79.1 105.0 129.0 527 292 233 204 0.76 1.36 1.72 1.92 1.910 3.360 4.635 5.760 1.21 1.11 1.10 1.10 示。 强度等级有关，这两个因素可统一为混凝土的脆性指 标。 数值计算结果表明，混凝土断裂模量不仅与混凝 土强度等级有关，还与梁的尺寸有关。Bazant 指出， 这两个因素可统一为混凝土的脆性指标[2]。脆性指标 反映了混凝土材料的脆性程度，其值与混凝土材料或 结构的特征尺寸成正比，与混凝土材料的断裂过程区 尺寸成反比。根据数值模拟结果，混凝土弯曲强度与 抗拉强度的比值与混凝土脆性指标的关系可表示为 (图5)。 2) 根据数值模拟结果，混凝土弯曲强度与抗拉 强度的比值与混凝土脆性指标的倒数可用双线性关 系表示。 参考文献 (References) [1] A. Carpinteri. Decrease of apparent tensile and bending strength with specimen size: Two different explanations based on fracture mechanics. International Journal of Solids and Structures, 1989, 25(4): 407-429. 0.12 1.040.34 0.045 1.2570.34 bt BB ff BB ， 当时 ，当时 (6) [2] Z. P. Bazant, Y. Xi. Size effect in quasi-brittle micro-heteroge- neous structures: D eterministic and statist ical theories. In: C ar pi n- teri, A., Ed., Applications of Fracture Mechanics to Reinforced Concrete, Elsevier Applied Science, London, 1992: 1-16. 式中 ch BDl (7) [3] A. Hillerborg. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of the fracture mechanics and finite elements. Cement and Concrete Research, 1976, 6(6): 773-782. 为混凝土脆性指标， 2 F ch t EG l f 为混凝土断裂过程区特 征长度。 [4] Z. P. Bazant, Z. Li. Modulus of rupture: Size effect due to frac- ture initiation in boundary layer. Journal of Structural Engineer- ing, 1995, 121(4): 739-746 [5] K. Rokugo, Y. Uchida, H. Katoh and W. Koyanagi. Fracture mechanics approach to evaluation of flexural strength of con- crete. ACI Material Journal, 1995, 92(5): 561-566. 5. 结论 [6] DIANA-8.1 User’s Manual. TNO building and construction research, 2000. 1) 混凝土断裂模量不仅有尺寸效应，还与混凝土 [7] Z. P. Bazant, D. Novak. Probabilistic nonlocal theory for quasi- brittle fracture initiation and size effect, I. theory, and II. Appli- cation. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2000, 126(2): 166-185. [8] CEB/FIP 1999. Updated model code. FIP, Lousanne, Switzer- land. Figure 5. The relationship between the ratio of flexural strength to the tensile strength and the brittleness index 图5. 混凝土弯曲强度与抗拉强度比值与混凝土脆性指标关系 |