ABSTRACT

In this paper, the proceeding of orthogonal and transitivity theorem are discussed. We find that the proceeding of orthogonal is a special case of the transitivity theorem.

Keywords:Gram-Schmidt Orthogonal, Transitivity, Inner Product

正交化过程与传递性

蔡成立，陈培鑫

南京理工大学理学院，江苏 南京

收稿日期：2016年4月30日；录用日期：2016年5月16日；发布日期：2016年5月19日

摘 要

本文研究了正交化过程与传递性定理之间的关系，我们发现正交化过程可以看作传递性定理的特例。

关键词 :格拉姆–施密特正交化，传递性，内积

1. 引言

Gram-Schmidt正交化过程是线性代数中的重要内容，传递性定理是算子代数中的重要定理和基本工具。本文通过他们之间的关系，将二者统一地去看待：将正交化过程看作传递性定理的特例。传递性定理可以在一般Hilbert空间中给出非构造性证明。Gram-Schmidt正交化过程可以在可分Hilbert空间中具体构造出来。为了统一起见，本文假定Hilbert空间都是可分的。

2. 预备知识

定义：A是的-子代数，称A是不可约的若A的不变子空间只有0和H。

设V是复数域C上的n维线性空间，T 是V上的一个线性变换。任取V上的一组基，则存在一个唯一的矩阵T，使得：T。V上的线性变换全体记作，则关于加法，数乘和映射的乘法构成一个代数。

在线性代数中，我们有如下结论；

引理2.1. [1] - [3] 设是V的一组基，则对任意V中的任意n个向量，存在唯一的V到V的线性变换T，满足。

在泛函分析中，我们有传递性定理；

引理2.2. [4] - [7] 设A是Hilbert空间H上的不可约-代数，是H中的线性无关向量组，是V中的任意向量组，则存在算子，使得，。

3. 正交化过程与传递

下面的定理给出了可分Hilbert空间上可列基到另一组可列基的传递定理：

定理3.1.设H是可分的Hilbert空间，则对H的任意两组基和，存在线性算子A，满足，

证明：令。则H关于的Gram-Schmidt标准正交化基。即对于

，

这里，，定义H上的算子u：

，

其中，，，

由此可知，，

，

记，，其中，则有，。

说明：在定理3.1的证明中，我们没能确定传递算子A的有界性。下面的推论表明：若把定理3.1中的基换成正交基，可使相应的传递算子A是可逆的，并且Gram-Schmidt正交化过程可以作为传递定理3.1的特例。

推论3.2.若是可分Hilbert空间H上的一组基，则存在H上的可逆线性变换T和标准正交基，使得。

证明：由定理3.1可知，存在有线性变换T和正交基，满足，

同理，利用定理3.1，我们可以给出线性变换T的逆变换存在。

下面在可分Hilbert空间中给出几个关于Gram-Schmidt正交化过程和传递性定理的例子：

命题3.3. 设是可列无穷空间的一组基，其中，，，，，那么对于另一组标准正交基，其中，我们可以通过一个变换；

，

把传递到上。

命题3.4.

(1)

(2)

分别是空间的两组标准正交基，记，，，，

则存在一个算子，使得。

推论3.5. 设V是n维欧式空间，是V中个线性无关的向量，则在V中存在m个两两正交的向量，使得张成的V的子空间恰好为由张成的V的子空间，即是该子空间的一组正交基。

证明：由推论3.2可得。

4. 总结

在本文中，Gram-Schmidt正交化过程是代数中的结果，传递性定理是泛函分析中的重要结果，通过建立它们之间的关系，我们能够把正交化过程看成是传递性定理的一个特例。

文章引用

蔡成立,陈培鑫. 正交化过程与传递性
The Proceeding of Orthogonal and Transitivity[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 195-198. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63030

参考文献 (References)