Gorenstein (m, n)-投射模 Gorenstein (m, n)-Projective Modules

doi:10.12677/PM.2020.1010118

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 10 ( 2020 ), Article ID: 38448 , 5 pages
10.12677/PM.2020.1010118

Gorenstein (m, n)-投射模

杨强

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西北师范大学，数学与统计学院，甘肃兰州

收稿日期：2020年10月8日；录用日期：2020年10月23日；发布日期：2020年10月30日

摘要

本文引入了Gorenstein (m, n)-投射模的概念。在强左(m, n)-凝聚环上研究了这类模的一些性质，并给出了Gorenstein (m, n)-投射模的一些等价刻画。

关键词

(m, n)-内射模，Gorenstein (m, n)-投射模，强(m, n)-凝聚环

Gorenstein (m, n)-Projective Modules

Qiang Yang

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Oct. 8^th, 2020; accepted: Oct. 23^rd, 2020; published: Oct. 30^th, 2020

ABSTRACT

In this article, the notion of Gorenstein (m, n)-projective modules is introduced. Some properties of such modules are investigated over strongly left (m, n)-coherent rings, and some equivalent characterizations of Gorenstein (m, n)-projective modules are given.

Keywords:(m, n)-Injective Module, Gorenstein (m, n)-Projective Module, Strongly (m, n)-Coherent Ring

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1. 引言

作为有限生成投射模的一种推广，Auslander和Bridger在文献 [1] 中研究了双边Noether环上Gorenstein维数为0的有限生成模。1995年，在文献 [2] 中Enochs和Jenda在一般环上引入Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念。自此，以Gorenstein投射(内射)模为研究对象的Gorenstein同调代数受到了学者们的广泛关注 [1] - [6]。

2001年，作为n-内射模，P-内射模，FP-内射模的统一推广，Chen，Ding，Li和Zhou在文献 [7] 中引入了(m, n)-内射模的概念。2005年，Zhang等人在文献 [8] 中证明了在(m, n)-凝聚环上，(m, n)-内射左R-模的示性模是(m, n)-平坦的。同年，在文献 [9] 中，Mao和Ding在凝聚环上研究了模的FP-投射维数以及环的FP-投射整体维数。2006年，Mao和Ding在文献 [10] 中证明了 $(P_{m, n}, I_{m, n})$ 是完备的余挠理论，其中 $P_{m, n}$ 是(m, n)-投射模类， $I_{m, n}$ 是(m, n)-内射模类。2014年，曾月迪在文献 [11] 中引入强(m, n)-凝聚环的概念，并证明了在强(m, n)-凝聚环上， $(P_{m, n}, I_{m, n})$ 是完备遗传余挠对。2020年，杨强和赵仁育在文献 [12] 中研究了Gorenstein (m, n)-内射模，并在强(m, n)-凝聚环上利用Gorenstein (m, n)-内射模给出了左(m, n)-内射环的一些等价刻画。

受上述研究的启发，本文引入Gorenstein (m, n)-投射模的概念。证明了Gorenstein (m, n)-投射模关于直和封闭；在强左(m, n)-凝聚环和任意环上，给出了Gorenstein (m, n)-投射模的等价刻画。

2. 预备知识

设m和n是任取的两个正整数，R是具有单位元的结合环，所涉及的模均为左R-模。用 ${id}_{R} (M)$ 表示模M的内射维数，用 $\tilde{I}$ 表示所有内射维数有限的左R-模类，对于左R-模M，用 $M^{+} = {Hom}_{Z} (M, Q / Z)$ 表示M的示性模。

定义2.1 称左R-模M是(m, n)-表示的，如果存在左R-模的短正合序列 $0 \to K \to R^{m} \to M \to 0$ ，其中K是n-生成的。

定义2.2 称左R-模M是(m, n)-内射的，如果对任意的(m, n)-表示左R-模P， ${Ext}_{R}^{1} (P, M) = 0$ 。

定义2.3 称左R-模N是(m, n)-投射的，如果对任意的(m, n)-内射左R-模M， ${Ext}_{R}^{1} (N, M) = 0$ 。

注记2.4 (1) (m, n)-表示模是(m, n)-投射模；

(2) (m, n)-投射模关于直和，直和项和扩张封闭。

定义2.5 称环R是左(m, n)-凝聚环，如果左R-模 $R^{m}$ 的每一个n-生成子模是有限表示的。

定义2.6 称环R是强左(m, n)-凝聚环，如果 ${}_{R}R^{m}$ 的每一个n-生成子模是(m, n)-表示的。

3. Gorenstein (m, n)-投射模及其性质

定义3.1 称左R-模M是Gorenstein (m, n)-投射模，如果存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

$ℑ = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ ,

使得 $M = Im (P_{0} \to P_{- 1})$ ，并对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ， ${Hom}_{R} (ℑ, E)$ 正合。

Gorenstein (m, n)-投射左R-模的类记为 $G P_{m, n}$ 。

注记3.2 (1) (m, n)-投射左R-模是Gorenstein (m, n)-投射左R-模；

(2) 若M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模，则对任意 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ， ${Ext}_{R}^{1} (M, E) = 0$ ；

(3) 若 $ℑ = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ 是(m, n)-投射左R-模的正合序列，并对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ， ${Hom}_{R} (ℑ, E)$ 正合，则每个箭头的像，核，余核都是Gorenstein (m, n)-投射左R-模；

(4) Gorenstein (m, n)-投射左R-模关于直积封闭。

命题3.3 Gorenstein (m, n)-投射左R-模关于直和封闭。

证明设 ${(M_{i})}_{i \in I}$ 是一簇Gorenstein (m, n)-投射左R-模，令 $M = \oplus_{i \in I} M_{i}$ 。对任意的 $i \in I$ ，因为 $M_{i}$ 是Gorenstein (m, n)-投射左R-模，所以存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

$ℑ^{i} = \dots \to P_{1}^{i} \to P_{0}^{i} \to P_{- 1}^{i} \to P_{- 2}^{i} \to \dots$ ，

使得 $M_{i} ≅ Im (P_{0}^{i} \to P_{- 1}^{i})$ ，并对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ， ${Hom}_{R} (ℑ^{i}, E)$ 正合。于是有正合序列

$\oplus_{i \in I} ℑ^{i} = \dots \to \oplus_{i \in I} P_{1}^{i} \to \oplus_{i \in I} P_{0}^{i} \to \oplus_{i \in I} P_{- 1}^{i} \to \oplus_{i \in I} P_{- 2}^{i} \to \dots$ ，

使得 $M ≅ Im (\oplus_{i \in I} P_{0}^{i} \to \oplus_{i \in I} P_{- 1}^{i})$ ，并对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ， ${Hom}_{R} (\oplus_{i \in I} ℑ^{i}, E) ≅ Π_{i \in I} (ℑ^{i}, E)$ 正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模。

命题3.4 设R是强左(m, n)-凝聚环，M是左R-模，则以下成立：

(1) 若M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模，则对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ，任意的 $i \geq 1$ ， ${Ext}_{R}^{1} (M, E) = 0$ ；

(2) 对任意左R-模的正合序列 $0 \to N \to G_{k - 1} \to \dots \to G_{1} \to G_{0} \to M \to 0$ ， $G_{i} (0 \leq i \leq k - 1)$ 是Gorenstein (m, n)-投射模，则对任意的 $E \in \tilde{I} \cap I_{m, n}$ ，以及任意的 $i > 0$ ， ${Ext}_{R}^{i} (N, E) ≅ {Ext}_{R}^{k + i} (M, E)$ 。

证明 (1) 设M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模，E是(m, n)-内射左R-模，且 ${id}_{R} (E) = k < \infty$ ，考虑下列正合序列

$0 \to M \to P_{0} \to P_{1} \to \dots \to P_{k - 1} \to P_{0} \to N \to 0$ ，

其中 $P_{j} (0 \leq i \leq k - 1)$ 是(m, n)-投射左R-模，因为R是强左(m, n)-凝聚环，由 [11] 定理2.2知 $(P_{m, n}, I_{m, n})$ 是完备遗传余挠对，所以 ${Ext}_{R}^{i \geq 1} (P_{j}, E) = 0, 0 \leq j \leq k - 1$ 。故对任意的 $i \geq 1$ ， ${Ext}_{R}^{i} (N, E) ≅ {Ext}_{R}^{k + i} (M, E)$ 。又因为 ${id}_{R} (E) = k < \infty$ ，所以对任意的 $i \geq 1$ ， ${Ext}_{R}^{i} (N, E) ≅ {Ext}_{R}^{k + i} (M, E) = 0$ 。

(2) 的证明由(1)可得。

定理3.5 设R是强左(m, n)-凝聚环，M是左R-模，则M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模当且仅当存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

$ℑ = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ ，

使得 $M = Im (P_{0} \to P_{- 1})$ 。

证明 Þ)显然。

• )设N是(m, n)-内射左R-模，且 ${id}_{R} (N) = k < \infty$ 。下证 ${Hom}_{R} (ℑ, N)$ 正合，对k进行归纳总结。当 $k = 0$ 时，结论显然成立。设 $k \geq 1$ ，考虑短正合序列

$0 \to N \to E \to L \to 0$ ，

其中E是内射模， ${id}_{R} (L) = k - 1$ 。则有短正合序列

$0 \to L^{+} \to E^{+} \to N^{+} \to 0$ ，

因为R是强左(m, n)-凝聚环，由 [8] 定理5.7知， $E^{+}$ 和 $N^{+}$ 是(m, n)-平坦模，故 $L^{+}$ 是(m, n)-平坦模，再由 [8] 定理5.7知，L是(m, n)-内射模。由归纳假设知 ${Hom}_{R} (ℑ, L)$ 正合。于是存在复形的短正合序列

$0 \to {Hom}_{R} (ℑ, N) \to {Hom}_{R} (ℑ, E) \to {Hom}_{R} (ℑ, L) \to 0$ ，

其中 ${Hom}_{R} (ℑ, E)$ 和 ${Hom}_{R} (ℑ, L)$ 正合，从而由 [13] 定理6.3知， ${Hom}_{R} (ℑ, N)$ 正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射的。

推论3.6 设R是强左(m, n)-凝聚环，M是左R-模，则以下等价：

(1) M是Gorenstein (m, n)-投射模；

(2) 存在左R-模的正合序列 $0 \to M \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ ，其中每个 $P_{i}$ 是(m, n)-投射模；

(3) 存在左R-模的短正合序列 $0 \to M \to P \to L \to 0$ ，其中P是(m, n)-投射模，L是Gorenstein (m, n)-投射模。

证明 (1) Þ (3) Þ (2)显然。

(2) Þ (1)设 $\dots \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$ 是(m, n)-投射分解。由(2)知，存在左R-模的正合序列

$0 \to M \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ ，

其中 $P_{- 1}, P_{- 2}, \dots$ 是(m, n)-投射左R-模，于是有左R-模的正合序列

$\dots \to P_{1} \to P_{0} \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ ，

使得 $M = Im (P_{0} \to P_{- 1})$ 。故由定理3.5知M是Gorenstein (m, n)-投射模。

命题3.7 设R是强左(m, n)-凝聚环， $0 \to M_{1} \to M_{2} \to M_{3} \to 0$ 是左R-模的短正合序列。则以下成立：

(1) 若 $M_{1}$ 是Gorenstein (m, n)-投射模， $M_{3}$ 是(m, n)-投射模，则 $M_{2}$ 是Gorenstein (m, n)-投射模；

(2) 若 $M_{3}$ 是Gorenstein (m, n)-投射模， $M_{2}$ 是(m, n)-投射模，则 $M_{1}$ 是Gorenstein (m, n)-投射模。

证明 (1) 因为 $M_{1}$ 是Gorenstein (m, n)-投射模，所以存在左R-模的短正合序列 $0 \to M_{1} \to P \to N \to 0$ ，其中P是(m, n)-投射模，则N是Gorenstein (m, n)-投射模。考虑下列推出图1：

Figure 1. Pushout diagram

图1. 推出图

在短正合序列 $0 \to P \to Q \to M_{3} \to 0$ 中，P和 $M_{3}$ 是(m, n)-投射模，由 [9] 注记2.8知，Q是(m, n)-投射模。在短正合序列中，因为N是Gorenstein (m, n)-投射模，所以由推论3.6知，是Gorenstein (m, n)-投射模。

(2) 类似地，由推论3.6可得。

定理 3.8 设R环，则以下等价：

(1) 每个左R-模是Gorenstein (m, n)-投射的；

(2) 环R满足以下两个条件：

(i) 每个内射左R-模是(m, n)-投射的；

(ii) 每个内射维数有限的(m, n)-内射左R-模是内射的。

证明 (1) Þ (2) 设M是内射左R-模。则有(1)知M是Gorenstein (m, n)-投射模。于是存在短正合序列

，

其中P是(m, n)-投射模，由于M是内射模，所以该正合序列可裂。因此M是P的直和项，由注记2.4 (2)知，M是(m, n)-投射模。故(i)成立。设E是内射维数有限的(m, n)-内射左R-模，N是一个左R-模。由(1)知，N是Gorenstein (m, n)-投射模。于是由注记3.2 (2)知，，所以E是内射模，故(ii)成立。

(2) Þ (1) 设M是左R-模。是M的一个(m, n)-投射分解，是M的一个内射分解，由(i)知存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

，

使得。设E内射维数有限的(m, n)-内射左R-模，由(ii)知，E是内射模，所以正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射模。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11861055)。

文章引用

杨强. Gorenstein (m, n)-投射模
Gorenstein (m, n)-Projective Modules[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 1002-1006. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010118

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