Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.03(2017), Article ID:20782,10 pages
10.12677/AAM.2017.63037

Exact Multiplicity of Positive Solutions for Convex-Concave-Convex Nonlinearities

Zirao Huang, Dingyong Bai

School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou Guangdong

Received: May 7th, 2017; accepted: May 22nd, 2017; published: May 27th, 2017

ABSTRACT

In this paper we study the bifurcation curve of the Dirichlet boundary value problem with convex- concave-convex nonlinearities. By using Time-map techniques, we prove that the bifurcation curve of the boundary value problem is S-shaped when the nonlinearities are asymptotic sublinear. Consequently, the exact multiplicity of positive solutions is determined.

Keywords:Exact Multiplicity of Positive Solutions, Dirichlet Boundary Value Problem, Bifurcation Curve, Time-Map

具有凸-凹-凸非线性项的边值问题正解的确切个数

黄子饶,白定勇

广州大学数学与信息科学学院,广东 广州

收稿日期:2017年5月7日;录用日期:2017年5月22日;发布日期:2017年5月27日

摘 要

本文研究了具有凸-凹-凸非线性项的狄利克雷边值问题正解的分支曲线。通过时间映射分析法,证明了在非线性项为渐近次线性时,边值问题的正解分支曲线为S-型曲线,从而确定了边值问题的正解的确切个数。

关键词 :确切正解个数,狄利克雷边值问题,分支曲线,时间映射

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文考虑以下边值问题:

(1.1)

其中为分支参数,

边值问题正解的分支的研究一直是微分方程领域的重要部分。关于边值问题正解研究,目前比较常用的方法有上下解方法、积分法、分支理论、时间映射分析法等。对于非线性项为凹函数、凸函数、凹-凸函数以及凸-凹函数的研究已有大量的成果。在1970年,T. Laetsch [1] 就利用积分法研究了边值问题

(1.2)

为凸函数时,得出了(1.2)的正解的确切个数。2001年,S.-H. Wang和D.-M. Long [2] 利用时间映射分析法研究了边值问题

(1.3)

为凹-凸函数且满足一定条件时,得出了(1.3)的正解的确切个数。2011年,K.-C. Hung和S.-H. Wang [3] 利用时间映射分析法证明了当为凸-凹函数且为渐近次线性时,(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。2014年,P. Korman和Y. Li [4] 利用分支理论证明了当分别在为凸-凹函数或凹-凸函数且满足一定条件时,(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线或反S-型曲线。

当(1.1)的非线性项时,即为扰动的Gelfand问题。对于此问题,也有大量的成果。通过 [5] 的证明,存在一个分支值,使得当,(1.1)正解的分支曲线在-平面上单调递增;当,(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。在 [3] [6] [7] [8] 中都对取近似值,最新的结果为 [8] 中的。对于此问题的研究,还可参考 [9] [10] [11] [12] [13] 。

不难注意到,很多文献都是对非线性项为凸函数或凹-凸函数或凸-凹函数时进行研究,而很少有对非线性项为凹-凸-凹函数或凸-凹-凸函数时的研究,这是因为在这两类情况下,时间映射的图形十分复杂,讨论其单调性及极值点将变得十分麻烦。本文对非线性项为凸-凹-凸函数进行研究,证明了当非线性项为渐近次线性时,(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。

2. 准备工作

定义(1.1)正解的分支曲线

.

则分支曲线在-平面上为S-型曲线即为S恰好存在2个转向点,其中,使得:

1)

2) 分支曲线S在向左转向。

3) 分支曲线S在向右转向。

首先,设,且有以下假设条件:

(H1)

(H2)上是凸-凹-凸函数,即存在,使得

(H3)为渐近次线性,即:

为了提出下面的假设条件,先定义以下函数:

. (2.1)

. (2.2)

因此

. (2.3)

.

由(H2)知,上是凹-凸-凹函数,即

(2.4)

≤0,则由(2.4),(H3)以及,易得:存在,使得:

(2.5)

其中均为的极值点。

再定义

(2.6)

则:

(2.7)

因此在时,有着相同的单调性以及极值点。

有了以上的定义,再提出以下的假设:

(H4)

(H5),即

以下为本文的主要结果:

定理2.1 设,若满足(H1)-(H5),则(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线,即存在两个正数,当时,(1.1)存在唯一正解,当时,(1.1)恰好存在两个正解,当时,(1.1)恰好存在三个正解;且

3. 主要结果的证明

本文使用J. Smoller和A. Wasserman [14] 以及T. Laetsch [1] 使用过的时间映射分析法对(1.1)进行分析,时间映射等式为:

. (3.1)

为(1.1)的正解当且仅当

. (3.2)

因此,研究(1.1)正解的个数等同于研究时间映射上的图像。

为了证明定理2.1,给出以下引理:

引理3.1 [1] 设,若满足(H1)-(H3),则

,. (3.3)

最多只有一个极值点,且为极大值点。

引理3.2设,若满足(H1)-(H5),则,且上恰好有一个极值点,且为极小值点,此极值点在上。

证明:分几步进行证明,首先证明

由(3.1)计算得:

. (3.4)

及(2.5)可知:对任意的,有,且,所以

. (3.5)

接下来证明上存在唯一的极值点,且为极小值点。把区间分为以及,分几步进行证明:

1) 由上面证明的过程以及(2.5),易得:对任意的,有。因此上单调递减,从而不存在任何极值点。

2) 接下来证明

a) 若,因为,所以由(2.5)得:存在,使得:

以及

因此

. (3.6)

不难注意到等号不能取,所以

b) 若,则存在,使得:

以及

因此

.

因为,所以。因此

. (3.7)

不难注意到等号不能取,所以

因此,无论是还是,都有

3) 下面证明在内,

由(3.4)可计算得:

(3.8)

所以

. (3.9)

其中,所以,且:

(3.10)

下面分两种情况讨论:

a) 若,则对任意的,所以易得

b) 若,因为,所以由(3.10)得:存在,使得:

以及

所以

. (3.11)

注意到,且有相同的单调性及极值点,所以由(2.5)及(3.10),可得:

.

下面简单地证明。在,有,所以;而在,有,所以。因此在上,都有,即,对其从0到p2积分,可得:。所以

因此由(3.11)得:对所有在上且满足,都有:

. (3.12)

所以对所有的,都有

由前面的证明可知,所以上至少有一个极值点,且为极小值点。又因为对所有的,都有。设内的任意一个极值点,则由(3.12),当时必有,因此必为极小值,从而是唯一的。所以上存在唯一的极值点,且为极小值点。

最后证明上不存在任何极值点。

对任意的,由(2.5)易得,因此

.

按照证明(3.7)的过程,同样可得(只是被积函数的分母不同,对证明结果没有影响),就不再加以证明。所以对任意的,都有。因此上单调递增,从而不存在任何极值点。

定理2.1的证明 由(2.5)知:单调递增,又由前面的讨论,易得:对任意的,因此,又,所以上至少有一个极值点,且为极大值点。又由引理3.1知,上最多只有一个极值点,且为极大值点。因此上存在唯一的极值点,且为极大值点,此极值点在上。

因此,一共有两个极值点,一个在中,为极大值点;另一个在中,为极小值点;在其他区间没有极值点。设这两个极值点分别为,且,则为极大值点,为极小值点,因此上的单调性为:

(3.14)

又由(3.3)有:

,.

因此(1.1)正解的分支曲线在-平面上的轨迹为一条S-型曲线,它从点出发向右移动,到达点后向左转向,到达点后向右转向,此后不再发生转向且趋于无穷。即存在两个正数,当时,(1.1) 存在唯一正解,当时,(1.1)恰好存在两个正解,当时,(1.1)恰好存在三个正解;且

文章引用

黄子饶,白定勇. 具有凸-凹-凸非线性项的边值问题正解的确切个数
Exact Multiplicity of Positive Solutions for Convex-Concave-Convex Nonlinearities[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 317-326. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63037

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