华北电力大学，北京

收稿日期：2021年4月17日；录用日期：2021年5月2日；发布日期：2021年5月20日

摘要

本文研究了(2 + 1)维Sawada-Kotera方程的转换动力学特性。通过Hirato双线性方法和复数化参数，我们给出孤立波解和一阶呼吸波解。基于转换条件，我们得到了几种转换波，包括(振荡) W型或M型孤子、和多峰孤子。接着，我们研究了转换波的时变性质。

关键词

(2 + 1)维Sawada-Kotera方程，态转换，时变性质

State Transition of the Wave for (2 + 1)-Dimensional Sawada-Kotera Equation

Yanmin Pang

North China Electric Power University, Beijing

Received: Apr. 17^th, 2021; accepted: May 2^nd, 2021; published: May 20^th, 2021

ABSTRACT

Under investigation in this work is the (2 + 1)-dimensional Sawada-Kotera equation. By the Hirato bilinear method and complex parameters, we give the solitary-wave solution and the first-order breath-wave solution. Based on the transition condition, we obtained the transformed waves, including the (oscillating) M- and W-shaped solitons and multi-peak solitons. Next, we investigate the time-varying features.

Keywords:(2 + 1)-Dimensional Sawada-Kotera Equation, State Transition, Time-Varying Property

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

众所周知，所有可积方程都有孤子解，这反映了自然界中一种常见的非线性现象 [1]。孤立子 [2] [3] [4] [5] 理论的研究对非线性偏微分方程有重要意义。近来，越来越多的研究者已经注意到精确解的研究，如有理解、怪波解和呼吸波解 [6] [7] [8] [9] [10]，它们可以在某些方向上指数地定位解。研究已经发现许多可积方程具有精确解，例如KP方程 [11]，非线性薛定谔方程 [12] 和Boussinesq方程 [13]。本文研究的是(2 + 1)维Sawada-Kotera方程

$u_t-{\left(u_{xxxx}+5u{u}_{xx}+\frac{5}{3}{u}^3+5u_{xy}\right)}_x-5u{u}_y+5{\displaystyle \int u_{yy}}\text{d}x-5u_x{\displaystyle \int u_y}\text{d}x=0$ (1)

它由Konopelchenko和Dubrovsky首次提出 [14]，其中u是变量x，y，t的函数。

本文的结构如下：

第2章给出了几种转换波。首先，我们推导出(2 + 1)维Sawada-Kotera方程的孤立波解和一阶呼吸波解。然后，我们利用转换条件得到转换波。第3章研究了方程(1~2)的转换波的时变性质。通过分析孤立波源和周期波源的相移，我们发现叠加区域随时间而变化，这导致了转换波形状的变化。第4章为结论。

2. 转换波

首先，我们给出以下变换 [1]

$u=6{\left(\ln f\right)}_{xx},$ (2)

其中， $f=f\left(x,y,t\right)$ 是一个未知的实函数。将方程(2)代入方程(1)，得到双线性式 [1]：

$\left(D_x^6+5D_x^3{D}_y-5D_y^2+D_x{D}_t\right)f\cdot f=0.$ (3)

其中， $D_x,D_y$ 和 $D_t$ 表示Hirota双线性算子被定义为 [15]

$D_x^m{D}_y^n{D}_t^{s}f\cdot g={\left(\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^m{\left(\frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}\right)}^n{\left(\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}\right)}^{s}f\left(x,y,t\right)\cdot g{\left(x^{\prime },y^{\prime },t^{\prime }\right)|}_{\left(x=x^{\prime },y=y^{\prime },t=t^{\prime }\right)}$

它的N-孤立波解为

$u_N=6{\left(\ln f_N\left(x,y,t\right)\right)}_{xx},f_N={\displaystyle \underset{\mu =0,1}{\sum }\exp }\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\mu }_i}{\eta }_i+{\displaystyle \underset{i<j}{\overset{\left(N\right)}{\sum }}{\mu }_i}{\mu }_j{A}_{ij}\right),$ (4)

其中，

$\begin{array}{l}{\eta }_i=k_i\left(x+l_{i}y+{\omega }_{i}t\right)+{\eta }_i^{\left(0\right)},{\omega }_i=-k_i^4-5k_i^2{l}_i+5l_i^2,\\ {\text{e}}^{A_{ij}}=\frac{k_i^4-3k_i^3{k}_j+k_j^4+{\left(l_i-l_j\right)}^2-3k_i{k}_j\left(k_j^2+l_i+l_j\right)+k_i^2\left(4k_j^2+2l_i+l_j\right)+k_j^2\left(l_i+2l_j\right)}{k_i^4+3k_i^3{k}_j+k_j^4+{\left(l_i-l_j\right)}^2+3k_i{k}_j\left(k_j^2+l_i+l_j\right)+k_i^2\left(4k_j^2+2l_i+l_j\right)+k_j^2\left(l_i+2l_j\right)}\end{array}$ (5)

$k_i,l_i,{\omega }_i$ 和 ${\eta }_i^{\left(0\right)}$ 是自由常数。

考虑 $N=2$，取 $k_i,l_i$ 和 ${\eta }_i^{\left(0\right)}$ 为复常数，即

$k_1=m_1+i{n}_1=k_2^{*},l_1=p_1+i{q}_1=l_2^{*},{\eta }_1^{\left(0\right)}=\ln \frac{{\lambda }_1}{2}+{\delta }_1+i{\gamma }_1={\left({\eta }_2^{\left(0\right)}\right)}^{*},$ (6)

其中， $\ast$ 表示复共轭， $m_1,n_1,p_1,q_1,{\lambda }_1\left(>0\right),{\delta }_1$ 和 ${\gamma }_1$ 是实值的。把上式代入(4)，我们得到 $f_2$ 为

$f_2~2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1,$ (7)

其中，

${\xi }_1=m_{1}x+\left(m_1{p}_1-n_1{q}_1\right)y+\left(m_1{\omega }_{1R}-n_1{\omega }_{1I}\right)t+{\delta }_1,$ (8)

${\Lambda }_1=n_{1}x+\left(m_1{q}_1+n_1{p}_1\right)y+\left(m_1{\omega }_{1I}+n_1{\omega }_{1R}\right)t+{\gamma }_1,$ (9)

$K_1=\frac{3n_1^4-m_1^2{n}_1^2-3n_1^2{p}_1-m_1{n}_1{q}_1-q_1^2}{3m_1^4-m_1^2{n}_1^2+3m_1^2{p}_1-m_1{n}_1{q}_1-q_1^2},$ (10)

${\lambda }_2=\frac{1}{4}{\lambda }_1^2{K}_1,$ (11)

$\begin{array}{l}{\omega }_{1R}=-m_1^4+6m_1^2{n}_1^2-n_1^4-5m_1^2{p}_1+5n_1^2{p}_1+5p_1^2+10m_1{n}_1{q}_1-5q_1^2,\\ {\omega }_{1I}=-4m_1^3{n}_1+4m_1{n}_1^3-10m_1{n}_1{p}_1-5m_1^2{q}_1+5n_1^2{q}_1+10p_1{q}_1,\end{array}$ (12)

我们把方程(7)带入方程(4)得到呼吸波解

$\begin{array}{l}u=\frac{24{\lambda }_2{m}_1^2-6{\lambda }_1^2{n}_1^2+12{\lambda }_1\sqrt{{\lambda }_2}\left(m_1^2-n_1^2\right)\cosh \left({\xi }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)\cos {\Lambda }_1}{{\left(2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1\right)}^2}\\ +\frac{24m_1{n}_1{\lambda }_1\sqrt{{\lambda }_2}\sinh \left({\xi }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)\sin {\Lambda }_1}{{\left(2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1\right)}^2}.\end{array}$ (13)

呼吸波解由双曲函数以及三角函数组成。双曲函数和三角函数分别决定孤立波源和周期波源的行为。因此，呼吸波可以被认为是它们的非线性组合。当波数满足

$\left|\begin{array}{cc}{m}_1& m_1{p}_1-n_1{q}_1\\ n_1& m_1{q}_1+n_1{p}_1\end{array}\right|=0.$

即

$q_1=0.$ (14)

此时，呼吸波发展成了另一种叫做转换波的波。在这种情况下，方程(7)中的函数 $f_2$ 被改写为

$f_2=2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1^{*}+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1^{*},$ (15)

其中，

${\xi }_1^{*}=m_{1}x+m_1{p}_{1}y+\left(m_1{\omega }_{1R}^{*}-n_1{\omega }_{1I}^{*}\right)t+{\delta }_1,$ (16)

${\Lambda }_1^{*}=n_{1}x+n_1{p}_{1}y+\left(m_1{\omega }_{1I}^{*}+n_1{\omega }_{1R}^{*}\right)t+{\gamma }_1,$ (17)

$K_1^{\ast }=\frac{3n_1^4-m_1^2{n}_1^2-3n_1^2{p}_1}{3m_1^4-m_1^2{n}_1^2+3m_1^2{p}_1},{\lambda }_2=\frac{1}{4}{\lambda }_1^2{K}_1^{*},$ (18)

$\begin{array}{l}{\omega }_{1R}^{\ast }=-m_1^4+6m_1^2{n}_1^2-n_1^4-5m_1^2{p}_1+5n_1^2{p}_1+5p_1^2,\\ {\omega }_{1I}^{\ast }=-4m_1^3{n}_1+4m_1{n}_1^3-10m_1{n}_1{p}_1,\end{array}$ (19)

我们将方程(15)代入方程(4)得到转换波解的表达式为

$\begin{array}{l}u=\frac{24{\lambda }_2{m}_1^2-6{\lambda }_1^2{n}_1^2+12{\lambda }_1\sqrt{{\lambda }_2}\left(m_1^2-n_1^2\right)\cosh \left({\xi }_1^{*}+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)\cos {\Lambda }_1^{*}}{{\left(2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1^{*}+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1^{*}\right)}^2}\\ +\frac{24m_1{n}_1{\lambda }_1\sinh \sqrt{{\lambda }_2}\left({\xi }_1^{*}+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)\sin {\Lambda }_1^{*}}{{\left(2\sqrt{{\lambda }_2}\cosh \left({\xi }_1^{*}+\ln \sqrt{{\lambda }_2}\right)+{\lambda }_1\cos {\Lambda }_1^{*}\right)}^2}.\end{array}$ (20)

当参数满足一定的物理条件时，转换波可以被展示为M型孤子(见图1)、振荡W型(M型)孤子(见图2，图3)、多峰孤子(见图4)。(a)表示几种转换波的三维结构，(b)表示它们在y = 0处的截面图。

图1. M型孤子。参数为 $m_1=1,n_1=1.5,p_1=1,{\delta }_1=0,{\gamma }_1=0,{\lambda }_1=2$

图2. 振荡W型孤子。参数为 $m_1=0.4,n_1=1.2,p_1=1,{\delta }_1=0,{\gamma }_1=0,{\lambda }_1=2$。

图3. 振荡M型孤子。参数为 $m_1=0.55,n_1=1.2,p_1=1,{\delta }_1=0,{\gamma }_1=0,{\lambda }_1=2$

图4. 多峰孤子。参数为 $m_1=0.3,n_1=1.5,p_1=1,{\delta }_1=0,{\gamma }_1=0,{\lambda }_1=2$

3. 时变性质

转换波的孤立波源和周期波源的相位如下

${\phi }_s\left(t\right)=\left(m_1{\omega }_{1R}-n_1{\omega }_{1I}\right)t+{\delta }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2},$ (21)

${\phi }_p\left(t\right)=\left(m_1{\omega }_{1I}+n_1{\omega }_{1R}\right)t+{\gamma }_1,$ (22)

它们之间的相位差是

${\phi }_d=\left[\left(m_1-n_1\right){\omega }_{1R}-\left(m_1-n_1\right){\omega }_{1I}\right]t+{\delta }_1+\ln \sqrt{{\lambda }_2}-{\gamma }_1,$

与时间变量t有关。因此，这些转换波的形状随时间而变化。

本节介绍W型或M型孤子和振荡W型或M型孤子的时变性质。图5(a)~(c)是M型或W型孤子在三个不同时刻的密度图。图5(d)是它们在三个不同时刻的截面图，从中我们看到W型孤子和M型孤子交替变换。图6(a)~(c)是振荡M型或振荡W型孤子在三个不同时刻的密度图。图6(d)是它们在三个不同时刻的截面图，从中我们看出转换波有明显的时变性质。

图5. M型孤子的时变性质

图6. 振荡W型孤子的时变性质

4. 结论

本文研究了(2 + 1)维Sawada-Kotera方程的不同类型的转换波，包括M型孤子(见图1)、振荡W型或M型孤子(见图2和图3)和多峰孤子(见图4)。另外，我们讨论了几种转换波的时变性质(见图5和图6)。我们发现叠加区域随时间而变化，这造成转换波发生形变。

致谢

本文作者衷心感谢审稿人的意见和建议。

文章引用

庞燕敏. (2 + 1)维Sawada-Kotera方程波的态转换
State Transition of the Wave for (2 + 1)-Dimensional Sawada-Kotera Equation[J]. 应用数学进展, 2021, 10(05): 1515-1521. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.105161

参考文献