 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 254-256 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.34039 Published Online July 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On Boundedness of the Nonlinear Difference Equation nn n xqx px 112 * Liyan Duan, Dong Lu, Shaogao Den g College of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Email: 1048572487@qq.com, 493789268@qq.com, sgdeng@swjtu.edu.cn Received: Apr. 27th, 2013; revised: May 16th, 2013; accepted: May 28th, 2013 Copyright © 2013 Liyan Duan et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, we consider the nonlinear difference equation 11nn n2 x qx px and the boundness of its solutions is obtained. Keywords: Difference Equation; Nonlinear; Boundedness 非线性差分方程 nn n xqx px 112 2 解的有界性* 段礼燕，鲁 东，邓绍高 西南交通大学数学学院，成都 Email: 1048572487@qq.com, 493789268@qq.com, sgdeng@swjtu.edu.cn 收稿日期：2013 年4月27 日；修回日期：2013 年5月16 日；录用日期：2013 年5月28 日 摘 要：在这篇文章中，我们研究了一类非线性差分方程 11nn n x qx px 解的有界性。 关键词：差分方程；非线性；有界性 1. 引言 近年来，各种类型的非线性差分方程得到了广泛的研究[1-3]。本文将研究非线性差分方程 112nn n x qxpxn N , (1) 其初值为 01 , x ax b 。其中 0, 0, 0,0,1,2,3,pqabN 。 受文献[1]的启发，运用类似于[1]的变换技巧 10 0,1,2, nnn yxxnN (2) 我们将方程(1)化为线性差分方程 1nn ypy qnN (3) 从而得到方程(1)的解及其解的有界性。 在本文中，为了表达的方便我们约定：当 ij 时， 0, 1 i i mj mj 。 *基金项目：四川省基础研究计划(2011JYZ002)；西南交通大学中央高校基本科研业务费专项资金项目(SWJTU12ZT13)；西南交通大学大学 生科研训练项目(SRTP121204)。 Copyright © 2013 Hanspub 254  段礼燕 等 非线性差分方程 112nn n x qx px 解的有界性 2. 主要结果 首先，我们来求解方程(3)。由(2)和(3)，0 yab ，我们得到 1 0 0 n nm nm yabpqpn N (4) 其次，我们通过(4)来讨论方程(1 )的解。在本文的假设条件下，对所有的 0 nN ，。由(2 )可得： 0, 0 nn yx 21 2 20 20 22 11 21 21 0 j jm mn jm nj jj jm j m abpq p y x aa n yabpqp N, (5) 2 21 11 21 0 21 0 21 00 2 2 0 j jm nn jm nj jj jm j m abpq p y x bb n yabpq p N. (6) 定理 2.1 方程(1)的解由(5)或(6)表出。 下面，我们来讨论方程(1)的解的有界性。由(2)可知，当 n x 有界时， n y也有界，由此可得到： 引理 2.1 在本文的假设条件下，方程(1)的解有界的必要条件是 01p 。 为了得到方程(1)的解有界的充分条件，我们首先对 2n x 和 21n x的通项表达式进行分析可知： 21 2 2 0 2 0 22 11 21 21 0 11 11 jj jm nn m nj jj jm j m qq ab p abpq ppp x aa qq abpq pab p pp nN 221 21 11 0 21 0 21 00 22 0 11 11 jj jm nn m nj jj jm j m qq ab p abpq ppp x bb qq abpq pab p pp nN 易知，当 的系数为零时，即时， m p 1qab p 2n x 和21n x 均为常数。其实，在下面的证 明中我 们会看 到：这 里的分界点 是 1qab p n y单调与否的分界线。 现在我们先考虑特殊情形 。通过直接计算可得到： 1qab p 引理 2.2 设01 ，当 时，方程(1)的解有界且可表示为： p 1qab p 221 0, 0 nn xaxb 引理 2.3 设01 ，当 p 01qab p 时，则 20 nn x 和 21 0 nn x 分别是单调递减的子列且收敛于非零极 限，从而方程(1)的解有界。 证明：因为 01qab p ，所以 。由(4)得： 0q abp ab 1 0 10 nnn nn yyabppqppabp ab qnN ； 21 22 0 21 21 n nn nn y x xxanN y ； 21 22 121 21 22 0 21 11 211211 22 22 0 1 11 0. 1 n nm nn nn jj m njj jj n n abpq p yy yy xaaa a yyyy abpq qp pq q pp an abb p N Copyright © 2013 Hanspub 255  段礼燕 等 非线性差分方程 112nn n x qx px 解的有界性 Copyright © 2013 Hanspub 256 同理可得： 21 210 0 1 nn q bx xnN ap ，即 ， 2n x 和 21n x分别是单调递减的子列且收敛于非零极 限。证毕。 引理 2.4 设01 ，当 p 1qab p 时，则 20 nn x 和 21 0 nn x 分别是单调递增的子列且收敛于非零极限， 从而方程(1)的解有界。 证明：因为 1qab p ，类似引理 4的证明有 10 0 nn yy nN . 21 22 0 21 21 0 n nn nn y x xxa nN y ; 21 22 121 21 22 0 21 11 211211 22 22 0 1 11 . 1 n nm nn nn jj m njj jj n n abpq p yy yy xaaa a yyyy abpq qp pq q pp an abb p N 同理可得： 21 210 01 nn q bx xnN ap 。即， 2n 21n x 和x 1 分别是单调递增的子列且收敛于 非零极限。证毕。 最后，我们综合上述四个引理即可得出结论： 定理 2.2 在本文的假设条件下，方程(1)的解有界的充分必要条件是 0p 。此时， 和 20 nn x 21 0 nn x 分 别单调收敛于非零极限。 至此，对于我们所研究的非线性差分方程 11nn n2 x qx px 得到了非常完美的结果，即方程的解有界的充要 条件。但该差分方程的解 是震荡的。 1 nn x 在这篇文章中，我们只研究了系数 是常数的情形。如果将系数 换成变系数或周期系数，即差 分方程推广为 ,pq ,pq , nn pq 11nnnnn2 x pxqx ，其解在什么条件下才有界的问题就难多了。 参考文献 (References) [1] S. Stevic. On the difference equation 212nnnnnn x xb cxx . Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(8): 4507-4513. [2] T. Sun, H. Xi and Q. He. On boundedness of the difference equation 1311nsns x x nn xp with period-k coefficients. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(12): 5994-5997. [3] 赵玉萍. 一类非线性差分方程的有界性[J]. 西南民族大学学报(自然科学版), 2011, 37(4): 525-529. |