单叶双调和映射类 A Class of Univalent Biharmonic Mappings

doi:10.12677/PM.2013.34043

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 282-288

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.34043 Published Online July 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

A Class of Univalent Biharmonic Mappings*

Jinjing Qiao 1, Ch ao Wan g2

1College of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding

2The Teacher Training School of Baoding, Baoding

Email: mathqiao@126.com, 3487170@qq.com

Received: May 22nd, 2013; revised: Jun. 11th, 2013; accepted: Jun. 18th, 2013

which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: The main aim of this paper is to discuss univalent sense-preserving biharmonic mappings in the

unit disk. As a generalization of starlike biharmonic mappings and convex biharmonic mappings, a family of

univalent sense-preserving biharmonic mappings





,,,



is given, and it is also given a sufficient

condition for a biharmonic mapping in





,,,k





by using a coefficients inequality. Moreover, it is

proved that this coefficients inequality is a characterization of biharmonic mappings in the subclass of

that with negative coefficients.



,,,





Keywords: Univalent Biharmonic Mapping; Starlikeness; Convexity

单叶双调和映射类*

乔金静 1，王超2

1河北大学数学与计算机学院，保定

2保定市教师进修学校，保定

Email: mathqiao@126.com, 3487170@qq.com

收稿日期：2013 年5月22 日；修回日期：2013 年6月11 日；录用日期：2013 年6月18 日

摘要：本文主要研究单位圆盘上单叶保向的双调和映射。作为星形双调和映射和凸双调和映射的推

广，给出了一个单叶保向的双调和映射类





,,,





，利用系数不等式给出了双调和映射属于

的一个充分条件，且进一步证得此系数不等式是



,,,







,,,



k的具有负系数的子类

的特征。

关键词：单叶双调和映射；星形性；凸性

1. 引言

复平面内区域 D上的四次连续可微函数

uiv



是双调和的当且仅当



是调和的，即。单连

通区域 D上的双调和映射具有表达式



0F 

zG H



，

其中和

是D上的复值调和映射，参考[1,2]。而且，和G

可以表示为

*资助信息：国家自然科学基金数学天元基金(No. 11226092)和河北省自然科学基金青年科学基金(No. A2013201104)。

282

乔金静，王超  单叶双调和映射类

Ghg



，22



，

这里， 121

gh和在 D上解析，参考[3,4]。如果对于





/0zD，有

 

Fz z

zFz Fzp

就称双调和映射

是保向的。在许多物理问题特别是在流体动力学和弹性问题中提出了双调和映射，且它在工

程学和生物学中有许多重要的应用，参考[5-7]。这篇文章我们考虑单位圆盘





:1Uzz



上的双调和映射。

对于解析函数，Goodman 首次考虑一致凸函数，参考[8]。作为一直凸函数的推广，一致凸函数类由 Kanas

和Wisniowska 给出定义([9])。随后，他们讨论了一致星形函数。在文[10]中，作者给出了



阶一致凸函数

和



阶一致星形函数。最近，作者讨论了一致凸函数的一个具有非负函数的子类U，推广了一

致凸函数的相关结果，参考[11]。本文的主要目的是介绍双调和映射的一个子类，把文[11]的结

果推广到双调和映射的情形。















,,U



下面，给出一些概念。

在文[2]中，作者研究了线性复算子















Lfzzf zzfz的性质，这里 1



。算子保持调和性和双

调和性，且在星形性和凸性的定义中得到应用。

定义 1：设

是单叶保向的调和映射，满足









001

ff 0



 。如果对于 0z



，









 

Re01 ,

Lf z





那么就称

是



阶星形的，记作







。

定义 2：设

是单叶保向的调和映射，满足









001

ff 0



 ，且 0z



时，



 

0Lf z。如果对于 0z



，









 

Re0 1

Lf z





那么就称是



阶凸的，记作





。



阶星形和



阶凸的调和映射的性质参见[12-14]。当 0





时，我们得到了星形调和映射和凸调和映射。

定义 3：设

是单叶保向的双调和映射，满足









001

FF 0



 。如果对于， 0z









Re1,0, 01

LF zLF z

Fz Fz







 (1)

那么就称

是



阶一致星形的双调和映射。

在不等式(1)中，令，得到

00k



阶星形双调和映射的定义式，记这类双调和映射为





。在定义 3

中，当

是调和映射时，得到



阶一致星形调和映射，此类映射记为





SDk



。

定义 4：设F是单叶保向的双调和映射，满足









001

FF 0



 ，且 0z



时，。如果对于



0LFz0z

















Re1,0, 01

LLF zLLF z

LF zLF z





那么就称

是



阶一致凸的双调和映射。

设



KDk



为



阶一致凸的调和映射类。定义 3和定义 4是[15]中相应定义的推广。

下面我们给出一个双调和映射类，从而把[11]中的解析函数类推广到双调和映射情形。

定义 5：设

  











112 2

11 21

nn nn

nnn n

z zGzHz zhzgzhzgz

zczdzzazbz

 

 

 









  (3)

乔金静，王超  单叶双调和映射类

是单叶保向的双调和映射，且设

 



   

ˆ1

zLLFzLF zFz

  



时，





ˆ0Fz



这里 01





，01





，。如果

00k0z



，且有













ˆˆ

Re 1

ˆˆ

LF zLF z

Fz Fz







就称

属于双调和映射类。

直接计算得到



,,,



  



 



  



  



 



 



 

2211 1

211

222 2

2222

ˆ() 1

1111

Fzzzh zzhzh z

zg zzg z

zgz

zhz zhzhz

zgzzgz gz

zn nczn ndz

 

 



 

  

 





 





 











 



 

 









 





 



nn bz

 











 



设为单叶双调和映射的子类，中的元素

  



 





22 22

112 2211 1

nn n

nnn n

z zGzHz zhzgzhzgzzazbzzczzdz

 

 

 

 

满足，。的子类 0, 0, 0,0

nnn n

abcd



2n且1

0,bc1 1

0, 0d 2



221

:0TFTc





设是单叶函数类，中的元素具有形式S S



zz az







。的子类

2. 主

这节我们给出双调和映射属于的充分条件及其子类



TfSfzzaza







 







要结果



,,,







,,,



T的特征。

定理 1：形如(2)的单叶保向的双调和映射属于类





,,,



的充分条件是

 



 



 



 





 



 



 

00 00

2 1

111111

n n

nkknnc nkknnd

nk kb



11111

nk knnan n







 

 





 

 

  

 



(3)

反之，如果







,,,



T，其中 12

max 0,1



















，那么(3)式成立。

284

乔金静，王超  单叶双调和映射类

证明：设单叶保向的双调和映射F满足(3)。因为对于 0z



，

 



 



 



 



 



 



 

 



 

00 00

1 1

0 0

111111

11 1

n n

znkknnc nkknnd

nkknna nkknnb

nndz







 

 

 







 











2n

111 1

znncz









 







  



 



1111

azn nbz









 





故时，。

下面要证，对于，

0z



ˆ0Fz

0z









ˆˆ

Re 1

ˆˆ

LF zLFz

Fz Fz



。

上述不等式等价于







Re1 ee

ˆii

LF zkk

















(4)

对于每个都成立。

设。从而(4)等价于





0,2







ˆˆˆ

1e e

GzLF zkkFz





 

ˆˆ

11Gz FzGz Fz



 。

由于

 







 







 



 



 







 





ˆˆˆˆˆ ˆ

1e1

1111 1

11 111 1

e11111

GzLF zkLF zFzFz

zn nnn nndz

nnn aznnnbz

zkn nnczn nn





 

 

 













 

 

 

 

 

 





















 



 



 



 



 



 



 



 



021

e111111

21111

1111

111 1

inn

knnn aznnn bz

znkknncz

nkknnd z

nkknnaz

nkk





  

































 



 

 

 













 

nn bz

 









乔金静，王超  单叶双调和映射类

且有

 



 









 



 



 



 





1 1

ˆˆ

ˆˆˆˆ

11 1

11 1111

11 1e111

n n

Gz Fz

LF zkeLF zFzFz

znn ncz

nnn dznnn az

nnn bzzknnn

nn n







 

 

 









 

 



 











 













 







 







 



 







 



 



1 2

3 2

100

1e[111

11 1

1111

11(1)()1

111 1

ni n

n n

dz knnnaz

nn nbz

zcznkknncz

nkknndz

nkknna z





 

 



 

 



















 







 



 













 



11 1n

knn bz







 



利用(3)，我们有

 



 



 



 





 



 



 



 

ˆˆ

222111

21 11

211 1

111

GzFzGzFz

znkknncz

nkknndz

nkknna z

nkknnb z























 

 











，

这等价于













ˆˆ

Re 1

ˆˆ

LF zLF z

Fz Fz



 

反之，假设



,,,



T

，其中 12

max 0,1



















。令







0, 1zrr 。那么由(4)可得



 





 







ˆˆˆˆ

eRe

Re 0

LF rFrkLFrFrAr





 



 (5)

286

乔金静，王超  单叶双调和映射类

这里

 



 



 



 



 



 



 



 



1e11

e1 11

rnknnn

nknn ndr

nknnnar

nknn nbr



 



















 

 

 

 



 



 



 



 



11 11 1

1111

Crn ncrn ndr

nnar nnbr



  













  

  





Re ee1



，从而因为

 



 







 







 



 



 

Re11 11

)11 1

11 1

rBrkn ncr

nknn ndr

nknn nar

nknn nbr

 





















 

 

 



因此，由(5)可得

n n





 









Cr  (6)

若(3)式不成立，那么当 r充分接近于 1时，(6)式的分子





Br是负的。从而存在



0,1zr，使得









，

这与(6)式矛盾。故不等式成立。定理证毕。

在定理 1中取

(3)

0, 0





，则对于调和映射

，有如下推论。

推论 1：设



zz azbz









是单叶保向的调和映射，且满足









00 00

nk kank kb1









  

 ， (7)

则f



SDk



。

反之，如果



SDk T



，那么不等式(7)成立。

注1：在推论1中，若，即，得到了









fS





bn

，可得[15，定理 2.1]；若令 00k



中元

素的特征，参考[12]。

推论 2：设



zz azbz









是单叶保向的调和映射。若满足 f





 



00 00

nnk kannk kb1









  

 (8)

则



fKDk



。



KDk T



，那么(8)式成立。反之，如果

乔金静，王超  单叶双调和映射类

288

注2：在推论 2中，设 fS



，则可得[15，定理 2.2]。

推论 3：([11，定理 1])设



zz azT





 

。如果



nk k





 



n na



 

 





 





,,,







那么。

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