 Hans Journal of Wireless Communications 无线通信, 2013, 3, 77-86 http://dx.doi.org/10.12677/hjwc.2013.33012 Published Online June 2013 (http://www.hanspub.org/journal/hjwc.html) The Performance Analysis of Joint Decoder in Single-Input Single-Output Wireless Communication System Xie Chen, Haiquan Wang, Ruiming Chen School of Communication Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Email: chenxie.ok@163.com Received: May 9th, 2013; revised: May 12th, 2013; accepted: May 19th, 2013 Copyright © 2013 Xie Chen et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre- stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: For a single-input, single-output wireless communication system, the joint decoder is derived, and its per- formance analysis is shown in this paper. In fact, an analytic formula of calculating pair-wise error probability (PEP) is given. Analysis based on this formula shows that the joint decoder without channel estimation outperforms decoders is based on channel estimation. Moreover, it also shows that, for a fast fading channel, performance of decoder based on training is worse than the performance of decoder without training. Simulations confirm our analysis above. Keywords: Single Input Single Output; Training Sequence; Flat Fading Channel; Joint Decoder 单发单收系统下联合解码方法的性能分析 陈 勰，王海泉，陈瑞明 杭州电子科技大学通信工程学院，杭州 Email: chenxie.ok@163.com 收稿日期：2013 年5月9日；修回日期：2013年5月12 日；录用日期：2013 年5月19日 摘 要：对于一个单发单收的无线通信系统，本文推导了联合解码法，并对其性能做出了理论的分析，得到了 其成对错误概率的解析公式。基于此公式的分析表明，不用信道估计的联合解码法的性能要优于基于信道估计 方法的系统性能。并且在某些特定的条件下，不发送训练序列的系统性能要优于基于训练序列的系统性能。所 有的仿真证实了上述结论。 关键词：单输入单输出；训练序列；平坦衰落信道；联合解码 1. 引言 单发单收无线通信系统，即发送方与接收方都仅 装备有一根天线的无线传输系统，是无线通信里最基 本的系统，它已广泛地应用于实践。对这样的系统的 研究，无论从理论的角度，还是从应用的角度，都已 经取得了巨大的进展[1,2]。这些研究可大致分为两大 类，其一是假设接收方知道信道的瞬时信息；其二是 假设接收方不知道信道信息。本文关心第二种。 在接收方不知道信道信息的条件下，通常的做法 是有以下两步。第一步，发送方发送训练序列。当训 练序列到达接收方时，由于信道与接收机的噪声影 响，接收方只能从它接收到的信号中估计出信道；第 二步，发送方发送数据给接收方。当信号到达接收方 后，接收方把先前估计的信道当作真实信道，从信道 中解出所需要的数据。基于这种传输方式的研究大部 分都集中在如何估计信道，即提出了各种各样的信道 估计方法及其相应的方法的性能分析。其中一些经典 的方法，如 ML–信道估计法、MMSE–信道估计法等。 Copyright © 2013 Hanspub 77  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 近年来，又有一些新的估计方法，例如，在 PSAM (pilot-symbol assisted modulation)下的 QAM 信号的符 号错误概率上限已经在[3]中给出了。文献[4]提出了一 种基于自适应均衡器的低复杂度的信道估计方法。文 献[5]提出了一种迭代 CR (correlation reshape)算法来 消除 ISI (Inter-Symbol Interference)。文献[6]利用构建 特殊相关窗的方法提出了低复杂度的信道估计方法。 文献[7,8]都是利用迭代的方法，由 PN 序列和数据符 号得出信道估计。文献[9] 则给出了一种基于 SISO/MISO DTMB 系统简单、通用的低复杂度 TDS-OFDM 时域信道估计方法。文献[10]中，作者针 对最小平方估计精度有限的问题，提出一种自适应信 道估计的方案。文献[11]中，作者提出了一种基于最 优观测矩阵的自适应贝叶斯压缩感知技术的信道估 计方法。在文献[12]中，作者提出了基于信道特征的 信道估计方法，而在文献[13]中，信道估计被分为了 两个步骤，以适应于新的信道环境。对于新条件下的 信道，如压缩感知的超宽带信道[14-16]，或与无线中继 网络结合[17]等，提出了新的信道估计方法。 显然，利用信道估计方法的系统其性能依赖于具 体的信道估计方法。本文采用另外的方法，即联合解 码法。具体地说就是不利用信道估计而把所接收到的 带有训练序列的信号与带有数据的信号联合在一起， 利用 Maximum-Likelihood (ML)解码法解出发送的数 据。采用这种方法的系统性能不依赖于信道估计方 法。另一方面，由于 ML–解码法是最优的解码法， 因而，由此方法得到的性能应该是最优的性能。 本文的主要创新点与贡献在于，对于一个单发单 收系统，推导出联合解码法，并对其性能做出分析， 即求出其成对错误概率(PEP)公式。在此基础上，分析 系统的各种参数的作用。令人惊讶的是，以上的分析 表明，在某些特殊的情况下，利用训练序列方法的系 统性能还没有不用训练序列的系统的性能好。 本文剩下的章节中，II 主要介绍了本文的系统模 型。III 则具体分析了联合解码的方法，并对其性能进 行了理论分析。IV 中给出了 matlab 仿真，并对结果 做出了简要的分析。 2. 系统模型 我们采用单发单收的通信系统模型，即发送方和 接收方都只有一根天线，假定在时间 T + τ内，信道 可认为是不变的。但从一个 T + τ到下一个 T + τ时间， 信道是变化的。本文假定 。系统基本模型如下： 1T h YXW (1) 其中 Y为接收到的数据； 为信噪比；h为信道系数， 假定 h独立同分布且 ；X为发送的数据； W为加性高斯白噪声W。 0,1 0 ~hCN ~CN 1 , 在发送数据前，我们将先发送训练序列 012 ，其 中“T”表示矩阵的转置： 000 h Y0 W (2) 其中 0 为训练序列的信噪比。这样与为 τ维的 复向量。然后，我们在之后T时间内发送数据 0 Y0 W d X ： 1dd h YX d W (3) 其中 ， 12dT yy y Y 12dT x xx X 1 为接收数据的信噪比。 本文中能量限制为 2 1 i i ，2 1 T j j x T 。 联合式(1)、式(2)、式(3)，写成矩阵形式有： h YQXW (4) 其中 0d YYY ， 001 T diag 1 Q ， 0d XX，和 。 0d WWW 我们的任务是从 Y中解出 d X 。通常有两种方法。 第一种是利用估计出信道系数 h，记为 0 Yh ，然后把 h 代入到(3)中解出 d X 。第二种方法是不做估计，直 接从(4)中解出 d X 。后一种方法称为联合解码法。它 的性能不依赖于信道的估计。以下我们给出具体的联 合解码方法，并做出其性能分析。 3. 联合解码及性能分析 3.1. 联合解码法 我们对方程(4)应用 ML–解码。在每个码字都均 匀地输入信道的前提下，ML解码法就是要极大 Y的 密度函数。而从方程(4)可知，在 X给定的条件下，Y 应该是 Gaussian 分布，因而，ML-decoder 解码准则为 Copyright © 2013 Hanspub 78  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 1 1 max e det H YY ， 其中 Σ为接收信号的协方差矩阵，“H”表示矩阵的 共轭转置。由于 h与W的相互独立性，有 000 010 01 01 HH HH HH TT HH d T HH ddd hh hh YYQ XWXQW QXX QΙQXX QΙ XΙ XXX HH (5) 这样易求得 1 det H T QXX Q Ι (6) 其中 22 2 01 2 22 2 11 2 01 det 1 1 T T xx x T (7) 由于 与所发送的信号 det d X 无关，从而 11 1 arg maxemin det HH YY Y Y (8) 又由于 1 argmin argmindet arg mindet arg max H HH T HH H HH QXX Q YY YΙY YQXXQY YY YQXXQY (9) 又由于 00 01 HH dd YQX YYXH (10) 将(10)式代入(9)式，最终得到 ML–解码为 2 00 01 arg maxHH dd YYX (11) 注意：1) 当条件 2 1 T i i x T 不被所有码字满足时，则 ML–解码应为 1 1 arg maxe det H YY (12) 2) 在上述公式中，尽管没有信道信息 h，但它已 经包括在接收到的信号 Y中。因此，信道的状态会影 响解码的正确性。 3.2. 性能分析 我们对上述的ML-解码做出成对错误概率分析， 记此概率为 。假设系统有两个码字 e P1d X 和2d X 。当 1d X 被传送时，其协方差阵为 1 X ，其中 10 1 d XX 2d ，误判概率为 。同 样 ， 当 d X 12 d XP X 被传送时，其协方差阵为 2 X ，其中 20 2 d XX ，误判概率为 21 dd P X X。显 然 12 1 21 eddd dd d PP P PP XX X XX X 2 (13) 其中 1 d PX与 2 d PX分别为 1d X 与2d X 被使用的概 率。根据假设， 12 1 2 dd PP XX 。 因此 12 2 11 22 edd d PP PXX XX 1 d (14) 让我们先计算 12 dd PXX。由ML-解码法可 知， 12 1 1 11 12 1 1ed det H HH dd T P X XX YY YYY Y X XX Y (15) 作积分变换 ，可变为： 1 11 2 X ς Z ςY 12 11 1 22 121 22 12 22 22 121122 12 2 1ed 1ed H HH dd T P XXX ZZ ZZZ Z ςς ςς ς ς XX Y ςς d (16) 其中 1 、2 为121 11 1 2 2 X XX 的非1特征值，且 12 。 引理 1： 12 1 12 1 1 dd P XX (17) 引理 1证明可见附录。 同样可得 Copyright © 2013 Hanspub 79  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 21 1 12 1 1 dd P XX (18) 其中 1 与2 为矩阵 212 11 1 2 2 X XX 的非1特征值。 因此 1 121 2 1 11 11 22 e P 1 1 (19) 下面我们找出 1 、2 与1 、2 之间的关系。 引理 2：对上述1 、2 与1 、2 ，下列关系式 成立。 1) 12 1 ，12 1 ； 2) 1 2 1 ，2 1 1 ； 3) 2 1 41 2 aa a ， 其中 22 01 01 sin 1 T aT ， 而 12 12 cos H QX QX QX QX。 引理 2的证明可见附录。 把引理 2的结果代入(19)式可得 12 1 12 11 11 1 11 11 11 22 11 11 2121 e P 1 1 (20) 这样，由引理 2中的(3)可知 2 11 1 24 4 11 2 e a Pa aaa (21) 总结以上，我们有下列定理 定理：假设系统有两个码字，分别为 与 111 121dT xx x X 221 222dT xx x X，满足 2 1 1, 2 T ij j xTi 。 系统经过τ次训练，其训练序列为 012 ，满足 2 1 i i 。则上小节 给出的 ML–解码法的错误概率为 11 24 e a Pa (22) 其中 a由引理 2中给出。 3.3. 从定理中得到的一些初步结论 3.3.1. 结论一 显然，由定理可知，成对错误概率完全由 a所 确定。假定系统的总能量固定为 e P ，即训练所用能量 与T时间内传送信号所用能量之和为 ，则有 01 T 。从引理 2可知， 22 01 01 sin 1 T aT 因此，当 时， ，且由泰勒级数一 阶展开可知， 0 e P 1 4 e Pa (23) 由此可以看出，成对错误概率 是随着 e P 的增加 而以 1次方下降。因而可以断定，系统的定向分集增 益是 1。而当接收方完全知道信道信息时，系统的定 向分集增益也是 1。从此可知，发送训练序列信号并 不改变系统的定向分集增益。但是这个系统的编码增 益会有所不同，事实上，当接收方完全知道瞬时信道 系数 h时，利用 Q–函数的近似式 22 21 32 11 ee 612 x x Qx (24) 可以计算出其成对错误概率e P可以近似为 2 11 11 12 362 e P 2 ss (25) 其中 21 sss， 与是系统的两个码字，且满足 能量约束 1 s2 s 22 12 1 ss 。 令1 1 d T X s，2 2 d T X s，与(23) 式比较，可以证 明 e PP e (26) 特别地，当 很大，而 时，可以得到 1T Copyright © 2013 Hanspub 80  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 2 2 sin sin 1 a 2 ，从以下3.3.2.的推导可知， 其最优设计为 1 ，01 2 ，22 sinsin 2 。 其中 为复数 1d X 与2d X 之间的夹角。因而 22 11 sin4 sin 22 e P (27) 另一方面，从式(25)知， 222 11 22 112 32 3 55 312 sin 2 e P sss s 2 1 s (28) 因此 5 12 e e P P (29) 从以上分析可知，当 1T 时，知道信道信息与不 知道信道信息的性能差接近于3 dB。这种差别是没法 用一个好的信道的估计方法来弥补，这是因为我们的 方法是基于最优的 ML–解码法。任何利用信道估计 解码法的性能都不可能优于上述的联合解码法。 3.3.2. 结论二 另一方面，当 固定时，则 a完全由 2 sin 所确 定。显然， a与2 sin 成正比，因此，系统包括参数 、 0 、1 、T及码本，应该使 2 sin 越大越好。由于任 何一对码字都会有可能产生不同的 2 sin 值，因而， 系统的设计准则应该是在所有这些不同的 2 sin 值中 最小值越大越好。下面让我们更加详细地了解2 sin 值。 由定义可知 12 0112 12 010 12 01 cos 1 HH dd H dd TT TTT 1 QX QXXX QX QX XX (30) 注意上式中， 1d T X 与2d T X 是T维单位复球面上的两个 点。如果 12 1 dd bjb TT XX 222 222 001111 1 cos2 TbT bb 2 (31) 为了更好地理解与的几何含义，让我们分几 种情况来分析。 1 b2 b 第1种情况是 0 ，即系统没有训练。这种情况 下， 1 cos H dd TT XX 2 (32) 这样，码本的设计准则应该是增大 1 H dd TT XX 2 越大越好。这个准则与多天线系统中 non-coherent情况下码本的设计准则一致。参见文献 [18]。注意，当 0 时，ML–解码法成为 arg maxH dd YX (33) 第2种情况是 1 ， 。在这种情况下，显 1T 然。且1 2 2 2 1 bb 1d T X 与2d T X 可以等价于实平面上单 位圆上的两个点，而 是这两个点之间夹角的余弦 值。若记此夹角为 1 b ，可以假设 0 ，则 1cosb 。这样， 22 2 001 1 cos2cos 1 (34) 因此，码本的设计准则就应该为使得码字之间的 夹角越大越好。当码本确定之后，我们可以确定 、0 与1 。 由于 22 222 0011 22 111 22 11 cos2 cos 2cos 21 cos21 cos 1 (35) 因此，当 1 21 cos1 221 cos2 (36) 时， 2 cos 达到最小。此时可以得到 2 。 另一方面，由于 01 及1 ，而当 增大 时，即训练次数增多，系统的数据传输率受损。因而， 最优设定是 1 ，这样 02 。 2 ，则上式可写为 Copyright © 2013 Hanspub 81  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 总结以上，可以得到如下结果：当 1 而1T , 系统的最优设计是 1 ，01 2 ，而码本的设计 准则应该为使得码字之间的最小夹角(或者最小距离) 越大越好。 3.3.3. 结论三 下面我们来比较 0 与1 ， 两种情况。 当 1T 0 时，我们设定 。为了作比较，设定两种 情况的传送率为r bits pcu。显然，当 2T 0 时，码本 的组成应该是 个2维的复向量，记为 。而当 r2 21 r 1 T r ，时，其码本应为 个复数，记为 。 例如当 时，根据文献[19]中给定的方法，其最优 的四个向量可以选为如下： 1 1 2 2r 2r 2 11 2 1 11 2 1 1 1 2 c c c bj j cc cbj j 其中 ，0.8881c 2 1 2 c b 。其最大的 2 sin 值为 2 3， 从而所对应的常数 a为 2 31 。另一方面，在 的 设计应选为 4-QAM，所对应的常数为 12 21 。从 此 可知，不进行训练要比利用训练的方法要好。事实上， 让r增大时，理论计算与仿真都可表明，这种差距会 越来越大。 以上简单的例子表明，当信道快速变化时，例如 τ + T = 2时，即每 2个时刻信道就变化一次时，不用 训练而直接利用(33)式解码比利用训练的性能要好。 但是，当信道处于慢变化时，即 + T很大，而信道在 多个 + T时刻内都是不变的，通过训练得到的信息可 以在以后多次数据传输中被利用，这样，所需要的能 量与由训练而带来的速率的损失可以忽略不计，则利 用训练所得到的性能要比不训练的要好。例如，在上 述例子中，如果为BPSK，则要比利用 要好。 21 11 4. 仿真分析 首先，我们对式(21)进行 matlab 仿真，并将其与 实际情况误帧率的仿真分析相比较。系统的仿真环境 如下：τ = 1，T = 6，仿真次数N = 100,000，随机产生 2个点的码字。 由图 1可以看出，两条曲线完全重合，这说明本 文推导出的帧错误概率公式是正确的。 接着，我们将本文中的联合解码方法的性能与对 信道进行 ML 估计，以及对信道进行 MMES 估计的 方法进行比较。系统的仿真环境如下： = 1，T = 2， 星座为 16-QAM，仿真次数 N = 100000。结果如图2 所示。 由图 2可以看出，联合解码优于采用信道估计的 解码方式0.4 dB，其中采用ML 进行信道估计与采用 MMSE 进行信道估计的误帧率基本一致，这也与实际 246810 12 10-1.9 10-1.6 10-1.3 (dB) Figure 1. Comparison between theoretical derivation and actual BER 图1. 理论推导与实际误码率的仿真比较 68 10 12 14 16 10 -2 10 -1 10 0 (dB) ML MMSE Figure 2. Performance comparis o n between joint decoder, ML channel estimation and MMSE channel estimation 图2. 联合解码法与采用信道估计解码方法的性能比较(ML 信道估计，MMSE 信道估计)方式解码的比较 Copyright © 2013 Hanspub 82  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 情况想符合。 图3中，我们仿真了三种情况下的帧错误概率， 分别是：信道系数已知条件下的误帧率(τ = 0，T = 1， 星座为 4-QAM，采用 ML–解码法)；信道系数未知(τ = 1，T = 1，星座为 4-QAM，采用联合解码)；信道系 数未知(τ = 0，T = 2，星座为 (3 7)式中 4个向量，采用 联合解码)。仿真次数为仿真次数 N = 100,000 次。 jj jj 3251.03251.0 8881.0 6280.06280.0 4597.0 6280.06280.0 4597.0 3251.03251.0 8881.0 (37) 由图 3可以看出，信道信息已知时的误码率要优 于信道系数未知的误码率 3dB，这与节 3.3.1 的理论分 析所得出的结果一致。而从图中的另外两条曲线(τ = 1，T = 1与τ = 0，T = 2)的比较可知，信道变化比较 快(即相干时间为 2)的情况下，不用训练而直接利用联 合解码法解码的性能要优于利用训练序列的性能，这 也证实了文中节3.3.3 的分析。 5. 总结 本文对于单发单收的无线通信系统，推导了一种 联合解码法，并对其性能做出了理论分析，得到了其 成对错误概率的解析公式。通过对此公式的分析表 明，不用信道估计的联合解码法的性能要优于基于信 68 10 121416 10 -2 10 -1 10 0 (dB) =1,T=1 =0,T=2 Figure 3. Performance comparis o n between ML decoder with CSI, ML channel estimation and joint decoder 图3. 信道系数已知且用ML–解码、信道系数未知用 ML 解码法、 信道系数未知且用联合解码法的性能比较 道估计方法的系统性能。并且在某些特定的条件下， 例如，信道变化很快，即相干时间很短，不发送训练 序列的系统性能要优于基于训练序列的系统的性能。 所有的仿真证实了上述结论。 尽管联合解码法具有极优的性能，但所付出的代 价是解码复杂度很高。如何在保证性能的条件下，降 低复杂度将是一个具有挑战性的研究课题。 6. 致谢 本文受到国家自然科学基金(资助号60972049)， 教育部第 37 批归国留学人员科研启动基金及浙江省 “钱江人才”计划资助。 参考文献 (References) [1] D. Tse, P. viswanath. Fundamentals of communication. Cam- bridge university press, Cambridge, 2005. [2] A. Goldsmith. Wireless communications]. Cambridge university press, Cambridge, 2005. [3] K. Yu, Evans, I. Collings. Performance analysis of pilot symbol aided QAM for Rayleigh fading channels. Proceedings of IEEE International Conference on Communications, New York, 28 April-2 May 2002, 1731-1735. [4] T. Chen, Y. V. Zakharov and C. S. Liu. Low-complexity chan- nel-estimate based adaptive linear equalizer. IEEE Signal Proc- essing Letters, 2011, 18(7): 427-430. [5] B. Song, L. Gui, Y. Guan, et al. 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[19] 王海泉, 陈颖, 赵知劲. 多天线系统中的空时码技术[M]. 北 京: 科学出版社, 2011: 96-111.  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 附录 1. 引理1的证明： 对(16)式作积分变换 1 11 e j ς，2 22 e j ς，可 得 12 22 12 22 22 121122 22 12 22 22 121122 22 12 22 22 11 2 2 22 2 21 1 2 22 2 21 12 1 2 22 12 22 12 11 1 22 112 00 1 12 2 0 4ed edd edd eedd e1e d 1 dd P d XX 2 22 1 1 112 2 0 2 1 1 12 ed 1 11 11 1 1 (38) 2. 引理2的证明： 定义矩阵A为 11 2 1211 2 。由(5)式可知， 21 22 11 22 11 22 11 11 2 HH HH HH HH rank rank rank rank rank QXXQQX XQ XX XX XX XX (39) 因此 ，这样，A的非零特征值最多只 2rankA 有2个。而 1 111 1 1 222 2 1211 21T AΙ ， 因此矩阵 11 1 2 121 2 的非 1特征值最多只有 2个，记为 1 与2 。同样， 11 1 2 212 2 的非 1特征值也最多只有 2个， 记为 1 与2 。 1) 由于 1 与2 是 11 1 2 121 11 11 22 121 2112 101 201 detdet det det 11 det 1 T T (40) 同理 121 。 2) 由于 1 11111 11 22 222 22 211 2121 1111 1 2222 22 12212 (41) 即 11 1 2 121 2 与矩阵 11 2 212 2 相似。因此， 11 1 22 121 与 矩阵 11 2 212 2 有相同的特征值。 又由于 1 11 11 1 22 22 212 212 ， 所以， 1 、2 与1 、2 互为倒数。而12 ，12 ， 因而 1 2 1 ，2 1 1 。 3) 令A的非零特征值为 1 ，2 ，则 11 22 122 1 11 1 22 121 21 11 22 1 11 22 1 22 11 1 2 2 21 2 1 det det det det bb T H H T H H HH tr trtr T tr T tr Tτ Ι QX QX ΙQX QXΙ QX QX QX QX QXQXQX QX QX QX QX 2 1 1 22 2 21 01 01 01 0 22 01 01 det cos 11 sin 1 H T TTT T T QX QX QX (42) 2 的非 1特征值， Copyright © 2013 Hanspub 85  单发单收系统下联合解码方法的性能分析 Copyright © 2013 Hanspub 86 其中 1 12 cos HH 2 X QQX QX QX。并且 11 22 12 121 21 11det det det1 (43) 由式(41)和式(42) ，可解得： 2 1 4 2 aaa ， 2 2 4 2 aa a (44) 其中 22 01 01 sin 1 T aT 。由于 11 1 22 121T AΙ，则 1 2 1 ，2 1 1 。所以。 引理 2中的(3)成立。 |