 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 114-126 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.23015 Published Online August 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) The Riemann Problem with Delta Initial Data for the Chaplygin Pressure Aw-Rascle Traffic Model Jianye Li Fuzhou University, F u z h ou Email: lijianye.07@163.com Received: Jun. 10th, 2013; revised: Jun. 19th, 2013; accepted: Jul. 1st, 2013 Copyright © 2013 Jianye Li. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distri b ut ion , and reproduction in any medium, prov id ed th e original work is properly cited. Abstract: In this paper, we solve the Riemann problem with the initial data containing Dirac delta functions for the Chaplygin pressure Aw-Rascle traffic model. With the characteristic analysis, under the suitably gen- eralized Rankine-Hugoniot relation and entropy condition, we constructively obtain the global generalized solutions that explicitly exhibit four kinds of different structures involving delta shock waves. Keywords: Aw-Rascle Traffic Model; Generalized Rankine-Hugoniot Relation; Delta Shock Wave; Linearly Degenerate; Entropy Co ndition 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克 函数初值的黎曼问题 李建业 福州大学，福州 Email: lijianye.07@163.com 收稿日期：2013 年6月10 日；修回日期：2013 年6月19 日；录用日期：2013 年7月1日 摘 要：本文研究带有Chaplygin 压强的Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题。在广义 的Rankine-Hugoniot 条件和熵条件下，我们构造性得到四种不同情形下的全局广义解，包括了含有狄 拉克激波。 关键词：Aw-Rascle 交通模型；广义Rankine-Hugoniot条件；Delta-激波；线性退化；熵条件 1. 引言 我们考虑 Aw-Rascle (AR) 交通模型： 0, 0, tx tx u up uup (1.1) 其中 ,分别表示交通的密度和速度。在2002 年，Aw 和Rascle 提出了交通流的宏观模式。自从那时起，已 经了许多优秀的文献[1-5]。Godvik M.和Hanche-Olsen H.[1]证明了Aw-Rascle 交通模式的 Cauchy 问题的弱熵解 的存在性。Sun M.[2]研究了交通模式的基本波的相互作用现象并且构造性的得到了三片常数初值的Riemann 解。Shen C.和Sun M.[3]证明了Aw-Rascle 模式的Riemann 解的极限是零压时的解。Pan 和Han[4]证明了带有 u Copyright © 2013 Hanspub 114  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 模式的 delta 激波的存在唯一性。 状态方程 ，其中 是密度 0, 0 a pa p 和小值参数 0 的函数且满足 。 0 lim ,0p 那么(1.1)的极限形式是下面零压气体动力学模式： 2 0, 0. tx tx u uu (1.2) 带有下面这种重要的状态方程的系统(1.1) 1 p (1.3) 称为 Chaplygin 气体动力学，这已经有了大量相关的论文见[6-10]。系统(1.1)和(1.3)改写为 2 0, 10 tx tx u uuu . (1.4) 而对于满足初值条件(1.5)的含有 Dirac 函数的初值的黎曼问题也称为Radon测度初值问题已经被深入地 研究了见文献[11-13]。Yang 和Sun[11]讨论了一类耦合双曲守恒律方程组的黎曼问题并在广义 Rankine-Hugoniot 条件和熵条件下证明了 -激波的存在唯一性。Wang 和Zhang[12]研究了在一维Chaplygin 气体方程组的黎曼问题 并利用给初值一扰动证明了其稳定性。 因此本文主要讨论系统(1.4)的黎曼问题且满足初值 00 ,, 0 ,0, ,, ,, 0 ux utxm ux ux , 0, . (1.5) 显然易知初值条件 ,,0 ,0, ,, 0 ux ut xux , . (1.6) 是与(1.5)中 一致的。其中 00 0, 0mu 是标准的 Dira delta函数，， ， 0 m0 u ， 是任意的非负常数。Pan 和Han[4]对带有 Chaplygin 压强的Aw-Rascle 交通模式得到了含有常数初值的黎曼问题的广义解。在本文通过用 类似于 Wang 和Zhang[12]的方法，我们求出了四种不同情形下整体广义解的表达式，包括了含有狄拉克激波。 u 文章安排如下，第2部分，我们回顾了Pan 和Han[4]带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型的一些结果。 第3部分，我们分四种情形构造了(1.4)和(1.5)的广义解和不同整体解的结构。 2. 含有常数初值的黎曼问题 Aw-Rascle 交通模型 本节中，我们简洁地回顾了满足初值(1.6)的系统(1.4)的黎曼问题。易知系统(1.4)的特征值为 1,uu 。 对应的特征向量为 TT 2 1,1 ,0,1rr 。简单计算得 0r 。因此系统(1.4)是严格的双曲且在Lax 的 意义下是线性退化。 因为满足(1.6)的系统(1.4)在坐标系 ,, x txt ( 是常数)保持不变，故我们可以找到一自模解 Copyright © 2013 Hanspub 115  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 ,,, ,. x utx ut 那么(1.4)和(1.6 )就可简化成下面的常微分方程的边值问题 2 0, 10 u uuu , 和 。 ,,uu 由此可得对任意光滑解都含有一般解： ,,u 0 常数 ，或奇异解被称为疏散接触间断 ： R 1, 11 ,: ,. u Ruuu uu , 同时对在 的有界间断，Rankine-Hugoniot条件成立： 2 0, 10 u uuu , (2.1) 其中 00 是 跨过间断线的跳跃， 是间断的速度。解(2.1)可得两种间断：接触间断 J 和压缩接触间断 S ,: J uu u . 1, 11 ,: ,. u Suuu uu , 1) 当1 u u 时，我们得到这个包括两个接触间断和中间状态解，表示为 1 ,, , 1 ,, ,, 1 ,, . uxu utxuut xut uu ux , t ut 2) 当1 u -激波。有间断 x xt的系统(1.4)的 u 时，特征线将会重叠，此时就 出现了 -激波可以 表示一下形式 Copyright © 2013 Hanspub 116  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 ,, ,, ,, ,, ux utxwtxut uxut ux , , , ut ut 令 是 ,; ,uu w -激波， wt 是delta 激波的权重，那么广义 Rankine-Hugoniot条件成立 0 2 0 d, d d, d d, d xt u t wt uu t wtuuuu u t (2.2) 其中 ， 0u ， 0u 。 且0,wu 是常数且由下面代数方程决定 0 2 0 , 1. wu u wuuuu u 同时，为了保证解的唯一性， -激波应该满足熵条件： 11 uuuu u . 这意味着 11 :0Auu 。 简单计算，我们有 若 0 时， 2 0 1, 2 uu uw u u 。 若 0 时， 2 2 0 , uuu uw uu 。 这与 Pan 和Han[4]是一致的。 3. 含有狄拉克初值的 Aw-Rascle交通模型的黎曼问题和解的结构 在本节中，我们构造了系统(1.4)和(1.5)的黎曼解。根据 1 u ， 和 0 u u 之间的关系，我们分情形讨论黎曼 问题。 情形 3.1 0 1 uu u 。 子情形 3.1.1 0 1 uu u 为了构造系统(1.4)和(1.5)的解，首先给予一个扰动，即满足下面的初值 。 Copyright © 2013 Hanspub 117  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 ,, ,ux 00 ,0 , ,,, 2 ,, , m ux ux ux (3.1) 其中 是充分小的。在弱解稳定性定理的基础上，如果我们得到的(1.4)和(3.1)的解，那么只要令 0 0 ，我 到了们就得 (1.4)和(1.5)的解。 因为 0 1 uu ，00 0 2 uu mu ， 当 很小时，初值问题(1.4)和(3.1)的解可以写为 0 1112 01222 ˆˆ ˆˆ , ,, 2 muJ uJ u 其中“+”表示“和”的意思。同时 由下面方程组决定 ˆˆ ˆˆ ,,uJ uJ 11 ˆˆ ,u 10 ˆ,uu 1 1 11 ˆ. ˆ uu 同样 由下面方程组决定 22 ˆˆ ,u 2 20 20 ˆ, 12 ˆ. ˆ uu uu m 的速度是 00 2 um 。因为 00 0 2 uum 2 ˆ J 的速度是 和 0 u1 ˆ J ，所以在有限的时间内接触间断 2 ˆ J 将会覆盖接触间断 1 ˆ J ，它们的 记为 00 , x t 交点 由下面方程组决定 0 x00 000 0 , 2. ut x ut m 简单计算得 00 000 ,, x tumm 。 时，我们又考 曼问题满足初值 接下来在 虑黎 0 tt 11 0 0 22 0 ˆˆ ,, ,, ˆˆ ,, ux utu ux , . x x 因为 0 1 uu u ，一接触间断 1- 1 ˆ J ，一接触间断 2- 2 ˆ J 和中间状态 33 ˆˆ ,u 组成了黎曼解，其中 33 ˆˆ ,u 由下面方程组决定 32 31 31 ˆˆ, 11 ˆˆ. ˆˆ uu uu 因此(1.4)和(3.1)的解可以表示为 Copyright © 2013 Hanspub 118  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 111332222 ˆˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ,,,uJ uJuJu 1 ˆ ,uJ , 这时，我们已经完全构造好了(1.4)和(3.1)解，接下来我们只要令 0 我们就得到了(1.4)和(1.5)的解。我们 容易得到 310 2 0000 0 3120 3 12 ˆˆˆ ,, ,, 11 111ˆˆˆˆ ˆˆ uuuu uu , x tumm uuuuu u . 激波为 00 ,,对 ， 0 0tm -0 x tutwt mtutu 。 个解满 Rankine-Hugoniot 条件 且这 足下面广义的 2 d, xt ut d d, d d, d t wt ut u t wtu tutuu u t 及初值条件 00 ,,00,, x wum u ，其中 。 1.2 子情形 3.0 1 uu u 方程组可以得到 。 ,u 由下面 0 , 1. uu uu 激波解为 00 ,,对 ，0t -0 x tutwt mutu 。 形子情 3.1.3 0 1 u u u 。 方程组可以得到 ,u 由下面 0 * , 11 . uu uu 激波解为 00 ,,对 ，0t -0 x tutwt mutu 。 3.情形 2 01 uu u 。(当0 1 uu u 时， 解的结构是相似的。) 我们可以看出粒子 会与粒子 那么 一开始， x 0000x 00x 00x碰撞。粒子 不会与粒子 碰撞。因此我们把解 写成 ,, , ,,, ,, ,,, ,, ,, . ux wtx xtu txxt utx tx utxxtxut ux xt ut ， ,, ,utxu t 是沿着直线 utxutx t 。这里 ,ut 0t是S 其中，对 的右状态由下面 Copyright © 2013 Hanspub 119  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 方程组决定 , 1. ut u ut ut t -激波满足下面广义的Rankine-Hugoniot条件 2 dxt, d d, d d, d ut t wt ut u t wtu tutuuu t (3.2) 其中 t ，带有初值条件 00 0:00,0, 0tx wmu u。 (3.3) 接下来，根据初值问题(3.2)和(3.3)，我们主要解出 ,, x twtut 。同时 u 满足 01 uuu 。 从(3.2)，得到 1 d10 d wuuuuuuuu t 。 (3.4) 2 dd 1 dd wu w uuuuuuu uuuuu tt 。 (3.5) 对(3.5)从0到 积分及由初值(3.3)，我们得到 0 。 (3.6) 可以看成 。 t wu 00 umu mu 0w 或 d0 d wAw tw ， (3.7) 表明 A w，其中 000 0Aumum 。 (3.7 m，得 解)及 0w0 00 ln ln f wwmAAwAm t。 (3.8) 并且因为 0 w fw A w ，所以我们得到 1 wt ft 。 那么我们 得到 000 0 ,d t mu mu ut uxtuyy wt 。 情形 3.3 01 uuu 。 在原点会产生一个 -激波，这是个很典型的情形。我们可以找到下面形式的解 Copyright © 2013 Hanspub 120  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 ,, ,uxxt ,, , ,, ,, utxwtxxtutxxt ux ,xt 其中 x t，和满足广义的Rankine-Hugoniot条件(3.9) wt ut 2 d d, d d, d t wt ut u t wtu tutuu u t d, xt ut (3.9) 和初值(3.3)，其中 。 积分及初值 )，我们得到 对(3.9)从0到(3.3 t 0 2 00 . . m xut wtu tmuxuuut wt (3.10) 消去(3.10)的 ，得 w 2 00 0 mumuxu utu uxuut 或 222 00 d11 0 d2 2 xutmxuutmut t 0 。 (3.11) 解(3.11)，有 22 00 0 0 1 2,0 ,0 , mutuu t mut xt mutwt . 如果 0 ，易知 。 0)，得 222 00 00 20uutmtuuuum 从(3.1 1 22 22 000 1 22 22 00 00 2 2 wtut muutmut uutmtuuuum 。 2 00 1 utmuuxtu ut wt 。 如果 0 ， 200 0 0 , x tu uutmu wtmutu tmtu . Copyright © 2013 Hanspub 121  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 注3.1 我们易知 2 2 ,0 2 lim ,0 t uu u ut uuu , . 根据文献[4]，我们易知 -激波满足熵条件，即 1 lim t uutu ， 这个意味着所有的特征线都在 -激波两边。因此我们得到了一维带有 Chaplygin 压强的Aw-Rascle 的模型的黎 曼问题的整体解。 注3.2 如果 00 0, 0mu，那么 22 2 2 2 ,, ,0 22 ,, ,, , uu uu tut uu xwu tuuu uuu tt uu . 0. 这个结果与第2部分是一致的。 情形 3.4 01 uuu 。(当0 1 uu u 时，那么解的结构是相似的。) 始粒子碰撞。对 0tt 时，解 ,, x twtut 00x 会与那些粒子 00x 对于这种情形，可以看出一开 是 与情们把解写形 3.2 相似的，我 成 ,,uxxt ut , ,, , ,, ,,, ,, ,, , wtx xtu txxt xtx utxxtxut uxut 其中，对 0tt ， ,, ,utxu t 是沿着直线 utxutx t 。t 是与粒子 碰撞产生 00x -激波 的时间。由方程 t x tut 决定，当 时，tt -激波会追赶所有的 2- 断并且 时间内 假 穿透结 子 接触间 在有限 穿透， 设是在 束。 当 时，粒 # tt # ttt 00x 开始与粒子 00。这时我们有初值 x碰撞 111 :, ,ttxtxwt wut u 。 (3.12) 写成我们把解 1,xt 11 1 1 1 ,, ,, , ,, ,, , ,, ,, . ux wtx xtu txxt utx tx utxx txut uxut Copyright © 2013 Hanspub 122  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 其中，对 0tt ， ,, ,utxu t 是沿着直线 utxutx t 。这里 1 ,ut 是1 S 的右状态由 下面方程组决定 1 11 1 , 1. ut u ut ut t 当# tt时，解可以写为 , . xt xt 2 222 2 2 ,, ,,, , ,, ux utxwtxxtutx xt ux , 上的点 1, x tt 存在唯一点 11 , x tt当 时，对任意在激波 # ttt 1 S ，在激波 S ，使得下面式子成立 。 (3.13) 对于 ，广义解满足下面广义的Rankine-Hugoniot条件及初值 (3.12) 111 utxtutxt # ttt 11 11 d d, d , d xt ut wt utu t utuu u t , dt (3.14) 11 12 dwt u t 其中 1 t 。 对(3.4)和(3.7)从0到 积分且满足初值 1 t 0 0wm 有 1011 1 wtm tut xt 。 (3.15) 1 。 (3.16) 101 0 ln lnwtmAA wtA mt 令au u 我们计算 3.16 3.15a，那么 得到 利用(3.13)，那么(3.17)变为 101 0 1ln lnawtamaAAw tAm 11 u txt 。 (3.17) 1 1010 1ln lnaw tamaAAw tAmutxt 。 (3.18) 而且，对(3.5)从0到 积分且满足初值 1 t 0 0wm 有 00 11 mumu wt uut 0 。 (3.19) 有 11 1 ut ut 。 (3.20) 结合(3.19)和(3.20)，有 Copyright © 2013 Hanspub 123  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 1 1 1 A wt uu t 。 (3.21) 从(3.18)，有 1 1 1 F utxt t ， 其中 00 2 21 11ln 1ln 0 aA A Fsa AAama AAm uus uus As Fs uusuus 是单调的，因此我们得到 1 1 1Gutx t t ， (3.22) 其中 和 1 GF 1 G是可积的。 从(3.14)得 111 1 d d wtuuu u t ， (3.23) 和 11 1212 11 d d wu tuutuuuuu u t 。 (3.24) 分别 (3.23)和(3.24)，通过 1 3.243.23 u 消去 ，有 1 w把(3.22)带入 tt 1 1112 1 111 d 0 t t uyu uuy uxxu Guy x y ux x uttuuttwuu 。 (3.25) 对(3.25)从到 积分且满足初值(3.12)得到 tt 122 1 2 121 11 d 1 2 ts tt uy uy uutt x y uxxttuttwxxutt 。 (3.26) 令 ， 11 d22 uu s xx Guy 0 1 Yuyxy 1 Z usxs ，那么(3.26)的第一项等价于 11dd ut x Z ut xutx YZ GY ， 总是负数。因此(3.26)可以写为 ， 1,0Hxt Copyright © 2013 Hanspub 124  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 其中 12 11 2 121 11 1 ,dd 22 1 2 ut xZ ut xut x HxtYZxxuut t GY uxx x utt 。 (3.27) 对 ，我们得到 2 x ttuttw # ttt 1 2 11 0 2 xxutt Huuttuu ， (3.28) 和 1 22 22 2 111 0 22 2 xxutt Huuutt wuuttuutt (3.29) 而且，对 1 x uttxxutt ，有 1 1 1 1d0 ut x ut x HYxxuttw GY x 。 (3.30) 结合(3.28)，(3.29)和(3.30)，在区间 1 x uttxxutt 们可以得到 存在 成立。那么根据(3.14)，我 唯一解，使得对# ttt ，有 H1,0xt 1 wt和 1 1d d x t ut t 。 对时，其中由 # tt# t 1# # x tut 决定，它的解与情形 3.3 是相似的，满足广义的 Rankine- 件(3.9)和初值条件 Hugoniot 条 221#1#1 # ,, , 2 # , x wxtwtut u t。 这里省略。 4. 结论 本文研究了带有Chaplygin 压强的Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题。根据1 u ， 和 之间的关系，我们分情形讨论。首先给初值一扰动得到了黎曼解的稳定性，然后给出了解 delta delta 激波对于揭示自然界及工程技术中的非线性现象的基本规律具有重大意义， 有 References) M. Godvik, H. Hanche-Olsen. Existence of solutions for the Aw-Rascle traffic flow model with vacuum. Journal of Hyperbolic Differential [2] M. Sun. Interactions of elemen t a ry waves for the Aw-Rascle model. SIAM Journal on Applied Mathematics , 2 00 9 , 69(6): 1542-1558. an, X. Han. The Aw-Rascle traffic model with Chaplygin pressure. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 401(1): 379- 387. 0 u u的结构，包含有 激波。 因此这些解是很 用的。 参考文献 ( [1] Equations, 2008, 5(1): 45-63. [3] C. Shen, M. Sun. Formation of delta shocks and v acuum states in the vanishing pressure limit of Riemann solutions to the perturbed Aw-Rascle model. Journal of Differential Equations, 2010, 249(12): 302 4-3051. [4] L. P Copyright © 2013 Hanspub 125  李建业 带有 Chaplygin 压强的 Aw-Rascle 交通模型含有狄拉克函数初值的黎曼问题 Copyright © 2013 Hanspub 126 lar traffic flow model with phase transitions. Mathematical and Computer Modelling, 2006, 44(3): 287-303. ntration to the Riemann problem for the one-dimensional Chaplygin gas equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011, [5] P. Goatin. The Aw-Rascle vehicu [6] Y. Brenier. Solutions with conce Fluid Mechanics, 2005, 7(3): 326-331. [7] Z. K. Guo, Y. Z. Zhang. Cosm ology with a variable Chaplygin gas. Physics Letters B, 2007, 645(4): 326-329. [8] D. Serre. Multidimensional shock interaction for a Chaplygin gas. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2009, 191(3): 539-577. [9] G. Lai, W. C. Sheng and Y. X. Zheng. Simple waves and pressure delta waves for a Chaplygin gas in two-dimensions. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2011, 31(2): 489-523. [10] S. Che n , A. Qu. Two-dimensional Riemann problems for Chaplygin gas. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2012, 44(3): 2146-2178. [11] H. C. Yang, W. H. Sun. The Riemann problem with delta initial data for a class of coupled hyperbolic systems of conservation laws. Nonlinear Analysis, 2007, 6 7(11): 3041-3049. [12] Z. Wang, Q. L. Zhang. The Riemann problem with delta initial data for the one-dimensional Chaplygin gas equations. Acta Mathematica Sci- entia, 2012, 32B(3): 825-841. [13] H. Cheng, H. Yang. Riemann problem f or the relativistic Chaplygin Euler equations.Journal of Mathematical 381(1): 17-26. |