一个Toda晶格方程的条件对称 Conditional Symmetries of a Toda Lattice Equation

doi:10.12677/AAM.2013.23017

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 135-139

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.23017 Published Online August 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

Conditional Symmetries of a Toda Lattice Equation

Yang Pan*, Lihua Zhang, Desheng Li

School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang

Email: *532335343@qq.com

Received: Apr. 25th, 2013; revised: May 12th, 2013; accepted: May 21st, 2013

mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original w or k is p roperly cited.

Abstract: In this paper, the discrete Lie point symmetry group analysis method is applied on a nonlinear dif-

ferential-difference Toda lattice equation (i.e. a Toda-like equation), i.e. firstly, the Toda lattice equation is

reduced by using Lie point symmetry to get the overdetermined equations corresponding to this Toda lattice

equation, then a conditional symmetry is introduced to solve the overdetermined equations, so the similarity

reduction for the Toda lattice eq uation is obtained, and then the new exact solution s of this Toda lattice equa-

tion are obtained.

Keywords: Toda Lattice Equation; Conditional Symmetries; Similarity R e duction; Lie Point Symmetry

一个 Toda 晶格方程的条件对称

潘阳*，张丽华，李德生

沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳

Email: *532335343@qq.com

收稿日期：2013 年4月25 日；修回日期：2013 年5月12 日；录用日期：2013 年5月21 日

摘要：本文把离散的 Lie 点对称群分析方法应用于一个非线性微分–差分 Toda 晶格方程(即Toda-like

晶格方程)。即首先应用 Lie 点对称方法约化 Toda晶格方程，用以得到此方程对应的超定方程，再引

入一个约化条件解超定方程，从而对该 Toda 晶格方程进行了相似约化，进而得到了其新的精确解。

关键词：Toda 晶格方程；条件对称；相似约化；Lie 点对称

1. 引言

离散系统在工程技术中有广阔的应用前景，一方面是由于很多物理，化学，生物，经济等问题的数学模型

本身就是离散的；另一方面，为了利用计算机对非线性系统进行数值求解时，又必须把连续系统离散化得到差

分方程或微分差分方程，所以讨论离散系统的相似约化与如何求出离散系统的精确解就有很大的理论意义和广

阔的应用前景。其中的 Toda晶格系统是少数几个完全可积的离散系统模型，因此对其解的研究就显得尤为重

要[1-10]。在文献[2-5]中，沈守枫，张隽，唐晓燕，Yan Z. Y.等已经通过椭圆函数，李群点对称等方法给出了晶格

系统的一些精确解。本文研究的 Toda 晶格方程(即Toda-like 晶格方程)中包括与速度有关的外力作用项，这样的

方程更符合实际的物理系统。在文章[3]中，沈守枫虽然研究了 Toda-like 晶格方程的李点对称约化解，但是他并

未考虑到给出一个约束条件时，Toda-like 晶格方程是否会有新的解出现这一问题，因此本文研究了一个在某一

约束条件下的Toda 晶格方程，并求出了它的一些新的解，从而更好的解决现实中的问题。

*通讯作者。

潘阳等  一个 Toda晶格方程的条件对称

2. 一个Toda 晶格方程的条件对称

考虑如下形式的(1+1)维Toda 晶格方程的离散Lie 点对称和精确解:

 



  





123 1

nttt t

u nau naunagunungunun 



10



(1)

设该方程的对称李代数的向量场为：



















ˆ,, ,,

tun

Vtutn tutn





 (2)

保持方程形式不变的条件为：

ˆ0

pr V



 (3)

其中：



 



 



ˆ,,,,,, ,

,, ,,

knkn t

nt t

uku k

kn kn

kn tt tttuk

prVtutnktukktuk u k

ktuk uk uk

 



 

 





 







(4)

 



























,, ,,,,

ttt t

ktuku kDktukDtuku k





 



(5)



 

























,, ,,,, ,,

tt t

ttttt ttt

ktukuk ukDktuk ukDtukuk





 





(6)

把(1)代入(4 )，得到超定方程为：



 







 



 



 



 



 



 



 

123

1231 4

231 1

21 1

tttt ttt

tununun tununun

ttt t

un un

tttttt

un un

nnun unun

un aun aun agunungunun

au nagunungununnu nu nun

aunaunaagu nu nagu nu

 



 

 

 





 





 





 



  



12314 5

110

aunaunaagununagununa





 





(7)

不失一般性，我们可令 1



，此时超定方程可化为如下形式：



 









 



 



 



 



 







 



 

123

12314 5

1231

21 1

111

ttt t

tu nu nu n

ttt

nnunun

aunaunagu nu ng u nu n

aunagunungununnu n

aunaunaagununagununan n

aunaunaagu nu n

 













 





 









 



 



11agun unann











(8)

下面考虑(1)的条件对称，我们引入条件：









cos

untn



 (9)

将此条件代入到方程(8)中，比较系数得：





















222

112 3

1:cos cos1gununaatnatnan n



 



 0 (10)

 























222

112 3

1:coscos1 0gunun aatnatnann



 

 (11)

潘阳等  一个 Toda晶格方程的条件对称















 







123

412 3

1:coscos

2coscos

coscos1 0

tun

gununatnatn a

atna ntn

aatn atnann

 



 









(12)

 













 



 



123

412 3

1: coscos

2cos()cos

coscos1 0

tun

gununatnatn a

atna ntn

aatn atn ann

 



 









(13)

















 







 



 



512 3

tt tu nunu n

nncostncostn

aacostnacostnann

aacostnacostn ann











常数项





(14)

由



un un







的系数等于 0，可知：

情况Ⅰ：时，

10a45

aga





，，

40a

 

exp a

gucau a



不失一般性，考虑。

1, 1,0ca a









exp

uu

此时方程(1)可转化为

 



  





exp1exp1 0

ntt t

unau naunununun 





(15)

此时的方程(8)转化为：



 





  





  







 



22 23

11 1

2 coscoscosee

eecos cose1

cose1 0

ununun un

tt tu nu nu nu n

ununun ununun

tun

un un

nntn tnatna

ntnatna n

atnan n

 

 



 



  

 







 

 





(16)

比较系数：

 













232

e:cos cos

cos1 0

un un

atnaantn

atna nn

 





  



(17)

 









 



232

e:cos cos

cos1 0

un un

atnaa ntn

atna n n

 











 (18)

















:2cos cos

tt tu nu nu n

nntn tn

  

常系数 0





(19)

由和的系数为0可知：



eun un





eun un













21nn n

 



  (20)

即













ntn

 

t (21)

再由常数项的系数为0可知：





tt n





(22)

潘阳等  一个 Toda晶格方程的条件对称

得，。





 





 





















123412 34

,,tCtCtCtC n CtCnCtC



 (23)

由









cos

untn



可得

 





cos d

nun tnt





，于是可把方程(15)直接约化为如下的变系数的差分方

程：















12341 2

212343

exp 1exp1

sin cos

exp sincoscos

FnFnFn Fn

tCtCn CtCCnCt

Ctt CtatCtCnCtCa

 







 

(24)

于是：

 









112341 2

22 212343

sin( )cos

ln exp21expsincoscos

i i

tCtCk CtCCkCt

FnFFCtt CtatCtCkCtCa





 

 



 







 



 

 (25)

 









 



123413

112341 2

22 212343

sin cos

ln exp21expsincoscos

i i

unCtC nCt CtCnCt

tCtCk CtCCkCt

FFCttCt atCtCkCtCa





 

 

 



 







 



 

 (26)

在这里都是自由变量。

1234

,,,CCCC

情形Ⅱ：，，此时，

10a

















nCt



，将其代入到





un un







中

可得，









nCtC





















cosdsin cossin

nuntntunCtttC



 

t (27)

就可把方程(1)约化直接约化为如下的变系数的差分方程：







 

121

112212

sin cos

cos cos

tCtCCt

gFnFngFn FnatCtCatCtCa















(28)

在这里都是自由变量。

,CC

情形Ⅲ：，，

10a



1nn













coscos 0atnatna







经验证在这种情况下满足方程组(10)~(14)的





n是不存在。

3. 结语

在本文中我们通过引入一个条件对称得到了一个Toda 晶格方程新的精确解，这个新的精确解是具有正余弦

形式，接下来我们将要对(2 + 1)维Toda 晶格方程的条件对称进行讨论。

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