在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解 The Exact Solutions of a Class of the Nonlinear Diffusion Equations under the Generalized Conditional Symmetry

doi:10.12677/PM.2013.35044

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 289-294

http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35044 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

The Exact Solutions of a Class of the Nonlinear Diffusion

Equations under the Generalized Conditional Symmetry

Qiong Wu, Desheng Li

School of Mathematics and System Sciences, Shenyang Normal University, Shenyang

Email: wuqiong_1116@163.com

Received: Jun. 17th, 2013; revised: Jul. 4th, 2013; accepted: Jul. 28th, 2013

which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: This paper will discuss the exact solution of (1 + 1) dimensional nonlinear diffusion equation

by using the generalized conditional symmetries method. Th e convec-

tion term and source term are dependent on the variable x. This paper mainly discusses dif-

fusion term and finally it will give the exact solutions by using method of symmetrically reduced

and classified.



 

tx x

uDuuPxuu Qxu



,Pxu Qx



Du





Keywords: Generalized Conditional Symmetry; A Class of the Nonlinear Diffusion Equation; Exact Solution

在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解

吴琼，李德生

沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳

Email: wuqiong_1116@163.com

收稿日期：2013 年6月17 日；修回日期：2013 年7月4日；录用日期：2013 年7月28 日

摘要：本文利用广义条件对称法讨论了一类(1 + 1)维非线性扩散方程

的精确解问题。其中，对流项



 

tx x

uDuuPxuu Qxu





,Pxu与源项都显示的依赖

于变量 x，本文针对方程的扩散项



,Qxu







这一重要的情形，对该方程进行对称约化、分类，进而给

出方程的精确解。

关键词：广义条件对称；一类非线性扩散方程；精确解

1. 引言

考虑 1 + 1维非线性扩散方程















tx x

uDuuPxuu Qxu,



(1)

其中，为扩散项，和分别为对流项与源项，且均为变量



,Pxu



,Qxu

,u的光滑函数。该类方程的很多

特殊形式的精确解问题，已通过李点对称法[1,2]，非古典方法[3,4]，CK 直接法[5]等方法获得了丰富的结果。

由Fushchych 和Zhdanov 最早提出，并由 Fokas 以及 Liu[6]等人完善的广义条件对称法是对称群中求精确解

吴琼，李德生  在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解

的行之有效的方法，此方法得到的解一般不能由李点对称法或条件对称法等方法求得。对于本文讨论的方程(1)，

当取时，即时，以及取不显示依赖于变量 x的对流项与热源项，

1n



(()) (,)(,)

txx x

uDuuPxuu Qxu







PuuQu

uuuD 时，文献[7,8]运用广义条件对称法分别给出了相应方程的一类新的精确解。文

献[9]利用广义条件对称法讨论了方程(1)中扩散项





uDu



时的精确解，本文将讨论方程(1)中扩散项







时的精确解。

2. 预备知识以及广义条件对称定理

设1 + 1维非线性扩散方程的一般形式为





,, ,,,

uExtuu un

(2)

其中



，它在非李点无穷小变换群下是不变的，且这个变换群为：











,,, ,,

tt tn

xx xn

uutxuuu O

uuDtxuuu O

 





 



该变换称为方程(2)所允许的群，该群等价于如下的演化向量场V，其中



为V的特征：













 (3)

其中 1













，





DDD

，01



。

定义 1[10] 向量场(3)被称为方程(2)的广义条件对称，如果满足





tLM

Vu E





。

其中 L表示方程的所有关于



uE

t,的微分序列集合，即



uE

，





xtt

DD uE



，,0,1,2,ik



，

表示方程 0



的所有关于

的微分序列集合，即 0





，0,1,2,i





命题 1[6,11]方程(2)允许广义条件对称(3)的充分必要条件是存在一个函数





,,,Wtxu



满足





, ,,,EWtxu







，





,,, 0Wtxu





其中





,EE E







，'表示 Gateaux导数，W是关于和的解析函数。

,,, ,txuu2

,,,





推论 1[11]：方程(2)的允许广义条件对称(3)的充分条件是 0





。

3. 主要结果

设方程(1)允许的广义条件对称形式如下：













xx xx

uHuu GxuuFxu



 , (4)

其中，





u是关于的光滑函数，，



,Gxu





xu 是关于 ,

u的光滑函数，由推论 1，即0



及定义 1，

即













2,,

xx xx

uHuu Gxuu Fxu

可以得到方程(1)和广义条件对称(4)中参数函数的决定方程组：

290

吴琼，李德生  在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解

 









 

 



3223

22 2

122

:31 3321310

:3132313

3213 10

:23123 331

31 3

x u

uu u

xuu u

uDnDHnDHnnDHnDHnnDHnnDHH

unnDHGnDGnnDHGnDG

nnD HGnDGnnDHG

unDFnn DHFnnnDHFnDFnn DHF

nDFn



 





 



 



 



 

  

 



  



 

22 2

1222

1231 31

313131 0

:3123 32231

31613 13110

:5 34123

uxuxx

xuxu u

xxx

nDHFnDGnnDHG nDG

n nDGnnDHGn nDGG

unn DGFnnnDHGFnDFnn DGF

nDFnnDGFnnDHFn nDGGnnDGnDG

unnnDHFnnnDG F





 



 

 



  

 



 

 

 



331310

:311 340

:12 0

:2 20

:3 22

:2 0

uxxx

xuu u

xuuuuxu

uxuxxxxux

xuxxux xx

nn DGF

nDFnn DFFnn DGFnDF

unnDFFnn nDGF

unn nDF

uPHP

uHQQPGQH P

uGQPGPFPPG QHQ

uFQGQ PFQFPFQ









 



 

 

 

根据 n的选取情况我们分如下 3种情形对该方程进行讨论：

情形 1：

考虑 n为任意值时，将扩散项代入



Du3n



项的系数得到关于





u的二阶常微分方程，



 

2223

13133 21310nHnH nnHnHnnHnnHH



 



这里给出该方程的 3个特解分别为： 1111

,,1

nn nu











Hu n



我们得到方程(1)如下的决定方程组：

120

uu u

uuu xu

xx xux

QQP

PQ Q













解此偏微分方程组可得



1245 3

184 6

,ee

uuu

nnn

PxuCxCxCx CC

QxuC nxCxnCnCC





 7

方程(1)变成

吴琼，李德生  在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解



12453184 6

eeee

uuu

un nnn

tx x

uuCxCxCx CCuCnx Cx nCnCC









 7









(5)

广义条件对称(4)变成



x

(6)

那么方程(1)的精确解由方程(6) 0



得











,ln

tx t

uxt nn



















，

将其代入方程(5)中，得到





,tt



满足如下方程组：



2745 1

5736 4

1111

tCCCC CC

nnn

tCCCnCC



 



 









这里我们考虑，

C2,5i



，那么可得到：



205

ln e

tCC n

tCtnC C

















 

2)：



Hu n



由(1)可同理得到



  

12453

184 6

,1e1e1e

nnn

PxuCxCxCx CC

QxuCnxCxnCnCC









 



方程(1)变成



2111

12453184 6

ee1ee

uuu

un nnn

tx x

uuCxCxCx CCuCnx CxnCnCC







 













(7)

广义对称条件(4)变成





x

u (8)

那么方程(1)的精确解由方程(8) 0



得

 









,1ln1

tx t

uxt nn





















其中满足如下方程组：







274 51

57 364

1111

1112

tCCCC CC

nnn

tCCCnCC



 

















292

吴琼，李德生  在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解



Hu nu









由此我们可得到方程(1)的如下决定方程组：

111

21 0

uu u

uuu xu

xx xux

QQQP

PQ Q









 0



 







 







解此偏微分方程组可得



123 45

11 11

18764

,ed

,eede2 edd

uuuu

nnn nn nnn

PxuCxCx CuuCx C

QxuuCxuuCx CuCCuuu



 



 









 















由此方程(1)变成



123 45

11 11

18764

eed

eed e2ed

un nn

tx x

uuu u

nnn nn nnn

uuCxCxCuuCxCu

uCxuuCxC uCCuu



 







































(9)

广义条件对称(4)变成





 





u (10)

那么方程(1)的精确解的隐式形式由方程(10) 0





得

 

stx





t

将其代入方程(9)，可得到







，







满足如下方程组：



26 51

135 67

tCCCCC

tCCC



 



 

 





当时。

40C

这里我们仅考虑，的情形，那么可得到：

C5i



 



550 5

11 n

tCtC

tC nCtCCCtC









 







情形 2：

取n = 1时，该方程在文献[4]中已经研究过，并得到了丰富的结果。

情形 3：

吴琼，李德生  在广义条件对称下的一类非线性扩散方程的精确解

294

取n = 2时，我们得到新的决定方程组：

523

: 7616212140

: 288146302100

: 2282461496410

71420 100

xuuuu

uuuu xux

xuuuu

uDDHD HDHDHDHDHH

uDHGDGDH GD GD HGDGDHG

uDFD HFDHFDFDHFDFDHFDGDHG

DGDGDHGDGG PHP



 

 





 



 

2 3

122 2

:103246 726 6104

2220

: 1281012662

3220

:6 42

xuxu uxxx

xxuuuuxu

xuxxxu

uxxxxux

xx uxx

DGFDHGFDFDGFD FD GFDHFDGGDG

DGH QQP GQHP

uDHF DGF DGF DFDFFDGFDFGQPG

PF PPGQHQ

uDFF DGFFQGQ PF















 0

uxxx

QF PFQ

将扩散项代入



Du5

u项的系数得到关于





u的二阶常微分方程，这里给出该方程的 3个特解

111 1

,, 1

232 u











，由 4

u项的系数可得，再分别将该 3个特解带入到决定方程中，我们可给出方程(1)

允许广义对称(2)的一些分类情况，这里我们仅给出与情形 1中的形式不同的广义条件对称形式，其余分类形式

将n = 2带入到情形 1当中均可满足。



,Gxu0







223

tx x

uuCxCu

2C； (11)

xx x

uuC





 

本文中为任意常数，

C1,2,i

4. 结论

本文利用广义条件对称法讨论了方程(1)允许的二阶广义条件对称问题，并得到了该类方程的一些精确解，

相对于条件对称法，古典对称法等方法，该方法得到了该类方程的新解。

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