分担集合的多项式的惟一性 The Uniqueness of Polynomial Sharing a Set

doi:10.12677/PM.2013.35045

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 295-299

http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35045 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

The Uniqueness of Polynomial Sharing a Set*

Dan Liu, Weiyang Lin

Department of Applied Mathematics, College of Science, South China Agricultural University, Guangzhou

Email: liudan@scau.edu.cn

Received: May. 12th, 2013; revised: Jun. 4th, 2013; accepted: Jun. 17th, 2013

which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: This paper studied the uniquen ess of polynomial po sed by Gross in 1976, and prov ed that there ex-

ists a set S with 3 elements such that for any two non-constant polynomials f and g, if f and g share S CM,

then

g. And the number 3 of the set S is best possible.

Keywords: Polynomial; Shared Value; CM Sharing; Uniqueness

分担集合的多项式的惟一性*

刘丹，林威扬

华南农业大学理学院应用数学系，广州

Email: liudan@scau.edu.cn

收稿日期：2013 年5月12 日；修回日期：2013 年6月4日；录用日期：2013 年6月17 日

摘要：本文研究了 Gross 在1976 年所提出的一个惟一性问题关于多项式的情形，证明了存在三个元

素的集合 S，使得对于任何两个非常数多项式 f和g，如果 f, g CM 分担 S，则

g。并且集合 S的基

数3是最佳的。

关键词：多项式；分担值；CM分担；惟一性

1. 引言

设

是一个函数，是一个常数，是一个集合，记aS













,:Eafzf za



，其中重根记次，

。设

n n







ESzf z









g是两个函数，若









,,f Eag,Ea ，则称

gCM 分担；若

，则称



,f



,ES ESg,

gCM 分担集合。 S

1926 年，Nevanlinna[1]证明了：

定理 A 设是 4个判别的有穷复数，若非常数整函数

1234

,,,aaaa ,

gCM 分担，则

1234

,,,aaaa

g。

1976 年，Gross[2]提出下述问题：

问题 A[2] 能否找到两个(甚至一个)有限集合

，使得对任何两个非常数整函数

与

，只要满足

，必有



ESfES g





？若这样的 S存在，问的最小基数是多少？ S

1982 年，Gross 和Yang[3]证明了：

定理 B 设，则对于任何两个非常数整函数



:e 0

Sz z



与

，只要满足，必有



,ESf ESg



g。

*基金项目：本文受国家自然科学基金(基金号：11371149)资助。

刘丹，林威扬  分担集合的多项式的惟一性

1994 年，仪洪勋[4]证明了：

定理 C 设与为正整数，与为非零常数，且满足，，与没有公因子，代数方程

没有重根；表示代数方程

0

,,

15n

5nm

wawb ww wa





的个不同的根，

，这里 c与为常数，且



c



,dc,,wn

dwScdwd



。则对于任何两个非常数整函数

与

，只要满

足就有



,ESf E





,g(



。

1995 年，仪洪勋[5]进一步证明了：

定理 D 设

与

为非常数整函数，集合





nnm

SwCwawb





 ，其中与是二个互质的整函数，

且满足，

与是二个非零常数，使得代数方程

25nmb0

nnm

waw b





没有重根。如果







,,ESf ESg，

则

g。

由定理 D可知，存在一个具有 7个元素的复数集合，使得对于任何两个非常数整函数

与

，只要满足

就有



,,ESf ESg



g。但的最小基数是否为 7，仍有待解决。 S

由于多项式是整函数，所以上述定理也适用于多项式函数。但是，是否能用更简洁的方法证明分担集合的

多项式的惟一性？并且，在多项式的情形下，所分担集合的最小基数是否能确定呢？本文解决了上述问题，并

得到一些相关的结论。

定理 1 设是一个正整数，设



:10,

Szzz n







3,

g是两个非常数多项式，若 ,

g满足

，则



,,ESf ES



g。

注：设是相互判别的非零有穷复数，f是任意非常数的多项式，且



,,,Sabab

fab   ，则 ,

g满

足，但是



ESf



,,ESg

g

。这说明定理 1中是最好的。 3n

定理 2 ，

是非零有穷复数，是一个正整数，设



Szza



02n,

g是两个非常数多项式，若 ,

满足，则



,,f ESgES

tg，其中 1



。

推论 1设，是判别的非零有穷复数，



,Sab,ab ,

g是两个非常数多项式，若 ,

gCM 分担，则或者S

g，或者

ga b。

2. 定理的证明

2.1. 定理 1的证明

由于，且



,,ESf ESg



g是多项式，有















nn nn

fz fzKgzgz

1







 



 (1)

其中 K是常数。

对(1)两边求导，得

 























znfz nfzKgzngz ngz





 

 

 

。 (2)

断言。 1K

下面分两种情形证明：

情形 1。存在满足





00fz,且



00gz



，代入(1)，可以得到 1



。

若对任意满足



00fz



，但，由(2)可知，一定存在



00gz





z的一个零点(不妨仍设为 )，使得

，即





00ng zn





01n

gz n



， (3)

代入(1)，有

296

刘丹，林威扬  分担集合的多项式的惟一性

Knn









 













。 (4)

情形 2。存在满足,且



10gz 



10fz



,代入(1),可以得到1



。

若对任意满足



10gz



，但，由(2)式可知，一定存在一个



10fz 





z的一个零点(不妨仍设为 )，

使得 ,即

 

11nf z



n 0



11n

fz n



。 (5)

代入(1)得

Knn







 



 。 (6)

由(4)和(6)可得

















或



















，

这与

0,2











 矛盾。故必有



。

于是(1)式等价于

 





11nn nn

zfzgzgz





。

上式两边同时除以



z，可得



















11nn nn

zfzgzg z

gz gz



，

即



 



fz fz

gzgz gz







 









 







 





， (7)

设

 



，则有

  









11, 1

hzh zgz

gz hz



 



。

若，分两种情况：



hz

情形 3。，则



1hz





zgz；

情形 4。





1hz



，则

 





12 10

hzhz hz



，此时一定有



 

23 10

hzhz hz





 



，否

则，矛盾。



0hz

由(7)，

 



 





















12 23

111

nnn n

gzhzhzhzhzhzhz hzhz

 



  



1





且





1hz



，所以，矛盾。

 

23 10

hzhz hz





若，且



hz





1hz



，因而











12 10

hzhz hz





 。

由(7)，有

刘丹，林威扬  分担集合的多项式的惟一性















 

hzhzhz

gz hzhzhz



 

 



。

其中，，。

 

1, 2,,1

hzt in 1

t

特别地，，于是，

 

, hz thz t2



 

hz t pz

hz tqz













，

其中和均为非常数多项式，则有





12 11

tt qz pz

 ，或者















pzqzttpzqz (8)

比较(8)两边多项式的次数，矛盾。

于是得到，即



1hz





zgz。定理 1证毕。

2.2. 定理 2的证明

同定理 1的证明，由条件可得













fzaKgza



， (9)

对(9)两边同时求导，得

















11nn

nfzfzKngz gz





，

设满足，则。



00fz



00gz 

将，代入(9)式得













298

1，所以









zgz，即









ztgz，其中，定理 2证毕。. 1t

2.3. 推论 1的证明

由定理 2，。



Szza

当时，有两个元素，不妨设为2nS





,Sab。

若,

gCM 分担，有 S



























zafzbKgzagzb (10)

对



z和



z进行平移变换，令

 

fz fz



，

 

gz gz



，

代入(10)，得到

 

ab ab

fz Kgz







 

 





 

 









，

即



z与



zCM 分担

1:0

Szz









 











。

刘丹，林威扬  分担集合的多项式的惟一性

由定理 2，有







zgz或







zgz ，

当



zgz时，





zgz；

当

 

zgz 时，





zgzab

。

推论 1证毕。

参考文献 (References)

[1] R. Nevanlinna. Le Thérème de picard—Borel et la théorie des fonctions méromorphes. Paris: Gauthiervillars, 1929.

[2] F. Gross. Factorization of meromorphic functions and some open problems, complex analysis. Berlin: Springer, 1977: 51-67.

[3] F. Gross, C. C. Yang. On preimage and range sets of meromorphic function. Proceedings of the Japan Academy of Mathematical Sciences,

1982, 58(1): 17-20.

[4] 仪洪勋. 具有三个公共值的亚纯函数[J]. 中国科学 A辑, 1994, 24(11): 1137-1144.

[5] H. X. Yi. A question of gross and the uniqueness of entire functions. Nagoya Mathematical, 1995, 138: 169-177.