伪抛物方程Fujita指标的注记 The Remark about Fujita Exponent for a Pseudo-Parabolic Equation

doi:10.12677/PM.2013.35046

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 300-304

http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35046 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

The Remark about Fujita Exponent for a

Pseudo-Parabolic Equation*

Binqiang Xie , Yo ud ong Zeng

College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou

Email: xbq211@163.com

Received: Jun. 9th, 2013; revised: Jun. 28th, 2013; accepted: Jul. 8th, 2013

cense, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: In this paper we consider nonnegative solutions to the Cauchy problem for the pseudo-parabolic

equation

uuuu . It is well known that 2

1pN





 is the critical exponent of blow up. Namely,

if , then all the nontrivial solutions blow up in finite time (blow-up case), and if , then there

are nontrivial global solutions (global existence case). In this paper we show for the Cauchy problem,

pp

pp







belongs to the blow-up case. Because [6], there is something wrong in the proof for belonging to the

blow-up case, while [5] the method is too complicate. In the paper we give a new simpler proof for the critical

exponent

p

1pN

 which belongs to the blow-up case, moreover we generalize classical solution to the

general weak solution case.

Keywords: Pseudo-Parabolic; Cauchy Problem; Blow-Up; Fujita Exponent

伪抛物方程 Fujita 指标的注记*

解斌强，曾有栋

福州大学，数学与计算机科学学院，福州

Email: xbq211@163.com

收稿日期：2013 年6月9日；修回日期：2013年6月28 日；录用日期：2013 年7月8日

摘要：本文考虑伪抛物方程

uuuu 的柯西问题的非负解。对于柯西问题，已经知道

1pN

 是爆破的临界指标；即当 pp



，所有的非负非平凡解在有限时刻爆破(爆破情况)，当 pp





时，存在着非平凡的全局解(全局存在情况)。由于文献[6]对于 p



是属于爆破的情况的证明有错，而文

献[5]对于是属于经典解的爆破的情况的证明较繁。本文是对于临界指标

p2

1pN





属于爆破的情况

给出了一个新且简洁的证明方法且经典解推广到更为一般的弱解。

关键词：伪抛物；柯西问题；爆破；Fujita 指标

1. 引言

在本文中，我们将考虑的是下列伪抛物的柯西问题

*基金项目：福建省自然科学基金项目 Z0511015。

300

解斌强，曾有栋  伪抛物方程 Fujita 指标的注记

 

,0 ,

uuuuxRt

uxux xR

 









(1.1)

我们只考虑非负解的情况。如果







ux CR







，那么至少对于充分小的问题(1.1)存在唯一的经典

解。当T，即解是全局的。否则，在有限时刻爆破。后者就意味着，当时，。

0T

tT u



sup ,

uxt





Fujita 在文献[1](m = 1)和Galaktionov 等在文献[2](m > 1)中，证明对于下列初边值









 

 

,, 0,

,0 ,

,0,, 0,

uuuxt T

uxux x

uxt xtT

 













(1.2)

的临界指标结论。

a) 当2

1pmN

 ，那么问题(1.2)的所有非负经典解在有限时刻爆破。

b) 当2

pmN

 ，对于初值充分小，那么问题(1.2)存在全局非负经典解。

情况(a)称之为爆破情况，情况(b)称之为全局存在情况。那么 2





称之为临界指标。Hayakwa[3]和

Weissler[4]通过证明1

 是属于爆破的情况完成了 Fujita 的结论。特别是[4]经典解的结论推广到

L空间弱

解。

在文献[5]中，Yang Cao，Jingxue-Yin, Chunpeng Wang 研究了半线性的伪抛物方程的柯西问题：

 

,0 ,

uku uuxRt

uxux xR

 









(1.3)

得到了相对应的结论：当时，所有的非负经典解是全局的；当时，至少存在一个初值使得非 0p 1p

负经典解在有限时刻爆破。当 2

 ，所有的非平凡非负经典解在有限时刻爆破；当 2

 时，至少

存在一个非平凡的全局非负经典解。

由于文献[6]对于是属于爆破的情况的证明有错，而文献[5]对于pp



是属于爆破的情况的证明较繁。本文

的工作是对于临界指标 2

 属于爆破的情况给出了一个不同于文献[5]的新且简洁的证明方法。在接下来

的文章中，为了不失一般性，由比较原理，我们假设





的定义域是属于

R的一个紧子集中，即

。





ux CR



对于方程(1.3)的局部存在性，唯一性和比较原理都与文献[5]一样，这里就不再重复说明。

下面我们给出文章的主要结论：

定理 1：当 2

 ，问题(1.3)的所有非负非平凡解在有限时刻爆破。

2. 相关的定义及引理

首先我们先给出问题(1.3)弱解的定义。

定义 2.1：如果函数满足下列两个条件，则称之为方程(1.3)在的解：

 

uxt RT





R

a) 且ux ，对于任意的



,0uxt

 



,t BCRT



 0TT





。

b) 存在一试验函数









并满足下列方程：

解斌强，曾有栋  伪抛物方程 Fujita 指标的注记

 









 



00 0

,d ,0d,d ,0d

,d ,0dddddd

NN NN

NN NNN

RR RR

tt t

nn n

RR RRR

uxtx uxxuxtx uxx

uxtsuxsuxtustuxt

 



 





 

 d





(2.1)

假设存在一组







，满足下列的条件：











 

0,, 0 in , d1

, in , 0on

xCR xRx

cx xRxR

 

 

 



 

 (2.2)

命题 2.2：令是问题(1.3)的解，且初值u









ux CR，则









ut LR对每一个时刻t，0 tT

证明：用文献[7]方法易证。

定义



tux





命题 2.3：令是问题(1.3)的解，如果初始值够大使得满足



0> p





， (2.3)

则不能全局存在。 u

证明：选择(2.1)中的试验函数





满足(2.2)，则根据弱解的定义由：

 

,d,0d,ddddd

NN NNN

RRR RR

uxtxuxxuxtxuxtu xt

 



 



因此：

 





,d ,0dddddd

NN NNN

RR RRR

uxtxuxxu xuxtu xt





 

令



tux





   



01d

tJtJt





 



tt



(2,4)

令



 

1, 0

pp p

ppp



 













 









 

 

 

 





，由于当

11p











 时，









，由

t的连续性和(2.3)

得到，如果选择充分小，那么在，

0tt



11p





。接下来将证明只要





t存在，都满足



11p





。

假设存在使得

tt



11p





。令0



是满足条件的最小值.当0





不等式(2.4) 得到矛盾，因为



0d>0





。上述的结果表明对于任意的



，











。而且，由于在



11p





，





是递增的，由









(2.4)可知，。在不等式



0Jt t













的两边在





0, t上积分，则有 







 







 

，

则u不能全局存在。

引理 2.4：假设 u是全局存在的，则有

 

,e d

Iuxt xCN





1





，对于任意的，其中0t

 

0π2

CN N

。

证明：选择试验函数



πe,2

NN x













，由命题2.2 可知：

302

解斌强，曾有栋  伪抛物方程 Fujita 指标的注记

 

22 1

0πed 2

NN xp

JuxxN













即：

  

22 1

0edπ2

Juxx NCN



 







。

则每一个全局解满足相反的式子，即：

 

,e d

Iuxt xCN





1





。

引理 2.5：假设 u是全局的，那么

a) 当2

11pN

 ，对于任意的，0t





,d0

Ruxt x



，

b) 当2

1pN

 ，对于任意的，0t

 

,d 2π

RuxtxC NN

。

证明：(a)由于







ut LR ，此时 210

1Np

 

，由 Lebesgue 控制收敛定理得到：

 

lim, ed, d0

uxtxuxt x













，

因此。



,d0

Ruxt x



(b) 此时 210

1Np

 

，由引理 2.3 直接得

 

,d 2π

Ruxtx C NN

。

引理 2.6：假设 u是全局的，如果 pp



，那么有



0dd2 π

Ruxt N

 。

证明：由于，此时取试验函数





ut LR





为在

R中一紧集取值为一，在为紧集外取值为 0的函数，

那么则有下面等式成立

 

,d ,0ddd

NN N

RR R

uxxuxxu xt







再由引理2.4 即得结论。

引理 2.7：假设不恒等于 0，假设 v是下列方程的解：



 

vvv

vxu x

 













则对于任意的，存在着





0>0Ct ，在





Rt有













,,vxtCtExt2,1

。

证明：为了不失一般性，假设。那么存在一个充分小的



000u0



使得在



;Bxx



中，

。



00uxa

   

2-2

142

0000 0

ˆˆ

,ee ed4πee

4π

txyx y

ttt

xRR

vxttufutuuyy tuyy



















其中是热传导方程的半群算子。





取

2ed0

 

Ca y







，

14πe

Es 



，因此结论成立。

3. 定理的证明

证明：由引理2.7 得到的解 v是问题(1)的下解，所以在







有vu



。

假设结论不成立，即当，u是全局存在的。 pp





由引理 2.5 和2.6 的结论，我们可以得出矛盾。

解斌强，曾有栋  伪抛物方程 Fujita 指标的注记

304







 

0 0

222

01 0

2π,2,1d d2π2ded

N N

NNp N

tRt R

NCtExtxtCtttt





 z

11

  当T，右边将趋于无穷大，与左边矛盾，定理得正。

参考文献 (References)

[1] H. Fujita. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for 1

uuu





 . Journal of the Faculty of Science of the University of

Toky, 1966, 13(2): 109-124.

[2] V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, A. P. Mikhailov and A. A. Samarskii. Unbounded solutions of the Cauchy problem for the parabolic

equation u()

uuu



 . Soviet Physics Doklady, 1980, 25(5): 458-459.

[3] K. Hayakawa. On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic equations. Japan Academy Proceedings, 1973, 49(7): 503-505.

[4] F. B. Weissler. Existence and nonexistence of global solutions in exterior domains. Israel Journal of Mathematics, 1981, 38(1-2): 29-40.

[5] Y. Cao, J. X. Yin and C. P. Wang. Cauchy problem of semilinear pseudo-parabolic equations. Journal of Differential Equations, 2009, 246(12):

4568-4590.

[6] El. Kaikina, P. I. Naumkin and I. A. Shishmarev. The Cauchy problem for an equation of Sobolev type with power non-linearity. Izvestiya

Mathematics, 2005, 69(1): 61-114.

[7] K. Mochizuki, R. Suzuki. Critical Exponent and critical blow-up for quasilinear parabolic equations, Israel Journal of Mathematics, 1997, 98(1):

141-156.