 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 317-320 http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35049 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On the Existence of Fixed Point via Mann Iterates and Constructing Compression Function* Dan Wang, Yan Liu, Jia An, Kang Yang, Anmin Mao School of Mathematical Sciences, Qufu Normal University, Qufu Email: maoam@163.co m Received: Jun. 15th, 2013; revised: Jul. 4th, 2013; accepted: Jul. 13th, 2013 Copyright © 2013 Dan Wang et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: This paper considers the existence of fixed points of a function which cannot be applied to the Mann iterates. By constructing some compression function, we obtain the fixed point via Mann iteration method. Keywords: Fixed Point; Mann Iteration Method; Compression Fu nction 构造压缩函数用 Mann 迭代求不动点* 王 丹，刘 岩，安 家，杨 康，毛安民 曲阜师范大学，数学科学学院，曲阜 Email: maoam@163.co m 收稿日期：2013 年6月15 日；修回日期：2013 年7月4日；录用日期：2013 年7月13 日 摘 要：本文研究一类不满足 Mann 迭代的函数的不动点的存在性。通过构造压缩函数，我们使用 Mann 迭代方法得到了不动点。 关键词：不动点；Mann 迭代方法；压缩函数 1. 引言 利用 Mann 迭代求不动点是目前国际上比较常规的方法，可参考文献[1,2]，但是有些函数存在不动点却不 满足 Mann 迭代的定义，我们试图压缩函数使之满足Mann 迭代的条件。 定义1.1 设 A 、B为非空数集， : f AB是定义在 A 上的函数，若存在 * x A ，使 得 ** f xx，则称* x 为函数 f x在 A 上的一个不动点。 定义1.2 (Mann迭代)设 ,ab 是实轴上的有界闭区间，然后考虑一个连续映射 :, , f ab ab。让 n t为区 间 ,ab 实的任意数列，考虑 ,ab 上的迭代序列 n x 满足： 1, x ab 1:1 nnnnn x tx tfx 这种迭代就是常说的Mann迭代，或Krasnoselski-type。 定理 1.1[2] 设 f x是 ,ab 上的连续函数，且 0,faa fbb 则 f x在 ,ab 上存在不动点。 上述定理描述的函数不全部满足 Mann 迭代的条件，为此我们可以通过构造压缩函数使压缩后的函数满足 *资助信息：本文得到了曲阜师范大学“国家级大学生创新创业训练计划项目”(编号：201210446003)的资助。 Copyright © 2013 Hanspub 317  王丹 等 构造压缩函数用 Mann 迭代求不动点 Mann 迭代的条件，并且不动点与压缩之前的函数相同。 定理1.2[1] 设 f x是 ,ab 上的连续函数，而且 :, , f ab ab，则 f x在 ,ab 上必有不动点P，且对任 意的 0, x ab，Mann迭代序列 1:1 nnnnn x tx tfx x的某个不动点，其中 。 1 01,lim0, nnn nn ttt f 必收敛于 2. 主要结论及其证明 定理2.1 设 ,,, ,,,, f Cab mnabmn,ab在端点 处存在邻域 ,UaUb 使 f x在邻域内可导。 设 0,faa fbb 则 f x必有不动点。若 11fa fb 0 ，则可以通过构造新的 函数 mFx xGx ，用迭代格式 nnnn n11 x tx tGx 把不动点迭代出来，称 m为压缩系数，满足： inf , ii bxx a mMN 其中 ,, ,, f xx faafbb Fx f xxfaafbb i ， x 为 f x,的不可导点和导数值为零的点， M N为 f x的上下界。 证明： ,,, f Cab mn，则 f x必有界。 1) 若 , f aafbb，由定理1.1可知存在不动点。 ①若 ，令 1, 1fa fb F xfxx， F 有界，并且可设 F 的上下界分别为 M N和 M N， 下证存在 满足 m inf , ii bxx a mMN 使得构造的压缩函数 Gx满足Mann迭代 的条件。 inf ,0bxx a ii f x在两端点存在某邻域使邻域内可导，故若 i x a因 或i x b 则 。根据引理构造出 新的 与 Gx mFx x f x有相同的不动点，并且 , i x ab inf , ii iii bxx a aMNxmFx MN i xGx inf , ii iii i bxx a GxmFxxMNxb MN 则 满足定理1.2的条件，故可以用Mann迭代将不动点迭代出来。 Gx ②若 ，令 1, 1,fa fb F xfx x，则构造的 Gx满足情形①的条件。 2) 若 , f aafbb，同理可证。 综上所述，定理得证。 定理2.2 设 ,,, ,,,, f Cab mnabmn,ab在端点 处存在邻域 ,UaUb 使 f x在邻域内可导。 则 f x必有不动点。若满足定理2.1的边界条件，可直 接迭代 。若不 满足则 可以对 定义区 间分隔 ，并分 别对 分 割区间用定理2.1将不动点迭代出来。 证明：若满足定理 2.1 的边界条件则可以应用定理直接求出。 Copyright © 2013 Hanspub 318  王丹 等 构造压缩函数用 Mann 迭代求不动点 若不满足定理 2.1 的边界条件，则可能出现 , f aafbb或 , f aafbb 两种情况。①若 , f aafbb，则 ,cab 使得 f cc,将区间分为 ,,,accb ，对两个区间分别应用定理2.1 即可。② 若 , f aafbb 则 ,dab 使得 f dd 。将区间分为 ,,,ad db，对两个区间分别应用定理 2.1 即可。 3. 定理应用 例 求函数 在区间 53 30 2fx xx 6, 6 上的不动点。 解：根据条件确定出 的取值，取构造函数 m0.001m 53 0.00130 2Gxxxx x 取1 nn t，可知满足 Mann 迭代的条件。 从下图我们也可以清晰地看出压缩过程，压缩函数满足 Mann 迭代的条件，并且压缩函数的不动点和原函 数的不动点相同。 Copyright © 2013 Hanspub 319  王丹 等 构造压缩函数用 Mann 迭代求不动点 Copyright © 2013 Hanspub 320 使用 Mathematica 计算，取初值为 6，迭代 900次，与实际数值解比较，发现收敛于其中一个不动点。 程序如下： [,0, ]: I teratefxn Integer [{{}, ,0}, M oduleti tempx [, ]; A ppendTo ttemp [1,,,(11/)(1/) []; F or iinitempitempiftemp [, ]; A ppendTo ttemp t] []:0.001( ^530^32) f xxx xx [ ,6.,900]Iterate f 解得 5.47306x 用Mathematica 求上述问题的数值解 [ ^530^32,{}]NSolvexxx x 解得 0.21579 0.327541 x i 0.21579 0.327541 x i 5.47529x 0.43381x 5.47306x 4. 致谢 本文得到了曲阜师范大学“国家级大学生创新创业训练计划项目”(编号：201210446003)的资助，在此作者 表示感谢。 参考文献 (References) [1] D. Borwein, J. Borwein, Fix ed po i nt i te rations for real functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1991, 157(1): 112- 126. [2] 华东师范大学数学系. 数学分析(上、下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. |