基于F-G-M Copula的一个二元概率模型 A Bivariate Probability Model Based on the F-G-M Copula

doi:10.12677/SA.2013.23008

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Statistical and Application 统计学与应用, 2013, 2, 61-63

http://dx.doi.org/10.12677/sa.2013.23008 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/sa.html)

A Bivariate Probability Model Based on the

F-G-M Copula

Feng Gao

Faculty of Mathematics and Physics, Huaiyin Institute of Technology, Huaian

Email: hagaofeng000000@163.com

Received: Jul. 29th, 2013; revised: Aug. 6th, 2013; accepted: Aug. 18th, 2013

unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: In this paper, a bivariate probability model b ased on th e F-G-M copu la is derived by improv ing the

weaker component of the F-G-M bivariate exponential distribution. The reliability of the series system after

improving the weak er conponent is computed by using this model.

Keywords: F-G-M Copula; F-G-M Bivariate Exponential Distribution; Weaker Component; Reliability

基于 F-G-M Copula的一个二元概率模型

高峰

淮阴工学院数理学院，淮安

Email: hagaofeng000000@163.com

收稿日期：2013 年7月29 日；修回日期：2013 年8月6日；录用日期：2013 年8月18 日

摘要：本文通过对 F-G-M 二元指数分布的弱成分进行改进，得到了一个基于F-G-M Copula的二元

概率模型，利用这个模型，讨论了弱成分改进后的串联系统可靠度。

关键词：F-G-M Copula；F-G-M 二元指数分布；弱成分；可靠度

1. 引言









xGy的二维随机变量





Y，一定存在一个二

元copula 函数





,Cuv，使得

















xy CF xG y；其次，度量二维随机变量

相依性的三个秩相关系数 Kendell 的



，Spearman 的



，Gini 的



，都等于





v,Cu 的二重积分表达式，因

此，借助于





,Cuv，我们可以把二维随机变量





的相依性信息从联合分布函数



二元 copula 函数是定义在区域









20,1 0,1I上

的以标准均匀分布为边缘分布的一个二元分布函数，

记为；具体而言，



,Cuv







,Cuv应该满足下面三个

条件[1]：

 









,00,0,0,1 ,0,1CuC vuv；

















,1,1,,0,1,0,1CuuC vvuv

；

3) 若，则有

12 12

01,0uu vv 1

















2221 1211

,,,,Cu vCu vCuvCuv 0



。



xy中抽象出来，

同时也为构造具有共同相依关系而边缘不同的二元

分布提供了一种有效的途径。所以 copula 的产生使得

人们能够以新的视角来研究二维随机变量，比如可以

应用 copula 来研究和、积、商的分布[2]。

二元 copula在研究二元连续型概率模型中具有重

要作用，Sklar 定理为其奠定了重要的基础，Sklar 定

理表明，任一具有联合分布函数



xy和边缘分布 F-G-M copula[3]是一个常用的二元 copula，定义

基于 F-G-M Copula的一个二元概率模型

为：

 

,111,1

FGM

Cuvuv uv





 





1 (1)

由于其 Spearman 秩相关系数 11

333













，

所以可以用来建模弱相依性的二元模型。

若取边缘为

 

~Exp, ~Exp,XY







Exp



表示参数为



的指数分布，则边缘分布函数为：

 

1e 0,1e0

Fxx Gyy





 

利用 Sklar定理，由





FMG

Cuv



可产生一个二元分

布：













,1e1e

1e,0, 0

Hxy







 

  (2)

该分布称为F-G-M 二元指数分布，其中分布参数

0,0, 11





。

记r

Y表示随机变量

随机大于 [4] ，即满

足：









,PXzPYzz R 

，

2) 存在一个 a，使得当，有 Rza









PXzPY z 。

定义[5]：设





Y的联合概率累积分布函数为





xy，若，则称

YX

为分布





xy的弱成

分。

分布的弱成分具有如下的实际意义：弱成分对应

的元件可靠度比较低，因此在此元件上备份一个同类

元件，可以提高系统的可靠度。“备份”是提高系统

可靠性的一个常用手段，它是在原来的元件上并联一

个或多个同类元件，并联线路上装有开关，当原来的

元件失效时，开关自动闭合，第一个备份元件开始工

作，以此类推。

在分析两元件串联系统或并联系统的可靠性时，

常常假设元件的工作是相互独立的；但是独立性的假

设并非总是符合实际情况的，系统的功能结构和工作

环境，常常会导致元件的工作具有某种相依结构，这

时系统的建模就要使用二元概率模型，常用的二元概

率模型有 Marshall-Olkin二元指数分布、F-G-M 二元

指数分布等。

现考察一两元件串联系统，设两元件的寿命





Y服从 F-G-M 二元指数分布(2)，则当时， 0t









 

211

exp exp

PY tPXt





 





 

所以，

为弱成分等价于 12



，本文后面总是

假设 12



成立的。

为了提高系统的使用寿命，我们在弱成分

对应

的元件上备份一个同型元件，设其寿命为0

，则 0

与

独立同分布，记 0

 ，此时系统的使用

寿命为







min ,T



，它取决于





的联合分

布。

本文研究





的联合分布，并且以此为基础，

研究了弱成分改进后的串联系统的可靠度情况。

2. 主要结果

2.1.





的联合分布







的相依性未变，即仍然服从 F-G-M copula

(1)，由于

与

独立同分布于



Exp



，而









Ga 1

Exp



，利用Gamma 分布的可加性，有



~2,XXXGa





其分布函数为









11 e0

Fxx x









 

于是





的联合分布为

 

 



1122

11e1e1

e11ee1e

0,0;11,0

FGM

XXX

xxyy

Hxy CF xGy

xGyF xF xGyGy































 



















 





(3)

2.2. 弱成分带备份的串联系统的可靠度

为方便计算具有相依结构的系统的可靠度，我们

利用联合生存函数的概念，设





Y具有联合分布函

数





xy，边缘分布为



x和，则其联合生

存函数定义为[1]：

























,,1,

xyPXxYyF xG yH xy

设弱成分带备份的串联系统寿命为T，可靠度为



基于 F-G-M Copula的一个二元概率模型

t





，则由(4)(5)两式得



min, ,TXYRtPT























12 12

e112e1e

ttt

RtR tRt

 









 



 









由于



的联合生存分布为

 

 



 



121 2

.1 .

1ee11e1e

1e11e

e1e 10,0

HxyFx GyHxy

 



 





 



 



 





 





其中

 



112 e1e

11 1e



















 





所以







 





121 2

()

1e 111e1e

Rt PX tYtHtt

 







 





 





(4)

此处















 。由于当时， 0t













0 2,0



0,t





，所以，因

此



02t

















0tRtRt



 





，即弱成分带备份的串联系

统的可靠度大于原串联系统的可靠度，改进量为

















e112





e







。 2.3 可靠度的比较

下面我们来研究串联系统与弱成分带备份的串

联系统的可靠度的比较。参考文献 (References)

对于原串联系统，两元件的寿命





服从

F-G-M 二元指数分布(2)，系统的寿命与可靠度分布为

，由于



min, ,TXYRPT

[1] R. B. Nelson. An introduction to copulas. New York: Springer,

2006.

[2] 高峰, 刘绪庆. 随机变量的和、积、商分布的一种新表示[J].

大学数学, 2012, 28(3): 119-122.



t



Y的生存函数

为： [3] C. Amblard, S. Girard. A new extension of bivariate FGM copu-

las. Metrika, 2009, 70: 1-17.





 



121 2

,ee 1e1e

1e1,0, 0;11

Hxy

 









 

 



[4] 陈希孺. 数理统计引论[M]. 北京: 科学出版社, 1981.

[5] 高峰, 刘绪庆. Weaker component test of MOBVE Distribution

with censored data. Recent Advance in Statistics Application and

Related Areas-Conference Proceedings of 2009 International In-

stitute of Applied Statistics Studies, Riverwood: Aussino Acad-

emic Publishing House, 2009: 2720-2724.

所以

 





,11e1eet

Rt Htt

















(5)