 Statistical and Application 统计学与应用, 2013, 2, 70-75 http://dx.doi.org/10.12677/sa.2013.23010 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/sa.html) Nonparametric Estimation of Kamp Premium Principle Jia Xiong, Limin We n College of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Nanchang Email: 297141060@qq.com Received: Jun. 6th, 2013; revised: Jun. 14th, 2013; accepted: Jun. 24th, 2013 Copyright © 2013 Jia Xiong, Limin Wen. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: Based on the generalized weighted premium, this paper gives a brief introduction on Kamp pre- mium principle. Through the establishment of Bayesian theory model, a set of samples is given to assume that parameters have a prior distribution. Then the Bayesian formula is used to calculate the posterior mean value. We make Bayesian estimation and linear Bayesian estimation on the Kamp premium principle, and get the credibility estimation of Kamp premium principle after analyzing the approximate of parameters under above conditions. At the same time, we prove the asymptotic of this estimation. Finally, the convergence of the provided estimates is tested by the numerical simulation. Keywords: Kamp Premium Principle; Bayesian Model; Credibility Estimates; Convergence Kamp 保费原理的非参数估计 熊 佳，温利民 江西师范大学数信学院，南昌 Email: 297141060@qq.com 收稿日期：2013 年6月6日；修回日期：2013年6月14 日；录用日期：2013 年6月24 日 摘 要：本文结合广义加权保费对Kamp 保费原理进行简单介绍，并通过建立贝叶斯理论模型，给出 一组样本对参数假定一个先验分布，且利用贝叶斯公式计算后验均值。在此前提下对 Kamp 保费原理 进行贝叶斯估计，线性贝叶斯估计以及对参数进行渐进分析后得到其信度估计。同时，对此估计证明 其渐进性。最后，用数值模拟验证估计的收敛性。 关键词：Kamp 保费原理；贝叶斯模型；信度估计；收敛性 1. 引言 (1979)[2]，其中有些保费原理可以看做是某类损失函数 下风险的最优估计。Gerber (1980)[3]文章中定义了加 权损失函数，注意到在损失函数的范围中，Furman et al.[4]提出了更为广泛的损失函数。广义加权损失函数。 在这类型损失函数下得到了一类广泛的保费原理， 即：加权保费原理。注意到，Kamp 保费原理就是在 广义加权损失函数 2 ,1 X LXRX R 假设随机风险 X 为一个非负随机变量，在保险精 算中可以看做一份保单可能引起的损失，设 X 服从某 个概率分布 ,Fx ，其中 表示与风险有关的特征。 在保险精算中，有许多重要的保费原理，包括期 望值原理，方差保费原理，标准差保费原理，指数保 费原理，Esscher 保费原理，失真保费原理以及 Kamp 保费原理，最早研究可参考 Heilmann[1]及Gerber e下，使期望损失达到最小 Copyright © 2013 Hanspub 70  Kamp 保费原理的非参数估计 的广义加权保费原理，在 Herff et al.[5]提出类似保费， Kamps[6]提出定义及研究了相关的性质。后在各类保 费原理的模型下都有涉及 Kamp保费原理，其研究一 般类似于Esscher 保费原理，如 K. D. Schmidt et al.[7] 以及 M. Pan et al.[8]讨论了这方面的情形。在保险的实 际运用中，由于风险随机变量X的分布是未知的，因 此保费也是未知的。但我们可能已经对损失有了多次 观测，我们把这些观测看做风险随机变量的一个样 本。因此根据样本和相关的风险特征信息对保费进行 合适的估计，并作出进行相应的统计推断，即可应用 于责任准备金，可参考 Vylder[9]，巨额风险，奖惩系 统，死亡率等领域中。 改变的情况下，保费原理 费与修 理联系在一起，当 ()RX 文章后面的部分安排如下，第二节介绍风险随机变 量的统计推断模型，在统计的意义下提出 Kamp 保费原 来的非参数估计并证明估计的大样本性质；第三节建立 贝叶斯模型，在充分利用已有的样本信息和先验信息的 情况下再次对 Kamp 保费原理进行合适的估计，进而提 出线性贝叶斯估计和信度估计，并证明相关的统计性 质；第四节对前面提出的Kamp 保费的估计进行数值比 较，在均方误差的意义下验证估计的收敛性，并判断估 计的好坏；第五节对全文的结论进行说明。 2. Kamp保费的统计推断 定义 1：对随机变量 X ，定义 X 的保费为 1e 1e X X EX RX E (其中 为正的常数) 称的 Kamp保费，该保费原理称为 Kamp 保费原理。 RX 在Kamp保费原理中， 称为 Kamp 参数，最早 就定义了 1NT EXGX EX EGX 取 1e ,0,0 X GX X 时即为 Kamp 保费原理， 显然由 1e 1e X X EX RX Herff[5])， 即根据 Kam EX E (参考 p保费原理收取的保费能保证偿付。 是关 我们考虑Kamp保费原理的性质，显然知 ()RX 于 的单调递增函数，参数 反映被保险人的风 险厌恶，因此有 lim RX EX 以及 2 0 Var lim EX X RX EX EX EX ，在风险厌恶 系数 将净保 正方差原 较小时， 和较为 Kamp 保费原 理与净保费和修正方差原理之 接近，参考 Kamps[6]。通过一些计算可知，对于相互独立的风险 X 和Y，有 RXYRX RY ，即原理 R 是 次可加的，因此 Kamp 保费原理是保费定价原理中 一种重要的保都有重要意 在精算风险中我们常用随机变量来刻画风险，一 般情况下，用 的 费，在保险精算，金融中 义。 j X 表示索赔额，假设索赔额 i X ,1,2,i 独立同分布，具有概率分布函数 X F x， 密度函数 f x，矩 函数 1 1(e ) Xt X MtE以及一阶 阶矩 2 1 ()EX ，即为个体风险模型 温利民[10] 此模型下， 样本数据 12 , n 母 矩1 ()EX 和二 。 ,, ，参考 在 利用可观测的 X XX对Ka 费提出合适的估计 mp 保 1 1e i X i i nn X R 1 1e i n X i (1) 对估计 有下面的大样本性质。 记 n R (1 e),1e XX YX Z ，有 1: [1]1 XX EM 1) e ' 2 2) :[(1e)] XX EXEX M 22 1 3) :Var(1e)2 XXX MM 2 22 2 1 22 4 XX EX EXMM 4) 2 2XX MEXM : yz XX CMM EX 5) 12 2 XX X MM M 定理 2.1：当时，是Kamp 保费n n R RX的 相合估计，即 证明：由 ,..R s (2) n R Xa 1 1 1e 1e i i nX i i nnX i X R ，i 又,1,2,Xi 独 立同 因此由强相合大数定理，有 分布 1 1 11e ,.. i nX i as n Copyright © 2013 Hanspub 71  Kamp 保费原理的非参数估计 Copyright © 2013 Hanspub 72 3. Kamp保费的贝叶斯推断 贝叶斯模型，在上 面的模型中，我们假定了 11e i nX 2 1 ,.. i i X as n 由几乎处处收敛性，则 下面在第二节的基础上来建立 12 1 1 1e ,.. 1e i X i i nX i i nn X RRxas 证毕 定理 2.2：当 时， 是渐近正态的， 即 是一个未知的常数，以下 我们假定 是一个随机变量且具有经验分布 π 。将 样本 12 ,,, n X XX看成在参数 给定下的 次独立已 知数据，记 1nn X XX 。将与先验参数 有 关的样本的 R Kamp保费记为 ，即风险保费 n n RRX 1e 1e X X EX R E 2 0, L n nR RXN (3) 其中 22 22 2 2 2 2 12 122 4 22 1 12 2 2 1 X XX X XXX X XX X X XX X MEXEXM MMEXM EX M X M ME M MM M EX MMM M X 模型 保费的贝叶斯估计，线性 贝叶斯估计，并证明其估计性质。 设概率的方法，基 于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概 率以及观 。在此下，提出 Kamp 贝叶斯估计，以及近似线性 3.1. 贝叶斯理论以及相关记号 贝叶斯理论提供了一种计算假 证明：由中心极限定理，有 2 22 2 11 cov , 0, cov , LYZ Y nN YZ Z 察到的数据本身。贝叶斯推断方法的关键在 于所作出的任何推断都必须也只须根据后验分布 π x ，而不能再涉及 X 的样本分布 F 。贝叶斯 决策理论方法是贝叶斯理论中的一个基本方法，其基 ：已知类条件概率密度参数表达 概 率；利用贝叶斯公式转换成后验概率；根据后验概率 大小进行决策分类，关键在于先验分布的选取以及后 验风险的求值，参考王伟等[11]。 为记号方便，假设 本思想是 式和先验 ER VaraR ，， 2Var n R 令 ，22 E ，12 2 ,2 1 yz g z ,y gyz z ，12 , 1 1 yz g y 3.2. Kamp保费的贝叶斯估计和信度估计 结论。 定理 3.2.1：在加权平方损失函数 则由 Cramer 定理(A)有， 其中 结合以上假设，由贝叶斯定理，可得出以下 2 2 11 1, gg yz 2 ,1e X 条件下，风险保费 R LXRX R 将1)~5)式代入即，有 的贝叶斯估 计为 R g 2 arg min1eER R 的解，即： 2 0, L n nR RXN 2 2 2 1 cov , 0, cov , L n g YZ gg y nR RXNyz YZ g z (A)  Kamp 保费原理的非参数估计 01 0 n ERa aER 1e 1e Rn B Rn ER X REX ， 对 求导，并令导数为零，得 1 a (4) 中函。 证明：由贝叶斯定理(B)知 最小化，即后者对 求导，有 1 Cov ,Var0 nn RRa R 12 :,,, n PPX XX 是的可测数其即 R R 1 Cov, n RR a ， Var n R 2 21e Rn ER RX 0 2 Cov , Var n n n RR aERER R 得： 1e 1e R ER X n Rn REX 即R为风险保费 R 的贝叶斯估计，记为 B R 。 显然 B R 不仅与样本 1,, n X X 的存在具 的具体分布有 关，并 假设先验分布体形式。这些信 息在实际中 ，由 理论来 此问题，在实际中得到非常广泛的应用。 参考 [10]以 我们将估 以得到： 2：在贝叶斯模型下，求解上述问题(5) 式得到风险保费 且还需 是很难得到的 此我们建立线性贝叶斯 避免 温利民及 Wen L.[12]， 计量限定在某 线性函数类中，在均方误差最小的意义下得到最优估 计。 即求解 01 2 01 , min n aa R ERa aR (5) 可 定理 3.2. R 的最优线性贝叶斯估计 Cov , 1Var Cov , Var LB nn n n n RR R Rn RR ER R R 证明：记 对 求导， (6) 2 01 n ERa aR 并令导数为零，得 0 a 因此 Cov , 1Var Cov , Var LB n n n n n RR ER RR RR R R n 定理 3.2.2 中的线性贝叶斯估计 L B R ，即 不受先样 先验分布的具体形式的影响 解决了前面 提出的问题。但是由于 本分布和 1 n ER ，此时 L B 上参数的 R 究以 不 是加权平均的，因此以下部分我们研 一 些渐 式为加 对于固定的 进结果，使得 Kamp保费的估计形 权平均， 即信度保费。 在定理 2.2 条件下， ，有 2 0, n nR RN 。 又假设 2 , ii EX EX ，当n， n ER R 以及 2 Var n nR 有 参 考Shorack[ 13]以及 Kim[14]， 引理：若 2 2 1e, 1e XX EX EX ，因此有 2 Var n ER Cov , Var n n n ER a RR a nE R 证明：由于 1eX n ER EX 21 e R R R 2 arg min1eRn ER RX arg minE (B) 最小) (即贝叶斯风险最小等价于后验风险 Copyright © 2013 Hanspub 73  Kamp 保费原理的非参数估计 22 2 Var nn nn RERERER 根据控制收敛定理，有 nn ER EERER Var Var n ERR a ， 2 Var n nE RE2 由条件方差公式，知： 2 2 Cov , Var nn n nn RRERRERER ER ERERER ER ERR 中，则可得 a 将引理中渐进结果代入(6) R 的信 度估计为 2 10,1 nna RZR ZZna 其中 (7 以上提出的贝叶斯估计以及信估计，一般情况下 已知 体 ) 贝叶斯保费和信度保费收敛于个 保费 ,EX a ..s。与度定理3.2.1 的结论相比，信度估计 形式较简单，且有较少的结构参数，对信度估计有 面的强相合性。 下 定理 3.2.3：若存在随机变量 i X 使得 , i EX 且 2 i EX ，则信度保费 R 是风险度量 R 的强 有 相合估计，即 ,..RRas 。 证明：已知 ,.. n ERR as ，由条件大数定 律得： lim , n nRRa ， 又信度因子 . .s 21 na Zna ， 因此 1, n RZRZ Ra .s 4. 数值模拟 本节我们考虑3.3 中讨论的参数模型，假设已给 定持保人 赔额索,1,, i X in ，且 Exp i X iid ， 参数 的分布 Pr1Pr21 2 ，对风险保费 R 的信度保费 R 进行了计算，比较均方误差并 验证其收敛速度。为了得到 R ，先计算 1e 2 1 X EX RE eX 即， 12 4 214 2 ER 22 12 41 1 Var 4 4 42 4 aR 2 2 4 22 32 2 32 2 22 22 23 11 n 2 由上式 2 有： 211 12 22 Egg g 由上述计算结果，在模拟中我们取 0.2, 0.5 ，并且分别取多种 的值进行模拟， 验估计 以及相费 n 应的信度保计算可得到经n R R ， 观察下表： n 10 50 100 500 100010000 R 3.4286 3.42863.4286 3.4286 3.4286 3.4286 R 1.69633.13443.3458 3.423 3.42653.4282 3.03E −04 7.30E −07 9.82E −09 1.24E −10 3.99E −12 MSE 8.28E −06 通过表中易见，当n从10到10,000， R 与 R 的 值不 为 此估计为在该假 断逼近至相等，其均方误差也非常小 定样本下的最优估计，因此信度因子 Z以及信度保费 ，可以认 R 可 本文主要研究了Kamp保费的贝叶斯 ， 贝叶斯估计以 信 计并且进行了 m费 参 计还未有 性 ，所得到的估计相对的模拟结果比较好，有一定的 用于实践中。 5. 小结 估计 线性 及通过结构参数的近似，得到其 度估 数值分析。对于 Kap 保 的非 数估 相关的研究，同时将其限定在一类线 函数 中 Copyright © 2013 Hanspub 74  Kamp 保费原理的非参数估计 应用价值。在未来的工作中，我们可以 Kam费 进行参数估计，同时还可以将 Kamp 保费的各类估计 应用于实际中金融数据的处理和分析等。 对p保 (References) [1] Mathematics . 师范大 cher principle. 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