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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 326-331
http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35051 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
The Existence of a Class of Nonlinear Wave Equations
with Variable Coefficients*
Peng Wang
College of Science, The PLA University of Science and Technology, Nanjing
Email: mathswp@163.com
Received: May. 9th, 2013; revised: Jun. 14th, 2013; accepted: Jun. 27th, 2013
Copyright © 2013 Peng Wang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits
unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract: This paper is devoted to the existence results for the one dimensional wave equation with x-de-
pendent coefficients when resonance occurs at the eigenvalue
N
r. By using the Mawhin’s continuation theo-
rem, the authors get a result which is similar to the literature.
Keywords: Wave Equations; x-Dependent Coefficients; Resonance; Periodic Solution
一类非线性变系数波方程解的存在性*
汪 鹏
解放军理工大学理学院,南京
Email: mathswp@163.com
收稿日期:2013 年5月9日;修回日期:2013年6月14 日;录用日期:2013 年6月27日
摘 要:本文研究了系数依赖于 x的一维波方程当共振发生在特征值 rN处的解的存在性,主要利用
Mawhin 连续性定理,进而得到了一个类似于文学性的结果。
关键词:波方程;依赖于x的系数;共振;周期解
1. 引言
目前有许多关于常系数非线性波方程的文章,例如[1,2,4-8],同时也有很多研究线性部分存在共振的非线性
偏微分方程可解性的文献,例如[3,9-11]等等。Solimini 在[3]中讨论了椭圆型偏微分方程,其中对给定的 k,k

是平凡的。作者利用奇点定理和拓扑度得到结果。在文献[9]中,Iannacci 和Nkashama 研究了一般算子方程的共
振问题,他们得到了一些很一般的抽象结果,这些结果满足共振发生在特征值
N
r处且非线性项处于两个连续特
征值之间时已知的存在性定理。其中

,t的Landesman-Lazer 型条件在[9-11]中都起了重要的作用。

hx
与常系数非线性微分方程相比,关于变系数非线性微分方程的文献就相对较少,例如文献[12-14]等等。在
[14]中,Barbu 和Pavel 研究了系数依赖于
x
的一维非线性波方程:
 







,0,π, ,
ttx x
x
uxuguhxtx t

 R
(1)
周期条件
  






,0, ,,0,0,π,
tt
uxuxTu xu xTx
(2)
*基金项目:本文获得解放军理工大学理学院青年科研基金支持。
Copyright © 2013 Hanspub
326
汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性
Dirichlet 型边值条件



0, π,0, utut tR.

 (3)
其中

x

和T满足假设:

1
H
,当 时
 
20, πxH



0, πx


0xs

,
s
R

,且

0 inf0ess x



,其中
2

11
24
x






 




。

2
H
2πp
Tq
,其中, 为互素的正整数。 p q
设,记 为Lebesgue空间,即绝对值的次幂是Lebesgue 可积的实值可
测函数空间。

0, π0,T 

 
1
p
Lp p
 



22
,1
m
HvLDvL mm


 ,2
为一般的Sobolev 空间,范数 为
 

2
1
2
21, 2
m
HL
m
vDum









。
在

g
u的一些假设条件下,利用次微分作者得到问题(1)~(3)至少有一个弱解。Kim 和Pavel 在文献[12]中研
究了常系数及系数依赖于
x
的二维波方程弱周期解的存在性及正则性,其边界条件是齐次 Dirichlet 型和
Neumann-Dirichlet型。在[13]中,他们又合作讨论了方程(1)和(2)在非齐次 Neumann-Dirichlet型边界条件










00,, π,0, 0,
x
uttutt T

  (4)
下的T周期解。
本文在上述文章的启发下,讨论一类系数依赖于
x
且共振发生在特征值
N
r处的一维非线性波方程解的存在
性,方程为
 

 
 
   
,,
00,0,π,0 0,
,0, ,,0,0,π.
ttx N
x
x
tt
xuxurxu hxtxt
ututt T
ux uxTux uxTx
 



 




,
,



(5)
其中, ,

0, π0,T 

2
hL

x

满足


1
H
且对T有假设:

3
H


π21
, ,
k
Tk
p
pN

。
本文得到的结论是方程(5)在假设条件下,至少存在一个解。为了证明这个结论,首先讨论方程线性部分的
性质。
2. 方程线性部分的性质
考虑系数依赖于
x
的一维波方程:
 


 
 
  
,, ,,
00,0, π,0, 0,
,0,,,0,, 0,π.
ttx x
x
tt
xuxuxhxtxt
ututt T
uxuxTu xu xTx
 



 




,


(6)
Copyright © 2013 Hanspub 327
汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性
若对

2
π
vC ,有
 




dd,,dd
ttx x
uxvxv xtxhxtvxtx




t (7)
则称为 的弱解,其中

2
uL(6)






 

22
π;0,π,0,
,0, ,,0, ,,,
x
tt
CvCvtvt
vx vxTvx vxTxt
 

,
在 中稠密。

2
L
令 ,
 


22
;7DLu Lh L  使得( )成立
2
定义

:, , LDLLLu hu DL 
即当且仅当
Lu h
 




2
π
dd,,dd,
ttx x
uxvxv xtxhxtvxtxtvC


 
 。
此算子称为弱解算子,显然 在上可逆,其逆
L

RL 1
L

为弱解算子。
定义内积 ,为








2
121 212
,,,dd; ,hhxh xthxtxthhL



,
其中 2
h为的共轭。此内积对应的范数为
2
h
 
2
22
,dd;hxhxtxthL



。

在 中,特征函数系

构成正交系统,其中

2
L;,
nm
nNmZ




1, 2,3,N,
Z
为整数集,

12π2
e, ,
21
m
it
mm
mmp
tm
Tk
T



 Z
,
n

和n

为Sturm-Liouville 问题

 
2
,0 π0, .
nnnnn nN
 



的特征函数和特征值,我们知道当 时,
n
n

,且

121
2
nn
n




其中当 时,
n n

。记

 








,dd ,
mnn mmnn m
uxuxtxtxthxhxtxt
 



ddxt
分别为








,,
mn nmmn nm
mZnN mZnN
uuxthhx
 
 


t
在中的 Fourier 系数。将

2
L




nm
ux

t代入 (7) 式,由 Parseval 公式 2
2
,
mn
mZnN
uu

,
2
2
mn

,mZ
nN
hh

,得,关于算子 有下面的一些性质[13]。

22
nm mnmn
Lu huh

 L
引理 1 在 中是自伴的, L

2
L





2;0Span;,
nm mnnmnm
RLhLhm Zn NNL
 

 当时,且
是闭的,
Copyright © 2013 Hanspub
328
汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性



Span; ,
nmn m
NLm Zn N



且
为有限维。 连续紧,且有

1:LRL RL

 
2
1
1
L
H
Lh Ch


,

2
1
L
L
Lh Ch



,
2
11
,Lhh h


 ,
 
2
1
,, , Lu uLuhRLuDL


 ,
其中

222 2
inf ;
mnmn




。
此引理 1已经在[13]推论 2.1中证明。
3. 结论的证明
由引理 1知算子 的谱为纯点谱,即任意的L

L



rL

,0r

是有限重特征值,



22 ,
nm
Lr N

n

mZ无有限聚点,我们可以将他们罗列出来: 21012
0rrrrr


。
记
j
P为到的正交投影, 有下面的谱替换

r

j
NL IL
j
j
j
LrP

。
在任何赋范空间里,用 记强收敛,若




22
:FLL

是一个正的非线性算子,如果



2
,0,FuFv uvuvL

 、
则称
F
在 是单调的。

2
L
令 ,对任意NZ


uDL,记





0
uuxuxux 

若的 Fourier 展式为u
j
j
uPu
则
0
, ,
j
Nj
jN jN
uPuuPuuP



u
,
且记 。
0
uuu

显然 。记

0N
uNLrI

:j
jN
H
uDLu Pu







为


DL的子空间,使得 。 uH

定理1. 设 使,

pL

 ..ae

,xt 




1
1
0,
NN
x
pxt rrr




且对任意, ,

1N
wNLrI

 0w









12
,,ddxr xpxtwxtxt


0


。 (8)
则存在常数 使得对任意的

,p
 
0


uDL有





2
10
,
pN
DuLu rpuuuuu


 。
证明:由


0
uu与u的正交性及


0N
uNLr可得



11
,, ,,
pNN
DuLurupuuLuuruupuu uu


 
 00
,
因为在


0, π上


0xs

且对 ..ae

,xt

,


,pxt非负,故上式中的最后一项非负,所以

1,,
pN N
DuLurupuuLuu ruu


 
 ,。
由Parseval-Steklov 恒等式得
Copyright © 2013 Hanspub 329
汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性




22 2
11 11
,, min
NNjjjNjjN
jN jNjNjN
ru uLu urPurPurrPurrPu
 
 
 2
jj
故可得 2
1
,,
N
ruu Luuu

,其中 11NN
rr


 。
下面证明存在 使得

22
,p
 
0
2
1
2
,
N
Lurupu uu


 
 
。 (9)
因为 ,..ae

,xt 

 
1
1
,NN
x
pxt rrr



,所以



2
1
11
1
,,,,
NNj
jN
Lu urpu uLu uru urrPu




 

 Nj
,
故


2
1
1
1
,
NjN
jN
LurupuurrP u






 j
,因此 1,
N
Lurupu u

0


 
w

,当且仅当 u,


1N
wNLrI


时取等号,由(8)式得,
1,0
N
Lurupu uu


 
 
0。
假设(9)式不成立,则存在序列



k
uHDL
使得对任意 kN

,1
k
u

且11
,
N
Lurupuuk



 。
记

1N1
H
NL rIH

 

,其中 为有限维特征空间,

1N
NL rI



1
H
是
H
中


1N
NL rI

的正交空间。显然
,其中 ,,故当 时,在
kkk
vwNL
uw


1kN
r
I1k
vHk
H
中。由 为有限维的及 0vk

N
NL r

1I

22
1kkk
uwv
2
得存在


k
w的子列,仍记为


k
w,


1k
wwNLrI

 
N
且1w。从而




111 1
2
11
121
,,2,
,2 ,,
kNkkkkNkkkNkkkNkkk
NNkkNkkN Nk
kLurupuuLwrw pwwrpwvLvrvpvv
rrpw wrpw vrrv


 



 
 1
,

w
由于当时, ,,故k 0
k
vk
w









12
1
0,
NN ,dd
x
rr xpxtwxtx





t,又由于
,
..ae

,xt 

1
 
1
,NN
x
px t rrr

,故









12
0,,dd
x
rxpxtwxtx




t

,
其中 ,再由(8)式得 ,与

1N
wNLrI

 0w1w

矛盾,所以不等式 得证。选取,又
由
(9)

12
min ,0


222
uuu

,定理得证。
我们将利用Mawhin 连续性定理来证明本文的主要结论,为了方便,在这里作为引理给出[15]。
引理 2. 设
X
和 为两个巴拿赫空间,Y


:LDLX Y为具有零指标的Fredholm算子,
X
 为有界开
集,且 :NY
L
 为 紧的, :
A
XY为 全连续的,如果下面的条件成立:
L
1) ,

ker 0LA

2) , 。
 


,0xDL

 ,1

10LxAxNx


则 在Lx Nx

DL 内至少有一个解。
定理 2.设 的定义与前面一致,设L


N
rL

(


L

为 的谱),则问题(5)等价于下面方程的可解性问题 L
1
N
Lur uh


 (10)
则(10)至少有一个解。
证明:设





22 1
:, ,ELL uh



 ,





22 1
:, ,ALL uh



 ,
则方程(10)等价于
Copyright © 2013 Hanspub
330
汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性
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0
N
Lur uEu

 (11)
在 上的可解问题。

DL
由引理 1知道是有限维的,则为指标为零的线性 Fredholm 算子,且和

NL L E
A
在 的有界子集上
是-紧的。由引理 2知,如果对任意使得方程
2()L
L


1
N
Lur uAuEu

0

  (12)
成立的


0,1

和 都有

uDL0
uk,则方程(11)有解。
根据定理 1,对任意使得方程(12)成立的


0,1

和


uDL,均有 0
uk

成立,故由引理 2,方程(10)至
少有一个解,也即方程(5)在假设条件下,至少有一个解。
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