 Operations Research and Fuzziolgy 运筹与模糊学, 2013, 3, 40-44 http://dx.doi.org/10.12677/orf.2013.34007 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/orf.html) Generated λ, μ -Fuzzy Subgroups Xiaoling Wang Department of Mathematics, Teachers College, Eastern Liaoning University, Dandong, China Email: wangxiaoling777@163.com Received: Jul. 14th, 2013; revised: Oct. 15th, 2013; accepted: Oct. 20th, 2013 Copyright © 2013 Xiaoling Wang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: Based on the concept of , -fuzzy subgroup, the concepts of , -fuzzy subgroup and , -fuzzy normal subgroup generated by a fuzzy subset in a group were introduced and their constructions were established. Then some properties of generated , -fuzzy subgroup and fuzzy normal subgroup were discussed. Keywords: , -Fuzzy Subgroup; , -Fuzzy Normal Subgroup; Subsemigroup; Subgroup 生成 λ, μ -模糊子群 王晓玲 辽东学院师范学院数学系，丹东 Email: wangxiaoling777@163.com 收稿日期：2013 年7月14日；修回日期：2013 年10月15日；录用日期：2013 年10月20日 摘 要：在 , -模糊子群概念的基础上，引入生成 , -模糊子群与生成 , -模糊正规子群概念， 给出了这种生成模糊子群与模糊正规子群的构造，并讨论了他们的一些性质。 关键词： , -模糊子群； , -模糊正规子群；子半群；子群 1. 引言 由Zadeh[1]在1965 年创立的模糊集理论，已经在各个领域得到了广泛应用，如决策理论、风险投资理论、 拓扑学、控制论等。1971 年，Rosenfeld[2] 将模糊集理论应用到代数学，开始了模糊代数的研究，并首次引入了 模糊群的概念。从此，模糊集理论被广泛地应用到代数学的各个分支。如Liu[3]通过引入模糊子环与模糊理想概 念，建立了环的模糊理论。随着模糊代数的深入研究，各种模糊代数概念，都从不同的侧面得到了推广。特别 值得指出的是，Bhakat 与 Das[4,5] 通过利用模糊点与模糊子集的“属于或拟重于”关系，给出了 -模糊 子群和 -模糊理想概念。为了进一步推广这些概念，Yuan[6]给出了基于阈值的模糊子群，即 ,q , ,q -模糊 子群[7]。本文就是将Rosenfeld 意义下的生成模糊子群概念，推广到 , -模糊子群的情形，并进一步研究这 种生成模糊子群的构造和性质。 在下面的讨论中， 总表示一个群， G F G表示 的所有模糊子集的集合。G 与 是两个常数，且满足 Open Access 40  王晓玲 生成 λ, μ -模糊子群 01 。 2. 预备知识 定义 2.1：设 A 为群 G模糊子集. 若对任意的的, x yG , A xyA xA y，则称 A 为 的. 群G模糊子半群 若G的模糊子半群 A 还满足：对任意的 1 , x GA称x Ax ，则 A 为群 G的模糊子群。 1 分别为[8]： A 设与为 G的模糊子集，我们定义模糊子集 B A B与 A 11 1212 sup, , . A BxAxBxxxxAxAxx G 显然，对于 的模糊子集G A 及任意的正整数 n，我们有 12 12 sup, . n nn A xAxAx Axxxxxx G 定理 2.1[8]:设 A 为G的模糊子集，则 为G的模糊子半群的充分必要条件为： 2 A A； A 1) 为G的模糊子群的充分必要条件为： 2 A A， 1 A A 。 A 2) A 设 为群 的模糊子集, 那么G A 为G的模糊子群(Rosenfeld 意义下)，当且仅当 0,1 ， A 非空时是 的子群；而 G 为G的 -模糊子群，当且仅当 A ,q 0,0.5 ， A 非空时是 G的子群。自然会想，当 属于 0, 任意一个子区间 , 时，会对应一个什么样的模糊子群。 1的 定义 2.2：设 A 为 的G模糊子集。若对任意的 , x yG ， xyAx AyA ，则 称 A 为G的一个 -模糊子半群。 , 定义 2.3：设 A 为G的 , 模糊子半群。若对任意的 x G ， 1 x AxA ，则 称 A 为 的一个G -模 G 糊子群。 , 显然， 的一个模糊子集 A 为G的 , -模糊子群的充分必要条件是：对任意的 , x yG， 1) yAx AyAx 1 ， 2) AxAx 。 该条件也可等价地表述为： 的一个模糊子集G A 为 的G , -模糊子群的充分必要条件是：对任意的 , x yG， Ay 1 Ax yAx 。 定义 2.4：设 A 为G的模糊子集，如果对任意的 , x yG ， 1 Axyx Ay ，则称 A 为G的 , - 模糊正规子集。当 1 A xyxA y时，则称 A 为 的模糊正规子集。 G 定义 2.5：若 A 既是 的 G , -模糊子群，也是 的G , -模糊正规子集，则称 A 为G的 , -模糊正规 子群。 A 为G的 , -模糊正规子群的充分必要条件是：对任意的, x yG， 易知， 的模糊子集G 1) 1yAx AyAx A xyx 1 ， 2) A y 。 λ, 3. 生成 μ -模糊子群 A 及数 0,1a，我们定义模糊子集 A 与A 分别为： 对于 的模糊子集G , , . A xAxA xAxxG 定理 3.1：设 A FG， 1 n n BA 。则 1) BA ， 是G的模糊子半群，从而是 G的 , -模糊子半群， B 2) Open Access 41  王晓玲 生成 λ, μ -模糊子群 3) x G ， 12 12 sup, . nn BxAxAxAxxxxx n 4) 若C是G的 , -模糊子半群，且满足CA ，则 CB 。 证：1) 由于 1 n n A A ，所以 1 n n AA 。即 BA 。 2) 显然 。因此， 是 的模糊子半群，当然也是 的 2 11 2 nn n nn n BAA A B BG G , -模糊子半群。 3) 对任意的 x G，由于 12 12 sup n nn A xAxAxAxxxxx，所以 12 12 12 12 sup sup sup , nn nn BxAxAxAxxxxx n AxAxAxxxxx n 4) 对任意的 x G，若有 12 ,,, n x xxG，使 12 n x xxx ，则 12 12 12 n n n CxCx Cxxx Cx CxCx Ax AxAx . 所以 12 12 sup nn CxAxAxAxxxxxBx CB。因此， 。 定义 3.1：设 A FG，称定理 3.1 中的模糊子集 为由B A 生成的 , -模糊子半群，并记为 A 。 定理 3.2：设 A FG， 1 1 n n BAA 。则 1) BA ， 2) 是G的模糊子群, 从而是 的 B G , -模糊子群, 3) x G ， 11 1 112 212 sup , nn n BxAxAxAxAxAxAxxxxx n 4) 若C是G的 , -模糊子群，且满足CA ，则 CB 。 证：仅证 2)与4)。 2) 由于 1 11 1 11 , nn nn BAA AA B B 11 1 2 11 2 nn n nn n BAA AAAA 所以是的模糊子群，从而是 G的B G , -模糊子群。 4) 对任意的 x G，若有 12 ,,, n x xxG，使 12 n x xxx ，则 12 1212 . n nn CxCxCxxx Cx CxCxAxAxAx Open Access 42  王晓玲 生成 λ, μ -模糊子群 而 1 11 1111 12 12nn Cx Cx Cx CxCxAxAxAx 所以， 11 1 112 212 sup, . nn n CxAxAxAxAxAxAxxxxx nBx 因此， CB 。 定义 3.2：设 A FG，称定理 3.2 中的模糊子集 为由B A 生成的 , -模糊子群，并记为 A 。 由此定理 3.2 及定义 3.2可知，Rosenfeld 意义下的生成模糊子群就是生成 0,1 -模糊子群，因此，生成 , - 模糊子群是一般生成模糊子群的推广。 由定理 3.2 立即可得下列推论。 推论 3.1 设 A FG，则 1) 1 1 n n AAA ， 2) 11 112 2 supA xAxAxAxAx 112 , nn n A xAx xxxxnx G 定理 3.3：设 A FG。对任意的 x G，令 1 supBxAyxyyG ，则 B是G的模糊正规子集。 证： 12 , x xG， 111 121 121 1 12 12 sup sup . BxxxAyxxx yyG A yxxyxyGBx 即 是 的模糊正规子集. B G 定理 3.4：设 A FG， 1 supBxAyxyyG ，则 1) B是G的模糊正规子群，从而是 G的 , -模糊正规子群， 2) BA 3）若 是 的 C G , -模糊正规子群，且满足CA ，则 CB 。 证 1) , x yG ，由于 111 1 1 sup sup sup , ByxyAzyxyzz GAyzxzyz G Agxgg GBx 所以， 1111 112 1 112 sup inf, sup inf,. in iin in iin BxyxBxyxBxy xyyyyn ByByyyyy nBy 又因为 B是的模糊子群，所以GB 是G的模糊正规子群，从而是 G的 , -模糊正规子群。 2) 显然 。故BA BB A 。 Open Access 43  λ, μ 王晓玲 生成-模糊子群 Open Access 44 3）对任意的 , x G 若有 12 ,,, n x xxG，使 12 n x xxx ，则对任意的 y G ，有 1111 111 11 12 12 11 1111 12 12 nn n n CxCy yxy yCy yxyyxyyxy yCyxy yxyyxy Cyxy CyxyCyxyAyxyAyxyAyxy 所以 111 12 12 12 12 sup, , sup , nn nn CxAyxyAyxyAyxyyGxxxx n BxBxBxxxxx n Bx 即CB 。 定义 3.3：设 A FG，称定理 3.4 中的模糊子集B为由 生成的A , -模糊正规子群，并记为 A 。 显然，生成 , -模糊正规子群概念是一般生成模糊正规子群概念的推广，因为一般生成模糊正规子群就 是生成 -模糊正规子群。 0,1 4. 结论 对于由一个模糊子集生成的模糊子群或模糊正规子群，在 Rosenfeld 意义下已有结论[8]，并且可用不同的式 子刻画。本文将这种模糊子群推广到 , -模糊子群，给出了生成 , -模糊子群与生成 , -模糊正规子群 的特征刻画。关于生成 , -模糊子群与生成 , -模糊正规子群的进一步研究，我们将另文讨论。 参考文献 (References) [1] Zadeh, L.A. (1965) Fuzzy sets. Information and Control, 8, 338-353. [2] Rosenfeld, A. (1971) Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 35, 512-517. [3] Liu, W. (1992) Fuzzy invariant subgroups and fuzzy ideals. Fuzzy Sets and Systems, 18, 133-139. [4] Bhakat, S.K. and Das, P. (1992) On the definition of a fuzzy subgroup. Fuzzy Sets and Systems, 51, 235-241. [5] Bhakat, S.K. and Das, P. (1996) (∈,∈∨q)-fuzzy subgroup. Fuzzy Sets and Systems, 80, 359-368. [6] Yuan, X. Zhang, C. and Ren, Y. (2003) Generalized fuzzy groups and many-valued implications. Fuzzy Sets and Systems, 138, 205-211. [7] Yao, B. (2005) , -fuzzy normal subgroups and , -fuzzy quotient subgroups. The Journal of Fuzzy Mathematics, 13, 695-705. [8] 姚炳学 (2008) 群与环上的模糊理论. 科学出版社, 北京, 41-44. |