 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 374-378 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.36057 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) The End of a Complete Minimal Hypersurface in Riemannian Manifold* Lu Liu, Fuliang Chen Institute of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Nanchang Email: 812605717@qq.com Received: Sep. 29th, 2013; revised: Oct. 8th, 2013; accepted: Oct. 12th, 2013 Copyright © 2013 Lu Liu, Fuliang Chen. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, we study the end of a complete noncompact non-totally geodesic minimal hypersur- face. Under certain conditions, we obtain that the hypersurface has only one end. Keywords: Minimal Hypersurface; End; The First Eigenvalue 黎曼流形中完备极小超曲面的端* 刘 露，陈抚良 江西师范大学数学与信息科学学院，南昌 Email: 812605717@qq.com 收稿日期：2013 年9月29 日；修回日期：2013 年10 月8日；录用日期：2013 年10 月12 日 摘 要：本文研究了黎曼流形中完备非紧致非全测地极小超曲面的端。在一定的条件下，我们得出这 种超曲面只有一个端。 关键词：极小超曲面；端；第一特征值 1. 引言 设 M 是一个完备非紧致黎曼流形， 是 M 中的一个紧致区域。设 10 表示的是 Dirchlet 边界问题的 第一特征值： , 0, ffx fx 这里 表示 M 的Laplace-Beltrami 算子，那么通过局部单调性原理，完备非紧致流形 M 的第一特征值 ，这里的下确界取遍 1 M 1 inf M 上的所有紧致区域。 下面是黎曼流形 M 的Laplace算子 的第一特征值的另一定义： 定义 1：黎曼流形 M 上的 Laplace算子 的第一特征值定义为： 2 12 inf M f M f M f ， *基金项目：国家自然科学基金(11226078, 11261038)。 Open Access 374  刘露，陈抚良 黎曼流形中完备极小超曲面的端 这里 0 f CM 。 定义 2： M 是黎曼流形上的一个n维极小超曲面，设N f 是 M 上具有紧致支撑集的 Lipschitz 函数，如果 ____ 22 2 10 n M fRice Af , 那么就称 M 是稳定的。这里 是 1n e M 在 中的单位法向量，是 上的在方向的Ricci 曲率，N ____ 1n Rice N1n e A 是 M 的第二基本形式的长度。 最近，在文[1]中，N. T. Dung和K. Seo得到如下定理。 定理 A：设是一个 n+1 维黎曼流形，其截面曲率N N K 满足 N K K ，这 里0K 是一个常数。设 M 是 中 的一个完备非紧稳定非全测地极小超曲面，如果 N 1 121 K nn M ，那么 M 只有一个端。 在文[2]中，L. F. Tam and D. T. Zhou得到具体定理叙述如下： 定理 B：设是 中的一个 3 n Mn1n R2 n稳定的完备浸入极小超曲面，如果： 22 22\ R 1 lim 0 n n BRBRA R 那么 M 是一个平面或者是一个悬链面。 由定理 B可知当 中的 1n R2 n稳定完备浸入极小超曲面(即2 n )的第二基本形式满足一个积分条件时，这个 子流形有一个端或者两个端。 在文[3]中，N. M. B. Neto和Q. L. Wang得到具体定理叙述如下： 定理 C：设 n M 是黎曼流形 中的完备非紧致子流形，且用 m N A 和 H 分别表示 M 的第二基本形式和平均曲 率向量的模长，如果 H 是一个常数并且存在正常数,,ab 和 使得 l 220 , a MM , f fA fCM (1.1) 并且 lim 0 R b Bx l R A R ，那么 。 0H 考虑到在不等式(1.1)中取 1 ，，即为欧式空间中极小超曲面的稳定性不等式。一个自然的问题就 是在定理 A中稳定性的条件能否改成不等式(1.1)。本文部分回答了这个问题，具体定理如下： 2a 定理 1：设 是一个 n + 1维黎曼流形，其截面曲率N N K 满足 1 N K K ，这里 10K 是一个常数。设 M 是浸 入到 中的一个完备非紧致非全测地极小超曲面，如果它满足如下条件N 22 20 M A ，其中 1n n ， 且设 ，那么 2 11 1nKM M 只有一个端。 注：这里部分推广了定理B： 中的 1n R2 n稳定完备浸入极小超曲面到一般的黎曼流形中的 -稳定极小子流 形中，当 与第一特征值满足一定条件时，得出这个子流形只有一个端。 2. 引理部分 引理 1[4]：设 M 是黎曼流形 中的一个维完备浸入极小超曲面，如果 中的截面曲率都大于等于一个常 数 NnN K ，那么 2 1 1n Ric nKA n 。 Open Access 375  刘露，陈抚良 黎曼流形中完备极小超曲面的端 对于调和 1-形式，有下列 - K atotype 不等式成立： 引理 2[5]：设 w是一个 n维黎曼流形 M 上的一个调和 1-形式，那么有： 22 21 1 ww w n 3. 定理 1的证明 我们的方法来自于文[6,7]，下面给出定理 1的证明。 M 至少有两个端，那么 M 上有一个具有有限总能量的非平凡调和函数 即证明：(反证法)假设 u2 M u (见[8])。 设 是 u M 上的非平凡调和函数，根据Bochner 公式有 22 ,1 1, 2 n ij ij uuRicu u。 因为 2 2 1 2uuu u ，我们有 22 ,1 , n ij ij uu uuRicuu 。 根据引理 1以及引理 2不等式有： 2 22 2 1 1 11 n uu AunKuu nn 1 。 (3.1) 因为 M 满足 22 20 M A ， (3.2) 这里 。 0 CM 在(3.2)中用 u 替换 得到 22 20 M uAu 。 利用散度定理，我们得到 22 2 222 2 222 2 22 22 2 2222 2 0 2, ,2, 2, 2 MM MM M MM M MM MM MM uu Au uuuAuuu uuuAuuu uuu uuAuuu uuuAu , (3.3) 把(3.1)代入 (3.3)，我们得到 22 22 22 22 1 M 11 01 1 MMM n unKu Au nn 2 u (3.4) Open Access 376  刘露，陈抚良 黎曼流形中完备极小超曲面的端 根据定义 1，有 2 22 2 2 22 1 22 22 2, 1 11 MM M MM M uuu uu uu u (3.5) 这里我们运用了不等式和 不等式，在(3.5)中Schwarz Young 0 为正常数。 结合不等式(3.4)和(3.5)，我们有 22 2 11 2 11 22 2 11 11 011 11 1 MM M nK nK uu MMn nAu n (3.6) 现在任意固定 M 上的一点 ，考虑一个以 为中心 为半径的测地球PP R P BR，选取检验函数 满足 01 ，且当 定义在 上时 R P B1 ，当 定义在 \2 P M BR上时有 0 ，及 1 R 。因为 1 1 2 1 M nK ，选择一个足够小的 0 ，使得 1 1 1 11 1 nK nM 0 。 (3.7) 又因为 1n n ，所以 10 n n 。 (3.8) 把(3.6)的后两项移到不等式的左边，且把 代入可得： 2 2 22 1 1 2 1 2 1 1 11 1 1 1 11 11 R R BB B nK n uA nM n nK u MR R u R (3.9) 利用(3.7)和(3.8)在(3.9)的两边让 ,因为 2 M u ，我们得到， 22 20 MM uAu 。 于是 0u或者 0A。又因为 M 不是全测地的即 0A ，所以 0u ，于是 u是一个常数。这与 u是一个 非平凡调和函数相矛盾。因此假设不成立，所以 M 只有一个端。定理1得证。 参考文献 (References) [1] Dung, N.T. and Seo, K. (2012) Stable minimal hypersurfaces in a Riemannian manifold with pinched negative sectional curvature. Annals of Global Analysis and Geometry, 41, 447-460. [2] Tam, L.F. and Zhou, D.T. (2009) Stability properties for the higher dimensional Catenoid in Rn+1. American Mathematical Society, 137, 3451-3461. [3] Neto, N.M.B. and Wang, Q.L. (2012) Some Bernstein-type Rigidity theorems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 389, 694-700. [4] Leung, P.F. (1992) An estimate on the Ricci curvature of a submanifold and some applications. Proceedings of the American Mathematical Society, 114, 1051-1063. [5] Wang, X. (2001) On conformally compact Einstein manifolds. Mathemat ical Rese arch Letters, 8, 671-688. Open Access 377  刘露，陈抚良 黎曼流形中完备极小超曲面的端 Open Access 378 [6] Seo, K. (2010) L2 harmonic 1-forms on minimal submanifolds in hyperbolic Space. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 371, 546-551. [7] Seo, K. (2010) Rigidity of minimal submanifolds in hyperbolic space. Archiv der Mathematik, 94, 173-181. [8] Wei, S.W. (2003) The structure of complete minimal submanifolds in complete manifolds of nonpositive curvature. Houston Journal of Mathematics, 29, 675-689. |