 Applied Physics 应用物理, 2013, 3, 167-170 http://dx.doi.org/10.12677/app.2013.39031 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/app.html) The Derivation of Reduced Density Equation of Mesoscopic LC Circuit in a Thermal Radiation Field Xia oj i a n Xi a The Academy of Physics and Information Engineering, Quanzhou Normal College, Quanzhou Email: xiaxiaojian18@eyou.com Received: Sep. 11th, 2013; revised: Oct. 13th, 2013; accepted: Oct. 24th, 2013 Copyright © 2013 Xiaojian Xia. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unre- stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: Quantum LC circuit locates inevitably in radiation field; the thermal radiation field is a reservoir which is described by infinite harmonic oscillators, and quantum LC circuit is a system to be investigated. From the interaction between mesoscopic LC circuit and radiation field, the radiation is reservoir. We trace out the reservoir and deduce the equation of density. Keywords: Mesoscopic LC Circuit; The Radiation Field; Equation of Reduced Density 介观 LC 电路在辐射场作用下约化密度方程的推导 夏小建 泉州师范学院物理与信息工程学院，泉州 Email: xiaxiaojian18@eyou.com 收稿日期：2013 年9月11 日；修回日期：2013年10月13日；录用日期：2013 年10 月24日 摘 要：介观LC 电路不可避免会处于辐射场中，把辐射场看成是由无穷多谐振子组成的，选择介观LC 电路为 研究对象。本文从介观 LC 电路与辐射场相互作用的哈密顿量出发，把辐射场看成库，通过对库求迹，推导了 介观 LC电路在辐射场作用下的密度方程。 关键词：介观 LC 电路；辐射场；约化密度方程 1. 引言 随着对纳米器件研究的深入，电路和器件的尺度 已达到原子尺度尺寸的量级，当电路和器件的尺寸与 电子输运的相位相关长度相当时，必须考虑电路和器 件的量子效应。20世纪 70 年代Louisel 讨论 LC回路 的量子涨落以来[1]，已有大量的文献对介观LC 的量 子特性进行了讨论[2-8]，由于介观 LC回路不可避免会 处在电磁辐射场环境中，研究介观LC 电路在电磁辐 射场下的量子行为十分必要。我们知道，电磁辐射场 经过量子化后，可以看成是由一系列不同频率的谐振 子组成，我们把介观 LC 电路看成系统，辐射场看成 环境。由于环境是一个巨大的体系，在 Markoff 近似 下，介观电路不会对环境产生影响，但环境会对介观 电路产生影响。本文从介观电路与环境相互作用哈密 顿模型出发，推导介观LC 电路约化密度方程。 2. 介观 LC 回路、辐射场 及相互作用哈密顿量 在时变信号源的作用下，介观LC 回路的基尔霍 夫回路方程为 2 LqLqet (1) 其中 21LC ，q为电容所储电荷，与之共轭的量为 Open Access 167  介观 LC 电路在辐射场作用下约化密度方程的推导 电感中的磁通 ，刚开始，，作用完后 ，电路自由演化，此时与运动方程(1)相对应 的量子化后的哈密顿算符为 pLq 0et 0et 22 11 ˆˆ ˆ 22 2 H PLq L (2) ˆ q和 是电荷和磁通算符，满足 ˆ p ˆˆ ,qp i。引 入 降算符 和升算符 ˆ aˆ a 1ˆ ˆˆ 2 aqiP L 1ˆ ˆˆ 2 aqi L P (3) 则(2)式可表示为 1 1 ˆˆˆ2 Haa (4) 算符 与通常的线性谐振子一样，具有 下列性质： ˆˆ ˆˆ aa aa 、和 ˆˆ 1an nnan nn 1 1 (5) 这是介观电路的电磁湮灭算符和产生算符，湮灭 算符和产生算符的物理意义是介观电路释放或吸收 一份能量后，其所处的量子态向下或向上跃迁一个能 级。 我们知道电磁场经过量子化之后[9]，可以看成由 一系列谐振子组成的体系，其哈密顿为 2 1 ˆˆ ˆ 2 jj j Hbb (6) 辐射场的平均光子数即辐射场的强度为 1 ˆˆ exp 1 jj nbb kT (7) 假设介观 LC电路在电源作用完后处于真空态， 这时与辐射场开始发生作用。我们知道，量子化后介 观L电路可以当作一个能级均匀的线性谐振子，而辐 射场可以看做由频率不同的线性谐振子的集合，当介 观电路辐射的电磁波被辐射场吸收，或者辐射场辐射 的电磁波被介观电路吸收时，介观电路与辐射场发生 作用。这种相互作用就是耦合，系统与环境的耦合方 式共有多种，如系统坐标–环境坐标耦合、系统坐标 与环境振子的速度、系统速度与环境坐标、系统速度 与环境振子速度[10,11]。在这里我们把环境与介观LC 电路的作用看成是坐标–坐标之间的耦合引起的，这 样在相互作用哈密顿中有四个耦合项， j ab、 j ab 、 j ab 、 j ab ，在旋转波近似下，可以得到以下哈密顿 量[12](为了简化书写，以下公式中算符都省略上面的 “ ”，i g 为LC 回路与辐射场的耦合系数)： 0 I jjjj j jj H HHaa bbgabab (8) 3. 介观 LC 电路在耗散环境下 Born-Markov-Lindblad方程[12]的推导 设系统的密度算符为 AB ，介观 LC 回路的密度 算符为 A ，辐射场密度为 B ，对 AB 对B求迹就可 得A 。AB 满足 Liouville 方程 d, d AB AB iH t (9) 相互作用表象中 AB 和 H t 与原表象中的AB 和 I H t有如下关系 00 exp exp AB AB ii H tH t (10) exp it 1010 exp p exp jjj j ijj jjj jj ii HtH Ht aa itbbex Ht g ababi taaitbb aG ta Gt (11) 其中 exp jj j j Gtgb it AB 满足与 AB 相同的Liouville 方程 d, d AB I AB iH t (12) 下面我们对方程(12)两边积分得到 1 0 1 0, td AB AB H AB ttt i (13) 把它代回(12)式，可以得到 1 20 d d AB 1,0 1,, d IA B t IAB H ti H tHtt t (14) 把(14)式对系统求迹(对变量 B求迹)，我们可以 得到 20 d d 1,, d t ABIIAB TrHt Httt t (15) 其中(14)式的第一项求迹为零。此式推导如下，假设 t Open Access 168  介观 LC 电路在辐射场作用下约化密度方程的推导 Open Access 169 0 = 0 时刻，系统和库没有关联，此时密度算符 ，其中 为 00 AB A B 0 A 1,0 BAB TrH t 0 (17) exp 0exp jjjjB A jj jB j bb KT Trb bK T (16) 由于库很大，当库与系统相互作用时，可以认为 库没有改变(即作马尔可夫近似)，即有 0 AB A B tt 。下面把(14)式右边展开，逐 项求出。 由(11)式和(16)式得到 20 20 20 d1,, d d 1d 1d t AB BIIAB t IIABIAB I t IABIABII TrHt Httt t TrHtHtt HttHtt Tr HttHttHtHtt (18) 为了简化篇幅，这里给出其中第一项的具体求解 过程 20 20 20 * 0 1d 1d 1d exp expd t IIAB t AB t AB t kjjj mmmABk kj m TrHt Httt TrGtGt aaGtGtaaGtGt aaGtGt aatt TrGtGtaaGtGtaat t bgbit gbitaatbt * 0 2 00 2 00 2 2 expexp0 d d1exp d dexp d 1 π1 t kjjj mmmBAk kj m t jj Aj t jjAj jj A bgbit gbitaatbt tgnDittaa t tg nDittaa t gD n gD naatiP 0djA j aa t (19) 2 2 0 πd 1 jj Aj j AA gDn A g Dnaa tiPaa t AinaatBi naat 其中系数 2 π1Ag Dn ， 2 πBg Dn 同理可得其它各项(注意：(19)式中的第一项与第 四项、第二项与第三项互为共轭项，可利用此性质在 得到第一项和第二项后，立刻得到第三项和第四项两 式)。 20 1d 1 t IAB I AA TrH ttH tt Binata Ainata (20)  介观 LC 电路在辐射场作用下约化密度方程的推导 20 1d 1 t IABI TrHtt Htt BinataA inata (21) 20 1d 1 t AB II AA TrtH tH tt A intaaB intaa (22) 把(19)~(22)式代入(15)式，得到 d1 d 1) 1 1 AAA AA AA AA Ainaa tBinaat t Binata Ainata Binata Ainata Aintaa Bintaa (23) 把(23)式化简整理得到 d,, d ,, AAA A AA tiaa tAa taAata t BataBat a , (24) 上式可以化简成如下的等式 d,1 2 d2 2 2 AAAA AAA tiaatn taaaatata t ntaaaatata (25) 对于 或者0T 0n 和0 ，我们得到 d2 d2 AAA ttaaaatata t (26) 其中 2 22πABgD ， 表征了耗散环 境衰减速率的物理量， D 为光子数密度分布。(25) 式就是耗散环境中密度算符的演化遵循的密度方程。 4. 结果及讨论[12] 以上我们从介观 LC电路与环境的相互作用出 发，推导了电磁环境中密度算符的演化遵循的密度方 程。该结论在量子光学中经常用到，但在国内的文献 中难以见到。本文的推导对加深理解和研究介观电路 理论具有一定的指导意义。 参考文献 (References) [1] Louisell, W.H. (1973) Quantum statistical properties of radia- tion. John Wiley, New York. [2] Cheng, B., Li, Y.Q., et al. (1997) Quantum effects of charge in the mesoscopic circuit. Acta Physica Sinica, 46, 131-133. [3] Cui, Y.S. (1998) Quantum fluctuations of voltage and current in mesoscopic LC circuit. Acta Photonica Sinica, 27, 517-520. [4] Ji, Y.H., Rao, J.P., et al. (2002) Quantum tunneling effect in the mesoscopic LC circuit. Acta Physica Sinica, 51, 395-398. [5] Ji, Y.H., Luo, H.M., et al. (2004) Preparation of schrodinger cat state via a mesoscopic LC circuit. Acta Physica Sinica, 53, 2534-2538. [6] Xia, X.J. (2009) Evolution of quantum state in the mesoscopic LC circuit driven by a time dependent source. 26, 694-697. [7] Zhou, X.F. (2007) Evolution of quantum state in the mesoscopic LC circuit driven by time dependent source. Chinese Journal of Quantum Electronics, 24, 600-604. [8] Zhang, D.-Y., Guo, P. and Gao, F. (2007) Fidelity of two-level atoms’ quantum states in a strong thermal radiation field. Acta Physica Sinica, 56, 1906-1910. [9] Tan, W.H. (2008) An introduction to quantum optics. Science Publication, Beijing. [10] Bao, J.D. and Zhou, Y.Z. (2005) Anomalous dissipation: Strong non-Markovian effect and its dynamical origin. Physical Review E, 71, 010102. [11] Bai, Z.W. and Bao, J.D. (2005) Classic and quantum diffusion in the presence of velocity-dependent coupling. Physical Review E, 72, 061105. [12] Orszag, M. (2007) Quantum optics. Science Publication, Beijing. Open Access 170 |